2022本科【常微分方程】網(wǎng)絡(luò)課形考任務(wù)1-6試題及答案

國家開放大學(xué)電大本科《常微分方程》網(wǎng)絡(luò)課形考任務(wù)1-6試題及答案

100%通過

考試說明：2020年秋期電大把該網(wǎng)絡(luò)課納入到“國開平臺(tái)”進(jìn)行考核，該課程共有6個(gè)形考任務(wù)，針對該門課程，本

人匯總了該科所有的題，形成一個(gè)完整的標(biāo)準(zhǔn)題庫，并且以后會(huì)不斷更新，對考生的復(fù)習(xí)、作業(yè)和考試起著非常重要

的作用，會(huì)給您節(jié)省大量的時(shí)間。做考題時(shí)，利用本文檔中的查找工具，把考題中的關(guān)鍵字輸?shù)讲檎夜ぞ叩牟檎覂?nèi)容

框內(nèi)，就可迅速查找到該題答案。本文庫還有其他網(wǎng)核及教學(xué)考一體化答案，敬請查看。

課程總成績=形成性考核X50%+終結(jié)性考試X50%

形考任務(wù)1

題目1

本課程的教學(xué)內(nèi)容共有五章，其中第三章的名稱是().

選擇一項(xiàng)：

A.一階線性微分方程組

B.定性和穩(wěn)定性理論簡介

C.初等積分法

D.基本定理

題目2

本課程安排了6次形成性考核任務(wù)，第2次形成性考核作業(yè)的名稱是().

選擇一項(xiàng)：

A.第一章至第四章的單項(xiàng)選擇題

B.第二章基本定理的形成性考核書面作業(yè)

C.初等積分法中的方程可積類型的判斷

D.第一章初等積分法的形成性考核書面作業(yè)

題目3

網(wǎng)絡(luò)課程主頁的左側(cè)第3個(gè)欄目名稱是：().

選擇一項(xiàng)：

A.課程公告

B.自主學(xué)習(xí)

C.課程信息

D.系統(tǒng)學(xué)習(xí)

題目4

網(wǎng)絡(luò)課程的''系統(tǒng)學(xué)習(xí)”欄目中第一章初等積分法的第4個(gè)知識點(diǎn)的名稱是().

選擇一項(xiàng)：

A.一階隱式微分方程

B.分離變量法

C.全微分方程與積分因子

D.常數(shù)變易法

題目5

網(wǎng)絡(luò)課程的“視頻課堂”欄目中老師講課的電視課共有()講.

選擇一項(xiàng)：

A.18

B.20

C.19

D.17

題目6

網(wǎng)絡(luò)課程主頁的左側(cè)“考試復(fù)習(xí)”版塊中第二個(gè)欄目名稱是：().

選擇一項(xiàng)：

A.考核說明

B.復(fù)習(xí)指導(dǎo)

C.模擬測試

D.各章練習(xí)匯總

題目7

請您按照課程的學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)要求和學(xué)習(xí)方法設(shè)計(jì)自己的學(xué)習(xí)計(jì)劃，并在下列文本框中提交，字?jǐn)?shù)要求在100-1000

字.

答：常微分方程是研究自然現(xiàn)象，物理工程和工程技術(shù)的強(qiáng)有力工具，熟練掌握常微分方程的一些基木解法是學(xué)

習(xí)常微分方程的主要任務(wù)，凡包含自變量，未知函數(shù)和未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程。滿足微分方程的函數(shù)叫

做微分方程的解，含有獨(dú)立的任意常數(shù)的解稱為微分方程的通解。確定通解中任意常數(shù)后所得的解稱為該方程的特解。

一階微分方程的初等解法中把微分方程的求解問題化為J’積分問題，這類初等解法是，與我們生活中的實(shí)際問題

密切相關(guān)的值得我們好好探討。

在高階微分方程中我們學(xué)習(xí)的線性微分方程，作為研究線性微分方程的基礎(chǔ)，它在物理力學(xué)和工程技術(shù)，自然科

學(xué)中時(shí)存在廣泛運(yùn)用的，對于一般的線性微分方程，我們又學(xué)習(xí)了常系數(shù)線性微分變量的方程，其中涉及到復(fù)值與復(fù)

值函數(shù)問題，相對來說是比較復(fù)雜難憧的。

至于后而的非線性微分方程，其中包含的穩(wěn)定性，定性基本理論和分支，混沌問題及哈密頓方程，非線性方程絕

大部分的不可解不可積現(xiàn)象導(dǎo)致了我們只能通過從方程的結(jié)構(gòu)來判斷其解的性態(tài)問題，在這一章節(jié)中，出現(xiàn)的許多概

