2020-2021學(xué)年浙江省91高中聯(lián)盟高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

2020-2021學(xué)年浙江省9+1高中聯(lián)盟高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，，則集合M和集合N的關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由子集的概念進(jìn)行判斷結(jié)合選項(xiàng)得出答案．【詳解】集合中的每一個(gè)元素都是集合中的元素，集合是集合的子集故選：C2．函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，只需解析式有意義，即，解不等式即可求解.【詳解】由，則，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：B3．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則（）A．3 B． C．或3 D．1或【答案】B【分析】利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)列出方程和不等式，可得的值．【詳解】?jī)绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則，解得故選：B4．命題“，”的否定為（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】由含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】命題“，”的否定為“，”故選：A5．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由與互相推出的情況結(jié)合選項(xiàng)判斷出答案．【詳解】，由可以推出，而不能推出則“”是“”的充分而不必要條件故選：A6．函數(shù)（且）與函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】分，兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸選出正確答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸，排除B,D；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸，排除A,故選:C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.7．對(duì)于給定的正數(shù)k，定義函數(shù)，若對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，恒有，則（）A．k的最大值為2 B．k的最小值為2C．k的最大值為4 D．k的最小值為4【答案】D【分析】由題意可得：，先由求函數(shù)得定義域，，，求出的范圍，，即可求出的最大值，即可求得k的范圍，即可求解.【詳解】由題意若對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，恒有，函數(shù)定義域內(nèi)恒有，即，因?yàn)?，即，解得：，所以函?shù)定義域?yàn)椋?，由二次函?shù)的知識(shí)知：對(duì)稱(chēng)軸為，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以時(shí)，，或時(shí)，，所以，，，所以，所以，即k的最小值為4，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是由題意可得，由解得：令，，求出的最大值和最小值，即可求出的范圍，進(jìn)而求出的范圍，即可求得k的最小值.8．已知定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則關(guān)于x的不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)具有奇偶性的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求得的值，把不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)單調(diào)性和定義域，得出相應(yīng)的不等式組，即可求解.【詳解】由題意，定義在上的偶函數(shù)，可得，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，又由函?shù)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則不等式可化為，可得不等式組，解得，即不等式的解集為.故選：D.【點(diǎn)睛】求解函數(shù)不等式的方法：1、解函數(shù)不等式的依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性的定義，具體步驟：①將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為的形式；②根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉對(duì)應(yīng)法則“”轉(zhuǎn)化為形如：“”或“”的常規(guī)不等式，從而得解.2、利用函數(shù)的圖象研究不等式，當(dāng)不等式問(wèn)題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時(shí)，常將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象上、下關(guān)系問(wèn)題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解.二、多選題9．設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由不等式同向可加判斷出A正確；由得出，再利用不等式同向可加判斷出B錯(cuò)誤；由不等式同向且正可乘判斷出C正確；由得出，再利用不等式同向且正可乘判斷出D錯(cuò)誤．【詳解】，，，A正確；，，，B錯(cuò)誤；，，，C正確；，，，D錯(cuò)誤；故選：AC10．