人教版高中數(shù)學必修二教材用書點直線平面之間的位置關系2.1-1平面word版含答案2

08/909/9/2．1空間點、直線、平面之間的位置關系2．1.1平面平面[提出問題]寧靜的湖面、海面，生活中的課桌面、黑板面，一望無垠的草原給你什么樣的感覺？問題1：生活中的平面有大小之分嗎？提示：有．問題2：幾何中的“平面”是怎樣的？提示：從物體中抽象出來的，絕對平，無大小之分．[導入新知]1．平面的概念幾何里所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來的．幾何里的平面是無限延展的．2．平面的畫法(1)水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，它的銳角通常畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍．如圖①.(2)如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，把被遮擋部分用虛線畫出來．如圖②.3．平面的表示法圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.[化解疑難]幾何中的平面有以下幾個特點(1)平面是平的；(2)平面是沒有厚度的；(3)平面是無限延展而沒有邊界的．平面的基本性質(zhì)[提出問題]問題1：若把直尺邊緣上的任意兩點放在桌面上，直尺的邊緣上的其余點和桌面有何關系？提示：在桌面上．問題2：為什么自行車后輪旁只安裝一只撐腳就能固定自行車？提示：撐腳和自行車的兩個輪子與地面的接觸點不在一條直線上．問題3：兩張紙面相交有幾條直線？提示：一條．[導入新知]平面的基本性質(zhì)公理內(nèi)容圖形符號公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α公理2過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的α使A，B，C∈α公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α，P∈β?α∩β＝l，且P∈l[化解疑難]從集合角度理解點、線、面之間的關系(1)直線可以看成無數(shù)個點組成的集合，故點與直線的關系是元素與集合的關系，用“∈”或“?”表示；(2)平面也可以看成點集，故點與平面的關系也是元素與集合的關系，用“∈”或“?”表示；(3)直線和平面都是點集，它們之間的關系可看成集合與集合的關系，故用“?”或“?”表示.文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉(zhuǎn)化[例1]根據(jù)圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關系．(1)點P與直線AB；(2)點C與直線AB；(3)點M與平面AC；(4)點A1與平面AC；(5)直線AB與直線BC；(6)直線AB與平面AC；(7)平面A1B與平面AC.[解](1)點P∈直線AB；(2)點C?直線AB；(3)點M∈平面AC；(4)點A1?平面AC；(5)直線AB∩直線BC＝點B；(6)直線AB?平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直線AB.[類題通法]三種語言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．(2)根據(jù)符號語言或文字語言畫相應的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別．[活學活用]根據(jù)下列符號表示的語句，說明點、線、面之間的位置關系，并畫出相應的圖形：(1)A∈α，B?α；(2)l?α，m∩α＝A，A?l；(3)P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α.解：(1)點A在平面α內(nèi)，點B不在平面α內(nèi)，如圖①；(2)直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α相交于點A，且點A不在直線l上，如圖②；(3)直線l經(jīng)過平面α外一點P和平面α內(nèi)一點Q，如圖③.點、線共面問題[例2]證明兩兩相交且不共點的三條直線在同一平面內(nèi)．[解]已知：如圖所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．法一：(納入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α.∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．法二：(輔助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1，l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個平面β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個點A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)．∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．[類題通法]證明點、線共面問題的理論依據(jù)是公理1和公理2，常用方法有以下幾種(1)先由部分點、線確定一個面，再證其余的點、線都在這個平面內(nèi)，即用“納入法”；(2)先由其中一部分點、線確定一個平面α，其余點、線確定另一個平面β，再證平面α與β重合，即用“同一法”；(3)假設不共面，結(jié)合題設推出矛盾，用“反證法”．[活學活用]下列說法正確的是()①任意三點確定一個平面；②圓上的三點確定一個平面；③任意四點確定一個平面；④兩條平行線確定一個平面．A．①② B．②③C．②④ D．③④答案：C共線問題[例3]已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示．求證：P，Q，R三點共線．