念和方法是我們從未涉及的，章節(jié)與章節(jié)中環(huán)環(huán)相扣，步步深入，由簡單到復(fù)雜，其難易程度可見一斑。

由此，常微分方程整體就是由求通解引出以后的知識點(diǎn)，以求解為基礎(chǔ)不斷拓展，我們所要學(xué)習(xí)的就是基礎(chǔ)題解

技巧，培養(yǎng)自己機(jī)制與靈活性，多反面思考問題的能力，敏銳的判斷力也是不可缺少的。

形考任務(wù)2

初等積分法中的方程可積類型的判斷（1）

題目1

X-=y-X3

dr

答：（一階線性非齊次微分）方程.題目2

答：（可降階的高階）方程

題目3

y=冷"+2（》）’

答：（克萊洛）方程

題目4

f+2個(gè)+xy，=Q

答：（伯努利）方程

題目5

力+1

dxx

答：（一階線性非齊次微分）方程題目6

頊+（礦）：=。

答：（恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)）方程

題目7

dj_xi,

dx1-FX2

答：（變量可分離）方程

題目8

.T'（x」ny^）-1

答：（一階隱式微分）方程

題目9

e'dx-H(xe-十=0

答：（全微分）方程

題目10

(x+2y)dx-炒=0答：(齊次微分)方程形考任務(wù)3

常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)3

第一章初等積分法的綜合練習(xí)

本課程形成性考核綜合練習(xí)共3次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習(xí)、第二章基本定理的綜合練習(xí)、

第三章和第四章的綜合練習(xí)，目的是通過綜合性練習(xí)作業(yè)，同學(xué)們可以檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識點(diǎn)，

重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭取盡快掌握.

要求：首先請同學(xué)們下載作業(yè)附件文檔并進(jìn)行填寫，文檔填寫完成后請?jiān)诒敬巫鳂I(yè)頁面中點(diǎn)擊“去完成”按鈕進(jìn)入相

應(yīng)網(wǎng)頁界而完成任務(wù)，然后請將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會(huì)在課程中進(jìn)行評分。

一、填空題

1.微分方程叫〃+一。/)3—、”=0是二階微分方程.

XQ

2.初值問題，的解所滿足的積分方程是y=f{s,y)ds.yM=y0

3微分方程Vinvdx+(x-Inv)dv=0是一一階線性非齊次微分方程.僦方程可積類型而言)

4.微分方程+2v)dv=0是全微分方程.(就方程可積類型而言)

5.微分方程均〃+0/)2+3/=0是恰當(dāng)?shù)箶?shù)方程.(就方程可積類型而言)

6.微分方程=)=x2siny的所有常數(shù)解是丫=人叮,*=0,±1,±2,????

7.微分方程合打受的常數(shù)解是_歹=±1.

8.微分方程//丁二旌'的通解為孑=。'(工+。)-

9.微分方程y=J尸的通解是y-Cx+-C\

22

10.一階微分方程的一個(gè)特解的圖像是：維空間上的一條曲線.

二、計(jì)算題

1.指出下列方程的階數(shù)，是否是線性方程：

(1)--A/

dx

答：一階，非線性

C、也一2業(yè)+生=0

⑵dx4dr3dx2

答：四階，線性

(3)x+xx+x=t答：三階，非線性

2.用分離變量法求解下列方程：

(1)/=

(2)tanAdx-cotxdy=0

(3)(乂2+聲2炒=0

b(1)=-1

2.⑴解通積分為e>=e'+C

(2)解當(dāng)Itanycotx。On寸，分離變量，兩端取積分得

fA=fAL+ink|JtanyJcotx

即ln(siny)=一ln(cosx)+In|c|

通積分為sinycosx=C.

7T

另外，y=k7rfX=k7T+一是常數(shù)解，4=0,±1,±2,???.

注：在方程求解時(shí)，求出顯式通解或隱式通解(通積分)即可，常數(shù)解可以不求。

(3)解當(dāng)x正0，孑。0時(shí)，方程可變?yōu)槿?二匕頊0

xy

11X

通積分為ln|x|一±=—±+ln|v|+C或--Ce|

x*y

上式代入初值條件x=l,y=—1.

22

得C二一薩.于是初值問題解為-=?

3.解下列齊次線性微分方程

(1)(y—2xy)dx4-xdy=0

x

(2)xy-y=xtan—

(1)解顯然X二。是方程的解.

當(dāng)有0時(shí)，原方程可化為孚=一A2令令以”,則原方程可化為

drxx

2

du2—dw—u+u

u+x-=—u+2iz,即一=----------------

dxdrx

易于看出，U=0u-1是上面方程的解，從而y=Xy=。是原方程的解.