下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義，以及基本初等函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A(yíng)中，函數(shù)，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合題意；對(duì)于B中，函數(shù)，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又由冪函數(shù)的性質(zhì)，可得在區(qū)間上單調(diào)遞減，不符合題意；對(duì)于C中，函數(shù)，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意；對(duì)于D中，函數(shù)，則，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合題意.11．下列各選項(xiàng)中，最大值是1的是（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】對(duì)于A(yíng)，函數(shù)只有最小值沒(méi)有最大值；對(duì)于B，利用不等式求出得最大值，可得函數(shù)的最大值；對(duì)于C，分和討論，利用不等式求出最大值即可；對(duì)于D，通過(guò)配湊利用不等式求出最小值，無(wú)最大值．【詳解】對(duì)于A(yíng)，，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取等號(hào)，函數(shù)沒(méi)有最大值；對(duì)于B，＝，y≥0，∴y≤，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取等號(hào)；對(duì)于C，時(shí)，；時(shí)，y＝≤，當(dāng)且僅當(dāng)x＝±1時(shí)取等號(hào)；對(duì)于D，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，函數(shù)沒(méi)有最大值；故選：BC.12．設(shè)S，T是R的兩個(gè)非空子集，如果存在一個(gè)從S到T的函數(shù)滿(mǎn)足：（i）（ii）對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，恒有，那么稱(chēng)這兩個(gè)集合“保序同構(gòu)”，以下集合對(duì)是“保序同構(gòu)”的是（）A．，B．，或C．，D．，【答案】ABD【分析】由題意，對(duì)于各選項(xiàng)只要能找到一個(gè)函數(shù)使其定義域?yàn)?，值域?yàn)?，且在定義域上是單調(diào)增，即S，T是“保序同構(gòu)”的.【詳解】由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋以诙x域上是單調(diào)增函數(shù).對(duì)于A(yíng)，，對(duì)于B，，對(duì)于C，找不到對(duì)應(yīng)函數(shù)，對(duì)于D，，故選：ABD三、填空題13．已知集合，若，則__________.【答案】1或2；【分析】由，可得或，注意要滿(mǎn)足集合元素的互異性，即可得解.【詳解】由，，若，，，此時(shí)，符合題意；若，則，，當(dāng)時(shí)，，不符題意，當(dāng)時(shí)，，符合題意，綜上可得：或.故答案為：1或2.14．已知定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)有，則__________.【答案】【分析】由函數(shù)為R上的奇函數(shù)，可得，代入解析式計(jì)算可得答案．【詳解】是定義在R上的奇函數(shù)，故答案為：15．已知存在，不等式成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.【答案】【分析】問(wèn)題轉(zhuǎn)化為即可，，由，令，，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最大值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，從而求出的范圍即可．【詳解】若存在，不等式成立，即即可，，由，令，，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最大值，而，的最大值是2，故，故，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的有解問(wèn)題，一般通過(guò)變量分離，將不等式有解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題：1.有解；2.有解.16．已知函數(shù)，設(shè)，若關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則m的取值范圍是________.【答案】【分析】若在R上恒成立，則，，只需要，先寫(xiě)出的解析式，求出的最小值即可.【詳解】若在R上恒成立，則，，則，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在最小值為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是：由在R上恒成立，可得，令，則，關(guān)鍵點(diǎn)是利用的單調(diào)性求出最小值.四、解答題17．求值：（1）（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則和性質(zhì)，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可得.（2）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可得.18．已知集合，，.（1）求，：（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；；（2）.【分析】（1）由并集的定義，以及交集和補(bǔ)集的定義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）等價(jià)于，按和討論，分別列出不等式，解出實(shí)數(shù)m的取值范圍．【詳解】（1）；（2）因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即綜上，19．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式；（2）若關(guān)于x的方程在上有兩個(gè)不相等實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）或；（2）或.【分析】（1）對(duì)一元二次不等式分解因式，通過(guò)得出，可得不等式的解集；（2）關(guān)于x的方程在上有兩個(gè)不相等實(shí)根，可得，設(shè)，則有且對(duì)稱(chēng)軸小于，解不等式可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）∵∴，即或（2）解法一：∵在上有兩個(gè)不相等實(shí)根∴或設(shè)，則∴∴，又的對(duì)稱(chēng)軸為，∴，∴∴綜上或.