概率與統(tǒng)計(jì)課件

概率與統(tǒng)計(jì)課件第一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日2序言?概率論是研究什么的？隨機(jī)現(xiàn)象：不確定性與統(tǒng)計(jì)規(guī)律性概率論——研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的科學(xué)第二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日3第一章概率論的基本概念第一節(jié)樣本空間、隨機(jī)事件第二節(jié)概率、古典概型第三節(jié)條件概率、全概率公式第四節(jié)獨(dú)立性第三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.

“太陽(yáng)不會(huì)從西邊升起”,(1)確定性現(xiàn)象

“同性電荷必然互斥”,“水從高處流向低處”,實(shí)例自然界所觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象4第四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日在一定條件下，試驗(yàn)有多種可能的結(jié)果，但事先又不能預(yù)測(cè)是哪一種結(jié)果的現(xiàn)象稱隨機(jī)現(xiàn)象。實(shí)例1

在相同條件下擲一枚均勻的硬幣，觀察正反兩面出現(xiàn)的情況.(2)隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.5第五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日結(jié)果有可能為:1,2,3,4,5或6.實(shí)例3

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).實(shí)例2

用同一門炮向同一目標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多發(fā),觀察彈落點(diǎn)的情況.結(jié)果:彈落點(diǎn)會(huì)各不相同.6第六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)例4

從一批含有正品和次品的產(chǎn)品中任意抽取一個(gè)產(chǎn)品.其結(jié)果可能為:

正品

、次品.實(shí)例5

過馬路交叉口時(shí),可能遇上各種顏色的交通指揮燈.7第七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)例6

出生的嬰兒可能是男,也可能是女.實(shí)例7

明天的天氣可能是晴

,也可能是多云或雨.8第八頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日

隨機(jī)現(xiàn)象在一次觀察中出現(xiàn)什么結(jié)果具有偶然性,但在大量試驗(yàn)或觀察中,這種結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性

,概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象是通過隨機(jī)試驗(yàn)來研究的.問題什么是隨機(jī)試驗(yàn)?如何來研究隨機(jī)現(xiàn)象?說明9第九頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日一、隨機(jī)試驗(yàn)在概率論中,把具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。（1）可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行；（2）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；（3）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。10第十頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日說明

隨機(jī)試驗(yàn)簡(jiǎn)稱為試驗(yàn),是一個(gè)廣泛的術(shù)語(yǔ).它包括各種各樣的科學(xué)實(shí)驗(yàn),也包括對(duì)客觀事物進(jìn)行的“調(diào)查”、“觀察”或“測(cè)量”等.11第十一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)例

“拋擲一枚硬幣,觀察正面、反面出現(xiàn)的情況”.分析(1)試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果:正面、反面;(3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).故為隨機(jī)試驗(yàn).12第十二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日(1)拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).(2)從一批產(chǎn)品中,依次任選三件,記錄出現(xiàn)正品與次品的件數(shù).同理可知下列試驗(yàn)都為隨機(jī)試驗(yàn).(3)記錄某公共汽車站某時(shí)刻的等車人數(shù).13第十三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日樣本空間與隨機(jī)事件隨機(jī)事件（簡(jiǎn)稱事件）：在隨機(jī)試驗(yàn)中，可能發(fā)生也可能不發(fā)生,而在大量試驗(yàn)中具有某種規(guī)律性的事件稱為隨機(jī)事件（或偶然事件）。通常用大寫字母A、B,…表示。基本結(jié)果：（1）每次試驗(yàn)必然出現(xiàn)且只能出現(xiàn)其中一個(gè)基本結(jié)果。（2）任何結(jié)果，都是由其中一些基本結(jié)果組成，每個(gè)基本結(jié)果稱樣本點(diǎn)。14第十四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日隨機(jī)事件中有兩個(gè)極端情況：每次試驗(yàn)中都必然發(fā)生的事件，稱為必然事件

。每次試驗(yàn)中都不發(fā)生的事件，稱為不可能事件?；臼录菢颖究臻g的單點(diǎn)集。復(fù)合事件是由多個(gè)樣本點(diǎn)組成的集合。必然事件包含一切樣本點(diǎn)，它就是樣本空間。不可能事件不含任何樣本點(diǎn)，它就是空集。樣本空間：隨機(jī)試驗(yàn)的全體基本事件組成的集合稱為樣本空間。記為。15第十五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日1．事件的包含事件發(fā)生事件發(fā)生設(shè)、為兩個(gè)事件，如果中的基本事件都是的基本事件，則稱包含于，記為，或包含，記為.