當(dāng)〃一/時(shí)，分離變量得，乎二蟲.兩端積分得Ini—|=ln|Gd(CA0)

-“〃X|M-1|

將〃換成三，便得到原方程的解Cy=x(x-y)i(^0).

X

故原方程的通解為Cy=x(x-y)(C為任意常數(shù))及*=0.

(2)解顯然，=。是方程的解.

當(dāng)「。時(shí)，原方程可化為R.y.令w=2,則原方程可化為

dxxxx

duin,dutanu

M+x—=tsn"+",叩一=-----.

dxdxx

易于看出，u=0是上式的解，從而y=0是原方程的解.

當(dāng)u”0時(shí)，分離變量得，J=一.兩端積分得ln|sinw|=ln|qA(CAO).將〃換成便得到原方程的解sinA=Cx(CrO).故原

方程的通解為sinA=

XXX

4.解下列一階線性微分方程：

(1)xy—2y=2x4

(2)/ytanx-secx

(1)解先解齊次方程x，=2y.其通解為y=Cx2.

dx

用常數(shù)變易法，令非齊次方程通解為y=C(x)，

代入原方程，化簡后可得C(x)=2x.?

積分得到C(x)=x2+C.

代回后即得原方程通解為j;=Cx2+x4.

(2)解先解齊次方程-=-ytanx.其通解為y=Ccosx.

dx

用常數(shù)變易法，令非齊次方程通解為v=C&)cosx.

代入原方程，化筒后可得C(x)=—

cosX

積分得到C(x)=tanx+C.

代回后即得原方程通解為y=sinx+Ccosx.

5.解下列伯努利方程

(1)=0

(2)—+y=/(cosx-sinx)dx

(1)解顯然y=0是方程解.當(dāng)y?時(shí)，兩端同除得

1dy2x

+x=0.

令Z=，，代入有一玉+2定+x=0,它的解為Z=—L+Ce3'2/3dx2

110

于是原方程的解為一=一一+Ge',及V=0.

V2,夕

(2)解顯然y=。是方程解.當(dāng)了曾時(shí)，兩端同除得

1dp1.

-^-—H-----(cosx-sinX)=0.

ydxy

令z=—,彳弋入有—z+(cosx-sinx)=0

ydx

它的解為z=Ce'—sinxt

于是原方程的解-=Cex-sinx及y=0.

6.解下列全微分方程：

(1)dx-(2y+xev)dy=0

(2)(7-ysin2x)dx-jcos2xdy=0

(1)解因?yàn)槿A=-e"=半，所以這方程是全微分方程，"物力及N(x療)在整個(gè)xQy平面都連續(xù)可微,

dyox

不妨選取Xo=(),%=()?故方程的通積分為

￡evdx-￡2j；dy=C,

即xQ、y=c.

(2)解因?yàn)橐欢?ysin2x=一,所以這方程是全微分方程,M(x,力及N(x,力在整個(gè)xQy平面都連

dydx

續(xù)可微，不妨選取X。=0,為=。.故方程的通積分為

￡(i+/)dx-￡A=c,

即2x-y2cos2x=C.

7.求下列方程的積分因子和積分:

(1)(x2+y+x)dx—xydy-0

(2)(x4+y)dx—xydy=Q

dMdN

(1)解因?yàn)榈V一二一,與y無關(guān)，故原方程存在只含x的積分因子.

Nx

\~dx

由公式(1.58)得積分因子〃(x)二e"HP/y(x)=x,

于是方程(疽+/+x)dx-xydy=0為全微分方程,取=0,%=0.于是方程的通積分為￡4-4公=0.即

3x4+4^+6"=C.

dMdN

(2)解因?yàn)?與*無關(guān)，故原方程存在只含x的積分因子.解方程

Nx

dv1

由公式(L58)得積分因子"(X)=e即z/(x)=—,

，X

1V3

于是方程一(x4+/)dr-'dj；=0為全微分方程.取x0=l,為=0.于是通積分為

/X

[―(x4+/)dx-￡y3dy=G■即/=4x4In|x|+Cr4.

8.求解下列一階隱式微分方程

(1)y\2y-y)-/sirfx

(2)/—1)

(1)解將方程改寫為-y2+2yy=^(l-cos2x)

即y2-2yyy=/cos2x或3'-y)?=/cos2x

解V=V土*cosx得通積分為：InCy=x±sinx,

乂，=。是常數(shù)解.

