高一數(shù)學-范題精講(任意角的三角函數(shù))

范題精講(任意角的三角函數(shù))［例1］已知a是第二象限角，試求:a-角所在的象限；a—角所在的象限；3)-a角所在范圍.【解】(1)Ta是第二象限角，?：+2kn<a<n+2kn,kwZ,兀a兀即-；■+kn<—+kn,kwZ.422故當k=2m(m￡Z故當k=2m(m￡Z)時,+2mn<—<—+2mn,4225a5a—n+2mn<<n+2mn，因此,因此，2角是第一象限角；當k=2m+1(m￡Z)時,a—角是第三象限角.a綜上可知，—角是第一或第三象限角.兀2a兀27(2)同理可求得：三+丁'兀<<+7?'兀,k丘Z,當k=3m(m丘Z)時，TOC\o"1-5"\h\z6————兀小a兀a兀2+2%兀<<+2mn,此時，〒角是第一象限角；當k=3m+1(mWZ)時，：+2mn+—

6———6—a兀25aan<<+2mn+n,即n+2mn<<n+2mn,此時，角是第二象限角；———6———a5a當k=3m+2(mZ)時，—n+2mn<■—<—n+2mn,此時，■—角是第四象限角.a綜上可知，-角是第一、第二或第四象限角.(3)同理可求得2a角所在范圍為：n+4kn<2a<2n+4kn,kwZ.【評注】(1)注意某一區(qū)間內(nèi)的角與象限角的區(qū)別.象限角是由無數(shù)個區(qū)間角組成的，例如0°<a<90°這個區(qū)間角，只是k=0時第一象限角的一種特殊情況.2要會正確運用不等式進行角的表達，同時會對k取不同值，討論形如e=a+—kn(k￡Z)所表示的角所在象限.對于本例(3)，不能說2a只是第三、四象限的角，因為2a也可為終邊在y軸負3半軸上的角2n+4kn(k^Z)，而此角不屬于任何象限.兀兀［例2］設集合A={xlkn+4Wx<kn+2,kWZ},集合B={xl6+x-x2±0},求AHB.【解】由6+x-x220得x2-x-6W0,解得-2WxW3.兀兀對kTT+4<x<kn+2TOC\o"1-5"\h\z..3兀取k=0，有-WxV-，取k=-1,有一4nWxV—-,兀兀兀由右圖可得，AHB={xl—2WxV—-或-WxV-}.tan2a—cot2a1［例3］化簡+—.sin2a—cos2acos2asin2a解法一】（定義法）y設點P（x,y）是角a終邊上一點，且IOPI=r,則將sina=,rxyxcosa=—,tana=,cota=—代入得:rxy(y)2-(")2原式=—L(y)2-(")2rr(y4—x4)r2r2(y2—x2)2r2TOC\o"1-5"\h\z+==x2y2x2y2(y2—x2)x2y2x2x2y2【解法二】(化弦法)sinacosa()2—()2原式=cosasina+sin2a—cos2aasin2a—cos2asin2cos2asin2a+cos2asin2a—cos2a+=sin2acos2asin2acos2acos2a解法三】（換元法）1—a設cos2a=a，貝9sin2a=l—a,tan2a=,a代入得1一aa原式=壬目+1-占(1-a)2-a2*1—2aa(1—a)(1—2a)a(1—a)

11-2a22=+==—a(1-a)a(1-a)acos2a【評注】“切化弦”與“弦化切”是三角變形的基本方法，而通過定義、換元方法，使得三角式的化簡問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的化簡問題，則體現(xiàn)了數(shù)學中的化歸思想.［例4］已知sin?、cos。是關于x的方程x2—ax+a=0的兩個根(a^R),(1)求sin3?+cos3?的值；(2)求tan?+cot?的值.【分析】涉及實系數(shù)一元二次方程實根問題，欲求二根的某種組合式的值，則韋達定理必被用上，此題的解題關鍵在于借助韋達定理和同角三角函數(shù)基本關系式先求出實數(shù)a來.【解】依題意，方程判別式卜三0,即(一a)2—4a三0,解得a三4或aW0,且「sin0+cos0二a,彳由(sin?+cos?)2=l+2sin?cos?得a2=1+2a解得a=l+“2(舍去)或a=1［sm0cos0二a;—邁.sin?+cos?=sin?cos?=1(l)sin3?+cos3?=(sin?+cos?)(sin2?—sin?cos?+cos2?)=(1一■2)[1一(1一、2)]=、：2一2；1sin0cos01-邁TOC\o"1-5"\h\zsin1sin0cos01-邁⑵tan?+cot?=+cos0sin0【評注】對a=1+*2的舍去，既可依據(jù)判別式大于等于零的條件考慮，也可根據(jù)a=sin1?1?cOs?=