事件之間的關(guān)系和運(yùn)算實(shí)例

A=“長(zhǎng)度不合格”必然導(dǎo)致B=“產(chǎn)品不合格”所以事件之間的關(guān)系（事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生）16第十六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日welcome172.事件的相等=若兩個(gè)事件和相互包含，則稱這兩個(gè)事件相等。記為.和同時(shí)發(fā)生或者同時(shí)不發(fā)生即A與B中的樣本點(diǎn)完全相同第十七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日3.事件的和（并）將事件的基本事件和的基本事件合在一起組成的一個(gè)新事件，稱為和的和事件，記為，可讀成并或加.有時(shí)也可記為.

實(shí)例

某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長(zhǎng)度與直徑是否合格所決定,因此

C=“產(chǎn)品不合格”是A=“長(zhǎng)度不合格”與B=“直徑不合格”的并，即A和B兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生A∪B第十八頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日194.事件的積（交）將事件的和共有基本事件合在一起組成的一個(gè)新事件，稱為和的和事件，記為，可讀成交或乘.有時(shí)也可記為.

實(shí)例某種產(chǎn)品的合格與否是由該產(chǎn)品的長(zhǎng)度與直徑是否合格所決定,設(shè)Ｃ＝“產(chǎn)品合格”,Ａ＝“長(zhǎng)度合格”,Ｂ＝“直徑合格”．第十九頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日20第二十頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日21和事件與積事件的運(yùn)算性質(zhì)第二十一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日225.事件的差從事件中將屬于事件的基本事件除去,剩下的基本事件組成的新事件稱為和的差事件,記為.事件發(fā)生而事件不發(fā)生實(shí)例設(shè)Ｃ＝“長(zhǎng)度合格但直徑不合格”,Ａ＝“長(zhǎng)度合格”,Ｂ＝“直徑合格”.第二十二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日23事件、不可能同時(shí)發(fā)生6.事件的互斥（互不相容）若事件和沒有共同的基本事件，則稱和互斥，也稱互不相容，記為.注意基本事件是兩兩互斥的.第二十三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日247.事件的逆（對(duì)立事件）稱必然事件和事件的差為的逆事件，記為，如果和互逆，則也可稱和互為對(duì)立事件事件不發(fā)生實(shí)例

“骰子出現(xiàn)1點(diǎn)”“骰子不出現(xiàn)1點(diǎn)”對(duì)立第二十四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日若事件A1,A2,……An為兩兩互不相容

的事件，并且A1+A2+,……+An=Ω，

稱A1,A2,……An構(gòu)成一個(gè)完備事件組。25第二十五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日26事件的運(yùn)算規(guī)律由集合的運(yùn)算律，易給出事件間的運(yùn)算律.設(shè)為同一隨機(jī)試驗(yàn)中的事件，則有(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律第二十六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日27(4)自反律(5)對(duì)偶律注：上述各運(yùn)算律可推廣到件的情形.有限個(gè)或可數(shù)個(gè)事第二十七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日28(6)吸收律(7)替換律第二十八頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日29例1.1

設(shè)A,B,C為3個(gè)事件，用A,B,C的運(yùn)算式表示下列事件：（1）A發(fā)生而B與C都不發(fā)生：（2）A，B都發(fā)生而C不發(fā)生：（3）A，B，C至少有一個(gè)事件發(fā)生：（4）A，B，C至少有兩個(gè)事件發(fā)生：（5）A，B，C恰好有兩個(gè)事件發(fā)生：（6）

A，B，C恰好有一個(gè)事件發(fā)生：（7）A，B至少有一個(gè)發(fā)生而C不發(fā)生：（8）A，B，C都不發(fā)生：第二十九頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日例1.2