(2)解y=。顯然是方程的解,當(dāng)y-0時(shí)，方程可變?yōu)?/p>

(￡)2_2(￡)=e"-l,令%%

yyy

則上面的式子可變?yōu)?/p>

if—2u=e—1,解出〃得，u一1±.即一=1±V?7.

對上式兩端積分得到方程的通解為gy=x±14e+C

9.求解下列方程

⑴何”_yy=(/y+i

(2)A-(y)2+i=o

(1)解令y"=2貝代入原式得即'-p)2=p,2+1.

解出p得2-xp仕力口”+\

這是克萊洛方程，通解為p=xd±JI+C；.即=xC1±〈1+C：.

2____

解之得6七如亨+C2X+G(G,G,C3為任意常數(shù))?

(2)解化簡得0y)'+l=O,即y/=~x+C)求積分得一一(一X+C］)24?

222

或J+(x——G)2=G.

三、證明題

1.設(shè)函數(shù)p(x),/(X)在［0,+00)上連續(xù)，且limp(x)=。〉0,\f(xj<h(%力為常數(shù)).求證：方程

x〉*oc?1

y+PMy=/1回的一切解在［0,+00)上有界.

2.設(shè)/(X)在［0,+8)上連續(xù),Klim/(x)=0,求證:方程

*AKO

孚+v=/(x)

OX

的一切解y&A均有l(wèi)imy(x)=0.

X->+cC

1.證明設(shè)jcy(x)是方程任一解，且滿足*(版)二坊，則

P(s)dsp(s)dsfP(J)dt

yG?=y.e+e扁扁ds

由于lim,⑨=DO。所以對任意E>0,存在七〉如使得*》叫時(shí)有

X3C

0—￡<p(x)<a+￡

令。］=a~￡.

Iv(x)|<|%|+9(1—/2(F)

/b

5+—

乂在［蒼，為］上*(x)有界設(shè)為球現(xiàn)取M=3X例,促)

則y(x)<M,xe［xo-?+oo)

2.證明設(shè)y=v(x)是方程任一解，滿足貝Xo)=Vo,該解的表達(dá)式為

F"(s)e(Fds

"=當(dāng)+1J工。

取極限

limy(x)=lim*

x->4C0X->-KCCTx0X->4<30

右益字涉<

二0+?

@oc

-.........=0,若］f(s)e"F)ds=oo

四、應(yīng)用題

1.按牛頓冷卻定律：物體在空氣中冷卻的速度與物體溫度和空氣溫度之差成正比，已知空氣溫度為30%,而物體

在15分鐘內(nèi)由100°c冷卻到70V,求物體冷卻到40°c所需的時(shí)間.

2.重為100kg的物體，在與水平而成30。的斜而上由靜止?fàn)顟B(tài)下滑，如果不計(jì)磨擦，試

求：

(1)物體運(yùn)動(dòng)的微分方程；

(2)求5s后物體下滑的距離，以及此時(shí)的速度和加速度.

亨一一30)

7(0)=100

其中《為常數(shù).

解得r(/)=30+eA

設(shè)物體冷卻到40笆所需時(shí)間為4,于是由T(15)=70得

30+73-英=70

30+70e*=40

2.解取初始下滑點(diǎn)為原點(diǎn)，Ox軸正向垂宜向下，設(shè)t時(shí)刻速度為v=v(Z),距離為x=x。)，由題意滿

足初值問題

*映3。。

lv(0)=0

解得

再由、(。)=嶗。解得=于是得到5秒后，x?62.5mv?25m/s,形考任務(wù)4

常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)4

第二章基本定理的綜合練習(xí)”=—<<5m/s'.

at

本課程形成性考核綜合練習(xí)共3次，內(nèi)容主要

分別是第一章初等積分法的綜合練習(xí)、第二章基本定理的綜合練習(xí)、第三章和第四章的綜合練習(xí)，目的是通過綜合性

練習(xí)作業(yè)，同學(xué)們可以檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識點(diǎn)，重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭取盡快掌握.

要求：首先請同學(xué)們下載作業(yè)附件文檔并進(jìn)行填寫，文檔填寫完成后請?jiān)诒敬巫鳂I(yè)頁而中點(diǎn)擊“去完成”按鈕進(jìn)入相

應(yīng)網(wǎng)頁界而完成任務(wù)，然后請將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會(huì)在課程中進(jìn)行評分。

一、填空題

1.方程也=ysin(x2+/)的任一非零解不能與x軸相交.

dr

2?李普希茲條件是保證一階微分方程初值問題解惟一的充分條件?

3.方程_/力=e'的任一解的存在區(qū)間必是(°°,+°°).

4.一階顯式方程解的最大存在區(qū)間一定是開區(qū)間?

