2022屆上海市嘉定區(qū)上海大學(xué)附屬嘉定高級中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

10/1009/10/2022屆上海市嘉定區(qū)上海大學(xué)附屬嘉定高級中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、填空題1．已知集合，，則__．【答案】【分析】直接由集合的交集運算得出答案.【詳解】由集合的交集運算直接可得：，故答案為：.2．已知角的終邊經(jīng)過點，則__________.【答案】【分析】直接利用三角函數(shù)的定義求值．【詳解】解：∵角的終邊經(jīng)過點，∴，故答案為：．【點睛】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．方程的解為._________.【答案】.【分析】利用指數(shù)的運算性質(zhì)將等式兩邊均轉(zhuǎn)化為以2為底的指數(shù)形式，根據(jù)指數(shù)方程求解即可．【詳解】方程，可化為，可得，解得，故答案為【點睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，方程的解法，考查計算能力，熟練運用指數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4．已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則實數(shù)______【答案】【解析】由冪函數(shù)定義有，結(jié)合其單調(diào)性即可求m.【詳解】由是冪函數(shù)知：，解得或，又∵在上單調(diào)遞減，∴，故答案為：5．函數(shù)的最大值為__________.【答案】2【解析】設(shè)，則，即求在上的最大值，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】設(shè)，則，即求在上的最大值.由在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng),即時，函數(shù)有最大值2.故答案為：26．已知，則__．【答案】-4【分析】分子分母同時除以，化弦為切，代入求值.【詳解】.故答案為：-47．已知扇形的面積為2，扇形圓心角的弧度數(shù)是2，則扇形的弧長為________【答案】【分析】根據(jù)扇形的面積為2結(jié)合扇形圓心角的弧度數(shù)是2，由求得半徑，再由弧長公式求解.【詳解】設(shè)弧長為l，半徑為r，弧度為，因為扇形的面積為2，所以，又因為扇形圓心角的弧度數(shù)是2，所以，所以扇形的弧長為.故答案為：【點睛】本題主要考查弧度制公式和扇形面積公式，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.8．已知，則的最小值為________.【答案】4【分析】首先根據(jù)指對互化，表示為，再利用基本不等式求最小值.【詳解】，，且，即，等號成立的條件是，又因為，解得.故答案為4.【點睛】本題考查指對互化，和基本不等式求最值，意在考查轉(zhuǎn)化和計算能力，屬于簡單題型.9．已知函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，且滿足對任意，都有，若時，，則_________.【答案】【解析】利用奇函數(shù)的定義，已知條件推出函數(shù)是周期函數(shù)，周期為4，然后由周期函數(shù)和奇函數(shù)的定義求值．【詳解】因為函數(shù)是定義在上奇函數(shù)，所以，所以所以，即是周期函數(shù)，周期為4．所以故答案為：．10．已知不等式對于恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__．【答案】【分析】設(shè)，，則題目轉(zhuǎn)化為在恒成立，求的最小值即可.【詳解】設(shè)，因為，則，不等式對于恒成立，等價于，即在恒成立，設(shè)，，令，（負(fù)舍），則根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知：在上為單調(diào)減函數(shù)，則，所以，故實數(shù)的取值范圍是，故答案為：.11．已知是定義在上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時，，若在內(nèi)關(guān)于的方程（且）有且只有個不同的根，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】推導(dǎo)出函數(shù)的周期和對稱軸，由題意可知函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有個交點，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)所滿足的不等式組，進(jìn)而可解出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由，得，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.又是定義在上的偶函數(shù)，所以，即，則是以4為周期的周期函數(shù).畫出函數(shù)與函數(shù)在上的圖象如圖所示.要使函數(shù)與的圖象有個不同的交點，則有，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查利用函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，一般轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.12．在中，角、、的對邊分別為、、，設(shè)的面積為，若，則的最大值為______．【答案】【分析】根據(jù)題中條件利用余弦定理進(jìn)行簡化，運用均值不等式求的范圍，然后由面積公式化簡為三角函數(shù)，求最值即可.【詳解】由題知，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.，而，.故答案為：二、單選題13．設(shè)函數(shù)存在反函數(shù)，且函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點（????）