選修2-3學(xué)案第2章概率2-3-1

2.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征2.3.1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望課時(shí)目標(biāo)1.通過(guò)實(shí)例理解離散型隨機(jī)變量均值的概念，能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值.2.理解離散型隨機(jī)變量均值的性質(zhì).3.掌握二點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布的均值.4.會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值，反映離散型隨機(jī)變量取值水平，解決一些相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題．1．離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，這些值對(duì)應(yīng)的概率是p1，p2，…，pn，則E(X)＝________________________叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡(jiǎn)稱期望)．2．常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(1)二點(diǎn)分布的數(shù)學(xué)期望：若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的二點(diǎn)分布，則E(X)＝________.(2)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望：若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝________.(3)超幾何分布的數(shù)學(xué)期望：若離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布，則E(X)＝______.一、選擇題1．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(X＝k)＝eq\f(1,4)，k＝1,2,3,4，則E(X)的值為()A．2.5 B．3.5 C．0.25 D．2．已知隨機(jī)變量X的分布列是X4a910P0.30.1b0.2若E(X)＝7.5，則a等于()A．5 B．6 C．7 D．3．兩封信隨機(jī)投入A、B、C三個(gè)空郵箱，則A郵箱的信件數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3) C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,4)4．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)且η＝2ξ＋3，則E(η)等于()A.eq\f(3,5) B.eq\f(6,5) C.eq\f(21,5) D.eq\f(12,5)5．設(shè)10件產(chǎn)品中含有3件次品，從中抽取2件進(jìn)行檢查，則查得次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為()A.eq\f(3,10) B.eq\f(3,5) C.eq\f(2,15) D.eq\f(8,15)二、填空題6．隨機(jī)變量X的概率分布由下表給出：X78910P0.30.350.20.15則隨機(jī)變量X的均值是________．7．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，則y的值為_(kāi)_______．8．某漁業(yè)公司要對(duì)下月是否出海做出決策，若出海后遇到好天氣，則可得收益60000元，若出海后天氣變壞，則將損失80000元，若不出海，則無(wú)論天氣好壞都將損失10000元，據(jù)氣象部門的預(yù)測(cè)，下月好天氣的概率為60%，壞天氣的概率為40%，該公司應(yīng)做出決策_(dá)_______．(填“出海”或“不出?！?三、解答題9．在人壽保險(xiǎn)事業(yè)中，很重視某一年齡段的投保人的死亡率，假如每個(gè)投保人能活到65歲的概率為0.6，試求3個(gè)投保人中，能活到65歲人數(shù)的數(shù)學(xué)期望．10．一個(gè)袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和2個(gè)黃球，從中同時(shí)取出2個(gè)．(1)求其中所含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望；(2)若每取到一個(gè)紅球可得到100元，那么可得金額的期望值為多少？能力提升11．已知ξ的分布列為：ξ－1012Peq\f(1,6)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,4)且η＝3ξ－1，求η的期望．12．設(shè)S是不等式x2－x－6≤0的解集，整數(shù)m，n∈S.(1)記“使得m＋n＝0成立的有序數(shù)組(m，n)”為事件A，試列舉A包含的基本事件；(2)設(shè)ξ＝m2，求ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(ξ)．1．求均值的關(guān)鍵是求出分布列，只要求出隨機(jī)變量的分布列，就可以套用均值的公式求解，對(duì)于aX＋b型隨機(jī)變量的均值，可以利用均值的性質(zhì)求解．2．二點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布的隨機(jī)變量的期望，直接利用公式計(jì)算．2．3隨機(jī)變量的數(shù)字特征2．3.1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望答案知識(shí)梳理1．x1p1＋x2p2＋…＋xnpn2．(1)p(2)np(3)eq\f(nM,N)作業(yè)設(shè)計(jì)1．A[E(X)＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,4)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)×10＝2.5.]2．C[∵E(X)＝4×0.3＋0.1×a＋9b＋2＝7.5，0．3＋0.1＋b＋0.2＝1，∴a＝7，b＝0.4.]3．B[由題意知ξ～B(2，eq\f(1,3))，∴E(ξ)＝2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).]4．C[E(ξ)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5)，又∵η＝2ξ＋3，∴E(η)＝2E(ξ)＋3＝2×eq\f(3,5)＋3＝eq\f(21,5).]5．B[次品數(shù)ξ的分布列為ξ012Peq\f(C\o\al(2,7),C\o\al(2,10))eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,7),C\o\al(2,10))eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))∴E(ξ)＝0×eq\f(C\o\al(2,7),C\o\al(2,10))＋1×eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,7),C\o\al(2,10))＋2×eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(3,5).]6．8.2解析E(X)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.7．0.4解析∵E(ξ)＝7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝7×(0.6－y)＋10y＋3.5＝7.7＋3y，∴7.7＋3y＝8.9，∴y＝0.4.8．出海解析設(shè)ξ為公司出海的獲利，則ξ的分布列為ξ60000－80000P0.60.4所以獲利期望E(ξ)＝36000－32000＝4000>－10000，所以應(yīng)出海．9．解設(shè)X為能活到65歲的人數(shù)，則X＝3,2,1,0.則P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×0.63×(1－0.6)0＝0.216；P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×0.62×(1－0.6)1＝0.432；P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×0.61×(1－0.6)2＝0.288；P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×0.60×(1－0.6)3＝0.064.所以隨機(jī)變量X的分布列為X3210P0.2160.4320.2880.064即E(X)＝3×0.216＋2×0.432＋1×0.288＋0×0.064＝1.8.10．解設(shè)ξ為取出紅球的個(gè)數(shù)，則ξ＝0,1,2.所以P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)；P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)；P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).所以E(ξ)＝0×eq\f(1,10)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＝1.2.(2)由于每取到一個(gè)紅球可得100元，因此可得金額的期望值為E(100ξ)＝100E(ξ)＝120(元)．11．解因?yàn)棣危剑?,0,1,2，且η＝3ξ－1，所以η的值分別為－4，－1,2,5，于是E(η)＝(－4)×eq\f(1,6)＋(－1)×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,3)＋5×eq\f(1,4)＝－eq\f(2,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(2,3)＋eq\f(5,4)＝1.12．解(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件為(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的所有不同取值為－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m2的所有不同取值為0,1,4,9，且有P(ξ＝0)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝1)＝eq\f(2,6)