5.方程位=/+2滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是XOY平面?

dx_

6.方程半=sinx-cosv滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是一XOY平而.

dr

7,方程會(huì)=x2+siny滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是XOY平而.

8.方程覃=JJ+1滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是-一。=/應(yīng)力e/?2y>0),(或不含x軸的上半平而).

9.方程史=一咋電滿足解的存在惟一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是全平而.

dr/+V+V

10.一個(gè)不可延展解的存在在區(qū)間一定定區(qū)間.

二、計(jì)算題

1.判斷下列方程在怎樣的區(qū)域上保證初值解存在且惟一？

(1)y=/+y(2)y=x+siny

1.解(D因?yàn)?(乂,*)=工2+丁及療)=2"在整個(gè)X0*平面上連續(xù)，且滿足存在唯一性定理?xiàng)l件，所以

在整個(gè)、0*平面上，初值解存在且唯一.

(2)因?yàn)関)=x+siny及/?x,v)=cosw在整個(gè)xo*平而上連續(xù)，且滿足存在唯一，性定理?xiàng)l件，所以在整個(gè)'o*

平面上，初值解存在且唯一.

2.討論方程在怎樣的區(qū)域中滿足定理2.2的條件.并求通過(0,0)的一切解.

dr2

2.解因?yàn)榉匠?-在整個(gè)X。*平面上連續(xù)，f；(xsy)=-Ttx軸外，在整個(gè)xo*平而上有界，所

22/

3

以除x軸外在整個(gè)XO*平面上都滿足定理2.1的條件,而后分離變量并積分可求出方程的通解為y=±(x-c)a,x>c,

其中c>0.另外容易驗(yàn)證y=0是方程的特解.因此通過(0,0)的解有無窮多個(gè)，分別是：

10,x<c0,x<c

3;V=<3-

G—M?Yx-c)-，x>c

3.判斷下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解.

⑴一=-Jy~x(2)一=-x±J^+2y

dxdx

3.解(1)因?yàn)?(工療)=五；在半平而y>x上.連續(xù)，f；(x9y)=/一一當(dāng)*=工時(shí)無界，所以如果存在

2Jy-x

奇解只能是*=X，但*=X不是方程的解，故方程無奇解.，_工21y2

(2)因?yàn)?*)=7土Jx2+2y在'V--的區(qū)域上連續(xù)，y;x時(shí))=±—當(dāng)v一一時(shí)無界，所

2Jd+2y2

以如果方程有奇解，則奇解只能是~=--.顯然y=-T方程的解，是否為奇解還需要進(jìn)?步討論.為此先求

出方程的通解y=±cx+由此可見對于x軸上點(diǎn)(0,0),存在通過該點(diǎn)的兩個(gè)解：y=-—及y=0.故

22

y=-三是奇解.

三、證明題

1.試證明：對于任意的X。及滿足條件Ovyvl的允，方程一的解y=y⑨在Goo,+oo)上存在.dx1+x+y

2.

榨粽W撕翱備

(-00,+00)上有定義.

3.設(shè)0(x)在區(qū)間(-oo?+oo)上連續(xù).試證明方程

史=(p(x)sin*

dx

的所有解的存在區(qū)間必為(-00,+00)?

4.在方程親=/。)伊。)中,已知/*(*),伊’(工)在(-8,+3)上連續(xù)，旦0(±1)=0.求證：對任意X。和R|vl,

滿足初值條件)="的解V(X)的存在區(qū)間必為(-00,+8)?

5.假設(shè)方程孚切在全平面上滿足解的存在惟一性定理?xiàng)l件，且M(x),歹2(對是定義在區(qū)間，上的兩個(gè)解.求

證：若M(Xo)〈光(工0),XOGZ,則在區(qū)間，上必有力(x)(北(x)成立.

6.設(shè)*(x)是方程

d2y打

的非零解，其中p(x),q(x)在(YO,+OO)上連續(xù).求證：當(dāng)齡0)=0時(shí)，必有竺

dr

K=xo

7.設(shè)/(*)在(Y0,+00)上連續(xù)可微，求證：對任意的工0丘(一0,+00),bo|vl,方程

滿足初值條件=%的解必在《。,+8)上存在?

8.證明：一階微分方程

_siny

dx+1

的任一解的存在區(qū)間必是g+Q。).

1.證明首先丫=1和了=。是方程在(-00,+0。)的解.易知方程的右端函數(shù)滿足解的延展定理以及存在唯一性

定理的條件.現(xiàn)在考慮過初值(Xo,%)(OV%Vl)的解，根據(jù)唯一性，該解不能穿過宜線y=l和y=。.因此只有可能

向左右兩側(cè)延展，從而該初值解應(yīng)在《0,+0>)上存在.