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論.【詳解】因為的圖象過點，所以函數(shù)的圖象過點，故選：B.14．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（????）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】因為二次函數(shù)的圖象是開口向上，對稱軸為直線，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得.故選：C.15．已知，，則“”是“”的（????）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】根據(jù)基本不等式及充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】解：，，則；當(dāng)時，．故成立；反之不成立，例如取，，則，但．故當(dāng)，時，，推不出；因此，，則“”是“”的的充分不必要條件．故選：．16．對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)，滿足，稱為“局部奇函數(shù)”，若為定義域上的“局部奇函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是（????）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)定義得有實數(shù)解，再分離變量轉(zhuǎn)化求對應(yīng)一元二次函數(shù)值域。【詳解】由題意得有實數(shù)解，即所以令，則所以故選：B【點睛】本題考查函數(shù)與方程以及一元二次函數(shù)值域，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.三、解答題17．已知集合，．(1)求，；(2)已知集合，若，求滿足條件的實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，(2)．【分析】（1）先化簡集合，再利用集合的交并補運算求解即可；（2）分類討論與兩種情況，利用集合的包含關(guān)系得到關(guān)于的不等式組，解之即可．【詳解】（1）因為，，所以，，故；（2）因為，當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，則，解得；綜上：，故實數(shù)的取值范圍為．18．已知，，，求：（1）和的值；（2）的值.【答案】（1），；（2）.【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得的值，利用誘導(dǎo)公式可求得的值；（2）利用兩角差的正切公式可求得的值，進(jìn)而再利用兩角差的正切公式可求得的值.【詳解】（1）由，，可得，，又由，；（2）由兩角差的正切公式得，因此，.【點睛】本題考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式以及兩角差的正切公式求值，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.19．在中，、、分別為、、的對邊，，，．(1)求角的大?。?2)求邊上的高的長度．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，利用正弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用兩角和的正弦公式求出的值，即可得出邊上的高為，即為所求.【詳解】（1）解：在中，因為，則為鈍角，所以，由正弦定理得，因為，所以，所以，所以．（2）解：在中，，所以邊上的高為．20．某跨國公司決定將某種智能產(chǎn)品大量投放中國市場，已知該產(chǎn)品年固定研發(fā)成本30萬元，每生產(chǎn)一臺需另投入90元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入為萬元，.（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬臺）的函數(shù)解析式（利潤＝銷售收入﹣成本）；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺時，該公司獲得的利潤最大？并求出最大利潤.【答案】（1）；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為30萬臺時，該公司獲得的利潤最大，最大利潤為2370萬元.【分析】（1）根據(jù)利潤銷售收入成本，即可得解；（2）分和兩種情況，分別根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式，求出對應(yīng)的的最大值，再比較大小，即可得解．【詳解】解：（1）年利潤.（2）當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時，因為，所以，，故當(dāng)年產(chǎn)量為30萬臺時，該公司獲得的利潤最大，最大利潤為2370萬元.21．對于函數(shù)，若函數(shù)是增函數(shù)，則稱函數(shù)具有性質(zhì)A．若，求的解析式，并判斷是否具有性質(zhì)A；判斷命題“減函數(shù)不具有性質(zhì)A”是否真命題，并說明理由；若函數(shù)具有性質(zhì)A，求實數(shù)k的取值范圍，并討論此時函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)．【答案】（1），具有性質(zhì)A；（2）假命題；（3）詳見解析.【分析】由，結(jié)合即可得出解析式，和單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)果；判斷命題“減函數(shù)不具有性質(zhì)A”，為假命題，舉出反例即可，如；若函數(shù)具有性質(zhì)A，可知在為增函數(shù)，進(jìn)而可求出實數(shù)k的取值范圍；再令，則在區(qū)間上零點的個數(shù)，即是的根的個數(shù)，結(jié)合k的取值范圍，即可求出結(jié)果.【詳解】解：，，在R上遞增，可知具有性質(zhì)A；命題“減函數(shù)不具有性質(zhì)A”，為假命題，比如：，在R上遞