向量及其線性運(yùn)算

第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算一、向量概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算五、向量的模、方向角、投影向量：既有大小又有方向的量.向量表示：向量的方向：箭頭的方向.一、向量的概念或||向量的模：向量的大小.或向量的大小：向量長(zhǎng)度的值.模長(zhǎng)為1的向量.零向量：模長(zhǎng)為0的向量,其方向隨意.單位向量：或自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量.向徑：空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)

與原點(diǎn)構(gòu)成的向量.向量平行：k(2)個(gè)有公共起點(diǎn)的向量的k個(gè)終點(diǎn)和起點(diǎn)在一個(gè)平面上.兩個(gè)非零向量的方向相同或者相反.k個(gè)向量共面：二、向量的線性運(yùn)算[1]加法：（平行四邊形法則）特殊地：若‖分為同向和反向（平行四邊形法則有時(shí)也稱為三角形法則）1.向量的加減法向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）[2]減法2.向量與數(shù)的乘法數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）結(jié)合律：（2）支配律：兩個(gè)向量的平行關(guān)系證充分性明顯；必要性‖兩式相減，得依據(jù)向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量.點(diǎn)P．O．Pxx=

xi實(shí)數(shù)x向量此定理是建立數(shù)軸的理論依據(jù)數(shù)軸：點(diǎn)、方向、單位長(zhǎng)度軸上點(diǎn)P的坐標(biāo)為x的充分必要條件是.=xii1另外例1化簡(jiǎn)解例2試用向量方法證明：對(duì)角線相互平分的四邊形必是平行四邊形.證與平行且相等,結(jié)論得證.例3用向量的方法證明梯形兩腰中點(diǎn)的連線平行于底邊且等于兩底邊之和的一半證ABCDEF例4已知三個(gè)非零向量中任意兩個(gè)向量都不平行試證證由題設(shè)存在使若不然則與題設(shè)沖突故三、空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)軸:取空間一個(gè)定點(diǎn)O,作三條相互垂直的數(shù)軸，它們都以O(shè)為原點(diǎn)且一般具有相同的長(zhǎng)度單位，這三條軸分別叫作x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸);點(diǎn)O叫作坐標(biāo)原點(diǎn)(或原點(diǎn)).通常取x軸、y軸水平放置；z軸豎直放置,它們的正向符合右手法則.Oxyz坐標(biāo)系可記作[O；，，]坐標(biāo)系橫軸縱軸豎軸定點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)面：空直角間坐標(biāo)系中任兩軸確定的平面.xOy面、

yOz面、xOz面.卦限：坐標(biāo)面將空間分為八個(gè)卦限，用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、

Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.Ⅶ面面面空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空間的點(diǎn)有序數(shù)組特殊點(diǎn)的表示:坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn)zxoy這六個(gè)平面與x,y,z軸分別相交于向量在坐標(biāo)軸上的分向量稱有向線段的值為向量在x軸上的投影有向線段的值為向量在y軸上的投影有向線段的值為向量在z軸上的投影依次記作即xoy由圖上可以看出而——稱為基本單位向量xoy——向量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量——向量的分解式向量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影——稱為向量的坐標(biāo)向量可用它的坐標(biāo)表示為——向量的坐標(biāo)表示式xoy特殊地：——稱為向徑四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算設(shè)(為實(shí)數(shù))推論：則例5求解以向量為未知元的線性方程組其中解猶如解以實(shí)數(shù)為未知元的線性方程組一樣，可解得以的坐標(biāo)表示式代入，即得解設(shè)為直線上的點(diǎn)，由題意知：這就是點(diǎn)M的坐標(biāo).例6

已知和以及實(shí)數(shù)AB直線上求點(diǎn)M,使)(Bx2,,y2,z2)(Ax1,,y1,z11-1l，在五、向量的模、方向角、投影1.兩點(diǎn)的距離公式與向量的?？臻g兩點(diǎn)間距離公式特殊地：若兩點(diǎn)分別為向量的模解原結(jié)論成立.解設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為所求點(diǎn)為例10已知兩點(diǎn)A(4,0,5)和B(7,1,3),求與AB方向相同得

單位向量.解因?yàn)锳B=OB-OA=(7,1,3)-(4,0,5)=(3,1,-2),所以于是例9在z軸上求與兩點(diǎn)A(-4,1,7)和B(3,5,-2)等距離的點(diǎn).解因?yàn)樗蟮狞c(diǎn)M在z軸上,所以設(shè)M(0,0,z),依題義有即兩邊去根號(hào),解得z=所求的點(diǎn)M(0,0,).2.方向角與方向余弦兩向量的夾角的概念：特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.設(shè)AB類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.非零向量的方向角：非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角.由圖分析可知方向余弦

向量的方向余弦通常用來(lái)表示向量的方向.向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式當(dāng)時(shí)，向量方向余弦的坐標(biāo)表示式方向余弦的特征特殊地：?jiǎn)挝幌蛄康姆较蛴嘞覟槔?1已知兩點(diǎn)和，計(jì)算向量

的模、方向余弦和方向角.

解解所求向量有兩個(gè)，一個(gè)與同向，一個(gè)反向或解依題意有由關(guān)系式得因點(diǎn)A在第卦限,知，故于是這就是點(diǎn)A的坐標(biāo).例13設(shè)點(diǎn)A位于第卦限,向徑OA與x軸、y軸的夾角依次為和，且，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。解3.向量在軸上的投影空間一點(diǎn)在軸上的投影:.設(shè)，則數(shù)稱為向量

在軸上的投影，記作或.

設(shè)則或記作過(guò)點(diǎn)作軸的垂直平面，交點(diǎn)即為點(diǎn)在軸上的投影.(即),

性質(zhì)1其中為向量與軸的夾角;

性質(zhì)2(即);(即).

性質(zhì)3例15設(shè)立方體的一條對(duì)角線為OM,一條棱為OA,

且,求OA在OM方向上的投影Prj.解

記

有于是Prj解六、小結(jié)1.向量的概念（留意與標(biāo)量的區(qū)分）2.向量的加減法（平行四邊形法則）3.向量與數(shù)的乘法（留意數(shù)乘后的方向）6.向量在坐標(biāo)軸