2.證明不妨設(shè)|f(x,y)\<M.V(x?力*.過點(diǎn)(書為)分別作直線

4：V=Vo+"(x_Xo)和l2：V=Vo_M(x_Xo)?

設(shè)過點(diǎn)(如Vo)的初值解為y=y⑴.因?yàn)閨y(xo)|<M,故在天)的某一右鄰域內(nèi)，積分曲線y=v(x)位于4之

下，%之上

卜證曲線y="小5>心不能與直線《相交.若不然，也>x()使得y(x>)=yjM(x,-xo),II.

y/OMAx"/仇麗》但由拉格郎日中值定理，3y恤兇),使得“(§”貝再)二傀)成.矛而一工0

盾.此矛盾證明曲線y=不能與直線4相交.同理可證，"'ix>xo時(shí)，它也不能與匕相交.故當(dāng)、>不)時(shí)解曲線

y=以〉)位于直線“，￡之間?

同理可證，當(dāng)x<xo時(shí)，解曲線y=y"也位于立線4,￡之間.由延展定理，y=y/的存在區(qū)間為

(—00,00)o

3.證明由已知條件，該方程在整個(gè)斗y平而上滿足解的存在唯一及解的延展定理?xiàng)l件.

顯然*=±1是方程的兩個(gè)常數(shù)解.

任取初值(私處)，其中工00(-00,+00),|'|<1.記過該點(diǎn)的解為了=丫依),由上面分析可知，一方而y=可

以向平而無窮遠(yuǎn)處無限延展；另一方而又上方不能穿過*=1,下方不能穿過y=-l,否則與惟一性矛盾.故該解的存在區(qū)

間必為(-00,4-00).

4.證明由已知條件可知，該方程在整個(gè)洌；平而上滿足解的存在惟一及延展定理?xiàng)l件，又存在常數(shù)解y-ATT,A:

=0,±1,±2,???.

對平而內(nèi)任一點(diǎn)(xo,/?若為=上勿，則過該點(diǎn)的解是y=k7r,顯然是在(-oo,+oo)上有定義.

若為。廄，則e｛krc.(k+記過該點(diǎn)的解為y=為那么一方而解y=、(x)可以向平而的無窮遠(yuǎn)無限延

展；另一方而在條形區(qū)域｛(X,A)|-OO<X<+OO,心火<?<々+1)冗｝內(nèi)以>)不能上、下穿過解'=(4+1)”和y=&,否則與解

的惟一性矛盾.因此解的存在區(qū)間必為(-00,+00).

5.證明僅證x>xo方向，(反之亦然).

假設(shè)存在x>xo,使得(山(對二光(同不可能出現(xiàn)，否則與解惟一矛盾).

令y(x)=%(x)~y2(x),那么

y(xQ)=y,(xQ)-y,(xQ)<0,y(x)=y)(x)-y2(x)>G

由連續(xù)函數(shù)介值定理，存在X*G(Xo?X),使得

XX*)=A(X*)-A2(X*)=O

即功0*)=*2(疽)

這與解惟一矛盾

6.證明由已知條件知方程存在零解.該方程滿足解的存在惟一性定理?xiàng)l件.

設(shè)貝X)是方程的?個(gè)非零解，假如它滿足

y(xo)=。'孚=0,

由于零解也滿足上述條件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有*(x)三0,這與貝x)是非零解矛盾.

7.證明該方程在全平面上滿足解的存在惟?性定理及解的延展定理.

Xy=±l是該方程的兩個(gè)常數(shù)解.

現(xiàn)取xoe(-Ao,+oo),記過點(diǎn)(x(),*o)的解為V(x)?一方面該解可向平面的無窮遠(yuǎn)無限延展，另一方面又

不能上下穿越y(tǒng)=±1,否則將破壞解的惟一性.因此，該解只能在區(qū)域G=｛(x,y)||M<l,XE(q,+8)｝內(nèi)沿*軸兩側(cè)無限延

展，顯然其定義區(qū)間必是《。,+。。)?

8.證明方程在全平而上滿足解的存在唯一性定理的條件，乂丫=幻「/=0,±1,±2,???，是方程的常數(shù)解.

對平而上任取的C\）,Vo）

若％477則對應(yīng)的是常數(shù)解y=477其存在區(qū)間顯然是（fO,+O0）

若為G{kjr.（k+1）7r）則過該點(diǎn)的解可以向平面無窮遠(yuǎn)無限延展，但是上下又不能穿越y(tǒng)=k7r^\\y=（上+

I）〃，于是

解的存在區(qū)間必是（一00,4-00）?四、應(yīng)用題

1.求一曲線，具有如下性質(zhì)：曲線上任一點(diǎn)的切線，在X,*軸上的截距之和為1.