解法二：∵在上有兩個(gè)不相等實(shí)根∴令令則，即由圖象可知，該題轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)∴或【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查一元二次不等式的解法，考查一元二次方程根的分布，考查了學(xué)生計(jì)算能力，不妨設(shè)一元二次方程所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)開(kāi)口向上，則兩根都小于時(shí)，則；2.兩根都大于時(shí)，則3.一根小于，一根大于時(shí)，則．20．新能源開(kāi)發(fā)能夠有效地解決我國(guó)能源短缺和傳統(tǒng)能源使用帶來(lái)的環(huán)境污染問(wèn)題，國(guó)家新能源政策的出臺(tái)，給新能源產(chǎn)業(yè)帶來(lái)了春天，已知浙江某新能源企業(yè)，年固定成本600萬(wàn)，每生產(chǎn)臺(tái)設(shè)備，另需投入成本t萬(wàn)元，若年產(chǎn)量不足100臺(tái)，則；若年產(chǎn)量不小于100臺(tái)，則，每臺(tái)設(shè)備售價(jià)150萬(wàn)元，通過(guò)市場(chǎng)分析，該企業(yè)生產(chǎn)的設(shè)備能全部售完.（1）寫(xiě)出年利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（臺(tái)）的關(guān)系式；（2）年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？【答案】（1）；（2）110臺(tái).【分析】（1）分年產(chǎn)量不足100臺(tái)和年產(chǎn)量不小于100臺(tái)兩種情況進(jìn)行分析，利潤(rùn)=總收入-總投入，即得結(jié)果；（2）討論分段函數(shù)最值，即得結(jié)果.【詳解】解：（1）依題意，若年產(chǎn)量不足100臺(tái)，另外投本，固定投本600萬(wàn)，總收入150x萬(wàn)元，故利潤(rùn)；若年產(chǎn)量不小于100臺(tái)，另外投本，固定投本600萬(wàn)，總收入150x萬(wàn)元，故利潤(rùn).故；（2）當(dāng)時(shí)，，在對(duì)稱(chēng)軸處，取得最大值，；當(dāng)，時(shí)，，對(duì)勾函數(shù)在上遞減，在上遞增，故時(shí)，利潤(rùn)取得最大值，，綜上可知，當(dāng)年產(chǎn)量為110臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大為3660萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是能準(zhǔn)確根據(jù)利潤(rùn)=總收入-總投入，得到利潤(rùn)的分段函數(shù)，再求分段函數(shù)的最值即突破難點(diǎn).21．已知函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且無(wú)限接近直線(xiàn)但又不與該直線(xiàn)相交.（1）求該函數(shù)的解析式，并判斷該函數(shù)的奇偶性；（2）若不等式對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】（1），偶函數(shù)；（2）.【分析】（1）根據(jù)的范圍和無(wú)限接近直線(xiàn)，可討論求得；由過(guò)原點(diǎn)可求得，從而得到函數(shù)解析式；由奇偶性定義可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)；（2）分離變量得到，分別在和的情況下，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求得的范圍，則.【詳解】（1），且無(wú)限接近直線(xiàn)但不與該直線(xiàn)相交，當(dāng)時(shí)，，，不合題意；當(dāng)時(shí)，，不合題意；當(dāng)時(shí)，，，，過(guò)原點(diǎn)，，，.，為上的偶函數(shù).（2）由得：，，①當(dāng)時(shí)，，則，令，可設(shè)，，與均為增函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，；②當(dāng)時(shí)，，則，令，可設(shè)，，由對(duì)號(hào)函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞減，；綜上所述：，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒成立求解參數(shù)范圍問(wèn)題，常采用分離變量的方式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問(wèn)題，利用函數(shù)值域的求解方法求得函數(shù)最值即可得到結(jié)果.22．定義兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系：函數(shù)，的定義域?yàn)锳，B，若對(duì)任意的，總存在，使得，我們就稱(chēng)函數(shù)為的“子函數(shù)”.設(shè)，已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)是的“子函數(shù)”，求的最大值.【答案】（1）減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）18.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，求得函數(shù)的定義域，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，即可求解；（2）先求得函數(shù)的值域?yàn)?，利用基本不等式，求得函?shù)的值域?yàn)?，根?jù)題意，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)有意義，則滿(mǎn)足，解得或，即定義域?yàn)榛?，又由函?shù)在減區(qū)間為，增區(qū)間為，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）由函數(shù)，可得的值域?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，