從一批產(chǎn)品中每次取出一個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)（每次取出的產(chǎn)品不放回），事件Ai表示第i次取到合格品（i=1,2,3）。試用事件的運(yùn)算符號(hào)表示下列事件：三次都取到了合格品；三次中至少一次取到合格品；三次中恰有兩次取到合格品；三次中至多有一次取到合格品。30第三十頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日解：三次中全取到合格品：A1A2A3;三次中至少一次取到合格品:A1+A2+A3;三次中恰有兩次取到合格品:三次中至多有一次取到合格品。

31第三十一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日32練習(xí)甲,乙,丙三人各射一次靶,記“甲中靶”,“乙中靶”,“丙中靶”,則可用上述三個(gè)事件的運(yùn)算來分別表示下列各事件:(1)(3)(4)(2)“甲未中靶”“甲中靶而乙未中靶”“三人中只有丙未中靶”“三人中恰好有一人中靶”(5)“三人中至少有一人中靶”或第三十二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日33(10)(9)(8)“三人中至少有兩人中靶”“三人中均未中靶”“三人中至多一人中靶”(11)“三人中至多兩人中靶”或(6)(7)“三人中至少有一人未中靶”“三人中恰有兩人中靶”或第三十三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日34注:用其它事件的運(yùn)算來表示一個(gè)事件,方法往往不唯一,如本例中的(6)和(11)實(shí)際上是同一事件,大家應(yīng)學(xué)會(huì)特別在解決具體問題時(shí),往往要更具需要方法.用不同方法表達(dá)同一事件,選擇一種恰當(dāng)?shù)谋硎?6)“三人中至少有一人未中靶”(11)“三人中至多兩人中靶”第三十四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日35一、概率的統(tǒng)計(jì)意義三、概率的幾何定義二、概率的古典定義1.2

隨機(jī)事件的概率五、概率的性質(zhì)四、概率的公理化定義第三十五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日36

研究隨機(jī)現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗(yàn)中會(huì)出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小，也就是事件的概率.概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量

事件發(fā)生的可能性越大，概率就越大！第三十六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日37一、概率的統(tǒng)計(jì)意義定義顯然次數(shù)為頻率.若在相同條件下進(jìn)行次試驗(yàn)，其中發(fā)生的則稱為事件發(fā)生的第三十七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日試驗(yàn)序號(hào)12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502實(shí)例將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次,各做

7遍,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.隨n的增大,頻率

fn(A)呈現(xiàn)出穩(wěn)定性38第三十八頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日從上述數(shù)據(jù)可得(2)拋硬幣次數(shù)n較小時(shí),頻率fn(A)的隨機(jī)波動(dòng)幅度較大,但隨n

的增大,頻率fn(A)呈現(xiàn)出穩(wěn)定性.即當(dāng)n

逐漸增大時(shí)頻率fn(A)總是在0.5附近擺動(dòng),且逐漸穩(wěn)定于0.5.(1)頻率有隨機(jī)波動(dòng)性,即對(duì)于同樣的n,所得的fn(A)不一定相同;39第三十九頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)驗(yàn)者德摩根蒲豐204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.500540第四十頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日重要結(jié)論當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)n

較小時(shí),事件Ａ發(fā)生的頻率波動(dòng)幅度比較大,當(dāng)n逐漸增大時(shí),頻率趨于穩(wěn)定值，這個(gè)穩(wěn)定值從本質(zhì)上反映了事件Ａ在試驗(yàn)中出現(xiàn)可能性的大小.它就是事件的概率．41第四十一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日概率的統(tǒng)計(jì)定義定義在相同條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn),若事件A發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大而穩(wěn)定地在某個(gè)常數(shù)P附近擺動(dòng),則稱P為事件A的概率，記為P(A).42第四十二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日2、概率的古典定義定義1.4：

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E滿足如下條件:試驗(yàn)的樣本空間只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，即(2)每個(gè)樣本點(diǎn)的發(fā)生是等可能的，即則稱試驗(yàn)為古典概型，也稱為等可能概型。古典概型中事件A的概率計(jì)算公式為43第四十三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日例1一個(gè)袋子中裝有10個(gè)大小相同的球,其中3個(gè)黑球,7個(gè)白球,求:(1)從袋子中任取兩球,剛好一個(gè)白球一個(gè)黑球的概率解以及兩個(gè)球全是黑球的概率.(1)10個(gè)球中任取兩球的取法有種,其中剛好一個(gè)白球,一個(gè)黑球的取法有種取法,兩個(gè)球均是黑球的取法有種,記為好取到一個(gè)白球一個(gè)黑球”,為為黑球”,則事件“剛事件“兩個(gè)球均44第四十四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日例212名新生中有3名優(yōu)秀生，將他們隨機(jī)地平均分配到三個(gè)班中去，試求：（1）每班各分配到一名優(yōu)秀生的概率；（2）