2.求一曲線，此曲線的任一切線在兩個(gè)坐標(biāo)軸間的線段長等于常數(shù)。?

1.解首先，由解析幾何知識可知，滿足a%=7的直線

3=1

ah

都是所求曲線.

設(shè)3y）為所求曲線上的點(diǎn)，0,"為其切線上的點(diǎn)，則過（x,y）的切線方程為Y-y=y\X-X）.

顯然有a=x-~,h=y%八此處a與b分別為切線在公軸與如軸上的截距.故y

X—

y

解出y,得到克萊洛方程

通解為

y-Cx+-y=Cx+-

0】1ci為所求曲線方程.

X一夕=。乃=5

1X?1

2.解設(shè)（x,y）為所求曲線上的點(diǎn),（X,Y）為其切線上的點(diǎn)，則過（x,y）的切線方程為

Y-y=y\X-x）.

顯然有，=x-力=/燈|此處a與b分別為切線在Ox軸與Oy軸上的截距.故y

(i\

l+FCy-9')2￥2,

Iy)

(Y,

即x--Cy-x/X-af.解出y得y-xy1'±---

Iy)〃+尹

故曲線的方程為

ac

y=ex土--

JI+決

_a

x=?

（1+c乎

222

消去c即的曲線方程為形考任務(wù)5

題目1

方程過點(diǎn)（0,0）的積分曲線（）.

選擇一項(xiàng)：

A.有無窮多條

B.有惟

C.不存在

D.只有二條

題目2

也Jo,當(dāng)y=。

天針女》I力〃K/當(dāng)｝，°*3平面上任一點(diǎn)的解都（、

方程在）.

選擇一項(xiàng)：

A.與x軸相交

B.是惟一的

C.與x軸相切

D.不是惟一的

題目3

di—COST

方程&”的所有常數(shù)解是（

）.

選擇一項(xiàng)：

D.y=二L二二.

題目4

裊相

方程S滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是（）.

選擇一項(xiàng)：

A.y>0的上半平面

B.全平面

C.除去x軸的全平面

D.y<0的下半平面

題目5

生二小一尸

方程'?過點(diǎn)(0,0)的解為J=/x,此解的存在區(qū)間是().

選擇一項(xiàng)：

C，-建“

題目6

A=A(x)Y+F&x任R.YeRnf

若A(x),F(x)乂0在(-8,+8)上連續(xù)，那么線性非齊次方程組出一,,的任一非零

解()?

選擇一項(xiàng)：

A.不可以與x軸相交

B.構(gòu)成一個(gè)n維線性空間

C.構(gòu)成一個(gè)n+1維線性空間

D.可以與x軸相交

題目7

d,

F(xtY)

n維方程組由的任一解的圖像是n+1維空間中的().

選擇一項(xiàng)：

A.n條曲線

B.一條曲線

C.n個(gè)曲面

D.一個(gè)曲而

題目8

方程《-'=0的任一非零解在平面上()零點(diǎn).

選擇一項(xiàng)：

A.只有一個(gè)

B.只有兩個(gè)

C.無

D.有無窮多個(gè)

題目9

三階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè)（）線性空間.

選擇一項(xiàng)：

A.3維

B.2維

C.4維

D.1維

題目10

用待定系數(shù)法求方程】’十】=2血》的非齊次特解時(shí)，應(yīng)設(shè)為（）.

選擇一項(xiàng)：

CVj=x（-4sinx-3cosxy

形考任務(wù)6

常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)6

第三章一階線性方程組、第四章n階線性方程的綜合練習(xí)

本課程形成性考核綜合練習(xí)共3次，內(nèi)容主要分別是第一章初等積分法的綜合練習(xí)、第二章基本定理的綜合練習(xí)、

第三章和第四章的綜合練習(xí)，目的是通過綜合性練習(xí)作業(yè)，同學(xué)們可以檢驗(yàn)自己的學(xué)習(xí)成果，找出掌握的薄弱知識點(diǎn)，

重點(diǎn)復(fù)習(xí)，爭取盡快掌握.