[解]證明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又∵AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知，點P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上．∴P，Q，R三點共線．法二：∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三點共線．[類題通法]點共線：證明多點共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點分別在兩個平面內(nèi)，證明點在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在其上．[活學活用]如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設線段A1C與平面ABC1D1交于點求證：B，Q，D1三點共線．證明：如圖所示，連接A1B，CD1.顯然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1?平面A1BCD1.同理BD1?平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C?平面A1BCD1∴Q∈平面A1BCD1.∴Q∈BD1，即B，Q，D1三點共線．eq\a\vs4\al(,,2.證明三線共點問題)[典例](12分)如圖，在四面體ABCD中，E，G分別為BC，AB的中點，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求證：EF，GH，BD交于一點．[解題流程][活學活用]如圖所示，在空間四邊形各邊AD，AB，BC，CD上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF，GH交于一點P，求證：點P在直線BD上．證明：∵EF∩GH＝P，∴P∈EF且P∈GH.又∵EF?平面ABD，GH?平面CBD，∴P∈平面ABD，且P∈平面CBD，又P∈平面ABD∩平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，由公理3可得P∈BD.∴點P在直線BD上．[隨堂即時演練]1．若點Q在直線b上，b在平面β內(nèi)，則Q，b，β之間的關系可記作()A．Q∈b∈β B．Q∈b?βC．Q?b?β D．Q?b∈β答案：B2．兩個平面若有三個公共點，則這兩個平面()A．相交 B．重合C．相交或重合 D．以上都不對答案：C3．下列對平面的描述語句：①平靜的太平洋面就是一個平面；②8個平面重疊起來比6個平面重疊起來厚；③四邊形確定一個平面；④平面可以看成空間中點的集合，它當然是一個無限集．其中正確的是________(填序號)．答案：④4．設平面α與平面β交于直線l，A∈α，B∈α，且直線AB∩l＝C，則直線AB∩β＝________.答案：C5．將下列符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言．(1)a?α，b∩α＝A，A?a.(2)α∩β＝c，a?α，b?β，a∥c，b∩c＝P.解：(1)(2)[課時達標檢測]一、選擇題1．用符號表示“點A在直線l上，l在平面α外”，正確的是()A．A∈l，l?α B．A∈l，l?αC．A?l，l?α D．A?l，l?α答案：B2．下列說法正確的是()A．三點可以確定一個平面B．一條直線和一個點可以確定一個平面C．四邊形是平面圖形D．兩條相交直線可以確定一個平面答案：D3．空間兩兩相交的三條直線，可以確定的平面數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．1或3答案：D4．下列推斷中，錯誤的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC．l?α，A∈l?A?αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合答案：C5．在空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF與HG交于點M，那么()A．M一定在直線AC上B．M一定在直線BD上C．M可能在直線AC上，也可能在直線BD上D．M既不在直線AC上，也不在直線BD上答案：A二、填空題6．線段AB在平面α內(nèi)，則直線AB與平面α的位置關系是________．答案：直線AB?平面α7．把下列符號敘述所對應的圖形的字母編號填在題后橫線上．(1)A?α，a?α________.(2)α∩β＝a，P?α且P?β________.(3)a?α，a∩α＝A________.(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________.答案：(1)C(2)D(3)A(4)B8．平面α∩平面β＝l，點A，B∈α，點C∈平面β且C?l，AB∩l＝R，設過點A，B，C三點的平面為平面γ，則β∩γ＝________.答案：CR三、解答題9．求證：如果兩兩平行的三條直線都與另一條直線相交，那么這四條直線共面．解：已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：直線a，b，c和l共面．證明：如圖所示，因為a∥b，由公理2可知直線a與b確定一個平面，設為α.因為l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈a，B∈b，則A∈α，B∈α.又因為A∈l，B∈l，所以由公理1可知l?α.因為b∥c，所以由公理2可知直線b與c確定一個平面β，同理可知l?β.因為平面α和平面β都包含著直線b與l，且l∩b＝B，而由公理2的推論2知，經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面，所以平面α與平面β重合，所以直線a，b，c和l共面．10．已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點共面；(2)若A1C交平面D