3名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班的概率.解

12名新生平均分配到三個(gè)班的可能分法總數(shù)為

（1）設(shè)A表示“每班各分配到一名優(yōu)秀生”45第四十五頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日（2）

設(shè)B表示“3名優(yōu)秀生分到同一班”，故3名優(yōu)秀生分到同一班共有3種分法，其他9名學(xué)生分法總數(shù)為，故由乘法原理，B包含樣本總數(shù)為

46第四十六頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日例3

兩封信隨機(jī)地向標(biāo)號(hào)為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的4個(gè)郵筒投寄，求第二個(gè)郵筒恰好被投入1封信的概率。解：設(shè)事件A表示第二個(gè)郵筒只投入1封信。兩封信隨機(jī)地投入4個(gè)郵筒共有42種等可能的投法，而組成事件A的不同投法只有C21C31種。有古典概型公式P(A)=C21C31/42=3/847第四十七頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日3、幾何概型若試驗(yàn)具有如下特征:48第四十八頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日例

兩人相約在某天下午2∶00~3∶00在預(yù)定地方見面，先到者要等候20分鐘，過時(shí)則離去.如果每人在這指定的一小時(shí)內(nèi)任一時(shí)刻到達(dá)是等可能的，求約會(huì)的兩人能會(huì)到面的概率.

解

設(shè)x,y為兩人到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)的時(shí)刻，那么，兩人到達(dá)時(shí)間的一切可能結(jié)果落在邊長(zhǎng)為60的正方形內(nèi)，這個(gè)正方形就是樣本空間Ω,而兩人能會(huì)面的充要條件是｜x-y｜≤20，即x-y≤20且y-x≤20.49第四十九頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日例兩人約定上午9:00——10:00在公園會(huì)面，求一人要等另一人半小時(shí)以上的概率。解：設(shè)兩人到達(dá)時(shí)刻分別為X、Y，則

0≤X、Y≤60，事件一人要等另一人半小時(shí)以上等價(jià)于

如圖陰影部分所示

50第五十頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)甲、乙兩艘輪船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘輪船的碼頭停泊，它們?cè)谝粫円沟竭_(dá)的時(shí)刻是等可能的，如果甲船的停泊時(shí)間是1小時(shí)，乙船的停泊時(shí)間是2小時(shí)，求它們中的任何一艘船都不需要等候碼頭空出的概率。51第五十一頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日解：設(shè)甲、乙兩艘輪船到達(dá)碼頭的時(shí)刻分別是x、y，由題意0≤x≤24，0≤y≤24xy0212424設(shè)事件A表示兩艘輪船中的任何一艘都不需要等候碼頭空出，等價(jià)以下2種可能情況（1）若甲先到碼頭（即x＜y）,則有y-x＞1;（2）若乙先到碼頭（即y＜x）,則有x-y＞2；事件A包含的基本事件可以用圖中陰影部分表示52第五十二頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日在學(xué)習(xí)幾何和代數(shù)時(shí)，我們已經(jīng)知道公理是數(shù)學(xué)體系的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)上所說的“公理”，就是一些不加證明而公認(rèn)的前提，然后以此為基礎(chǔ)，推演出所討論對(duì)象的進(jìn)一步的內(nèi)容.4、概率的公理化定義53第五十三頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日即通過規(guī)定概率應(yīng)具備的基本性質(zhì)來定義概率.

下面介紹用公理給出的概率定義.

1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出了概率的公理化定義.柯爾莫哥洛夫提出的公理為數(shù)很少且極為簡(jiǎn)單，但在此基礎(chǔ)上建立起了概率論的宏偉大廈.54第五十四頁(yè)，共六十三頁(yè)，2022年，8月28日定義:設(shè)