要求：首先請同學(xué)們下載作業(yè)附件文檔并進(jìn)行填寫，文檔填寫完成后請?jiān)诒敬巫鳂I(yè)頁面中點(diǎn)擊“去完成”按鈕進(jìn)入相

應(yīng)網(wǎng)頁界而完成任務(wù)，然后請將所做完的作業(yè)文檔以附件的形式上傳到課程上，隨后老師會(huì)在課程中進(jìn)行評分。

一、填空題

1.若.4（0在G8,+8）上連續(xù)，那么線性齊次方程組一在川的任一非零解在〃的空間不能

dx

與x軸相交.

dy

2.方程組-~=尸血Wxe#.KW的任何一個(gè)解的圖象是〃+I維空間中的一條積分曲線.

dx

3.向量函數(shù)組R（x）,兒⑴，…，H（x）線性相關(guān)的必要條件是它們的朗斯期行列式（（x）=0.

4.線性齊次微分方程組半=的一個(gè)基本解組的個(gè)數(shù)不能多于〃+1個(gè).

dx

5.若函數(shù)組例（x）,代3）在區(qū)間JM）上線性相關(guān)，則它們的朗斯基行列式在區(qū)間QM）上恒等于零.

6.函數(shù)組，的朗斯基行列式分是lfx）=

V,式OSXCOSX-sinx

V=Vi

7.二階方程/+9'+子*=。的等價(jià)方程組是，

71=F]*

8.若y和夕=仞2（工）是二階線性齊次方程的基本解組，則它們沒有共同零點(diǎn).

9.二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解y=34）,y=3（幻成為其基本解組的充要條件是一線性無關(guān)（或：它們的

朗斯基行列式不等于零)

10.〃階線性齊次微分方程線性無關(guān)解的個(gè)數(shù)最多為N個(gè).

11.在方程y"+P&ZK'=0中，p3,g(x)在(-°°,+°°)上連續(xù)，則它的任一非零解在刀切平面上可以

與x軸橫截相交.

12.二階線性方程/+2/+y=0的基本解組是e-\xe-x.

13.線性方程--\-y=0的基本解組是_cosx,sinx.

14.方程/+個(gè)'+疽v=o的所有解構(gòu)成一個(gè)2維線性空間?

15.〃階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè)_n_維線性空間.

二、計(jì)算題

1.將下列方程式化為一階方程組

(1)x+f(x)x4-g(x)=0

⑵y+a)(x)y~a2(x)y~a3(x)y

dy

d

x

—

g-y

解)s

Jd

y⑵解

—

ddx

r=-g(x)

dy?

押一松力H-\/m

2.求解下列方程組:

dxdr

?=5y+4x礦S*

d

⑴出<

dy<---/3x+ay

j=4y+5xdt

(1)解方程組的系數(shù)陣為4二特征方程為:

5-4；_廣婦)以一9)=0,

det(A-人E)

4

其特征根為4=1,人=9.

當(dāng)"時(shí)，口=啪，其中，滿足

y［邪冊。

1

則有ci+b0.取a=l,6=-l,則得一特解

4-1

同理，當(dāng)%=9時(shí),

所以方程組的解為*一1

W)"d

(2)解方程組的系數(shù)陣為A

ex—p

特征方程為：det(A-2E)=A且A*_a)2+/?2=o

特征根為A=a±/3i.~p

當(dāng)4=a+/3iR-t,其中a人滿足

3［：］n

—ClJ+/>

故有=°即b=

QI.

-C-A7'—八

取a=1,b二if于是方程組對應(yīng)于

Icos(3t+isin

/c,

I-sin(3t+

故特征根人三，子/V，所對應(yīng)的實(shí)解為

cosptsin(3t

二以

位

—凹si"J*cos

所以方程組的解為

COSpt-sm/3t

sin仞cos仞

3.求解下列方程組:

x=2x-y+zy

x=x+yy

⑴=3y-2x(2)=x^2y-zz=

x-y+2z

1

(1)解方程組的系數(shù)陣為

-2

1-人1

特征方程為：det(A-2E)==22-42+5=0

-23-A

特征根為九=2+z；冬=2—Z

X(-1-z1'a

當(dāng)4=2+1時(shí)，e2+其中a,力滿足(=o,

w-11-zb

即(」_g=O

1+(1_泌=0

第一個(gè)方程x(l—/)有一2a+(l+i)b=0

令。=1,則h-1+i

于是由=e(cosA+zsinZ)

costsinZ

解得通解

y(0cos/-sin/cos，t+sint

2-11

(2)解系數(shù)陣為4=12-1

-12

2-Z-1

特征方程為:det(A-2E)=1：2-A-1=(Z-l)(A-2)(/-3)=0.

-12-Z

特征根為\=1人=2,/?3=3.

x(t)0

通解解為y(00

z(。

4.求解下列方程組:

d

r

l=3x+y

dx=y+

/

d

y⑵

d2e'y=

/

4.解方程組的系數(shù)陣為