河北省張家口市赤城縣獨石口鎮(zhèn)中學2021年高二數(shù)學理期末試卷含解析

河北省張家口市赤城縣獨石口鎮(zhèn)中學2021年高二數(shù)學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合，，則A∩B=(

)A.[－2,3] B.[3,4] C.[－2,4] D.(－2,3)參考答案：B【分析】分別解出集合A，B，再求兩個集合的交集?！驹斀狻坑深}解得，，則，故選B.【點睛】本題考查集合的交集，屬于基礎題。2.已知向量=(-x，1)，=(x，tx)，若函數(shù)f(x)=在區(qū)間[-1，1]上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)t的取值范圍是A．(-∞，-2]∪[2,+∞)

B．(-∞，-2)∪(2,+∞)

C．(-2，2)

D．[-2，2]參考答案：C略3.類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可推出空間下列結(jié)論：①垂直于同一條直線的兩條直線互相平行②垂直于同一個平面的兩條直線互相平行③垂直于同一條直線的兩個平面互相平行

④垂直于同一個平面的兩個平面互相平行則正確的結(jié)論是（

）

A．①②

B．②③ C．③④

D．①④參考答案：B4.已知，（e是自然對數(shù)的底數(shù)），，則a，b，c的大小關系是A. B.C. D.參考答案：A【分析】由題，易知，構造函數(shù)，利用導函數(shù)求單調(diào)性，即可判斷出a、b、c的大小.【詳解】由題，，，所以構造函數(shù)當時，，所以函數(shù)在是遞增的，所以所以故選A5.拋物線在點處的切線的傾斜角是

(

)A.30

B.45

C.60

D.90參考答案：B6.雙曲線的兩條漸近線互相垂直，那么雙曲線的離心率為（

）

A.2

B.

C.

D.參考答案：C7.已知，則的值為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A略8.已知P為橢圓上的點，點M為圓上的動點，點N為圓C2：（x﹣3）2+y2=1上的動點，則|PM|+|PN|的最大值為（）A．8 B．12 C．16 D．20參考答案：B【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】由題設知橢圓的焦點分別是兩圓（x+3）2+y2=1和（x﹣3）2+y2=1的圓心，運用橢圓的定義，由此能求出|PM|+|PN|的最大值為2a+2．【解答】解：依題意，橢圓的焦點為（﹣3，0），（3，0），分別是兩圓（x+3）2+y2=1和（x﹣3）2+y2=1的圓心，所以（|PM|+|PN|）max=|PC1|+|PC2|+2=2×5+1+1=12，故選：B．【點評】本題考查橢圓的定義、方程和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意定義法和圓的性質(zhì)的合理運用，屬于中檔題．9.在長方體中，與對角線異面的棱有（

）A.3條

B.4條

C.5條

D.6條參考答案：D10.若，則下列不等式中，正確的有（

）

①；

②；

③；

④.

A．①④

B.②③

C.①②

D.③④參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在平面直角坐標系XOY中，圓C的方程為x2＋y2－8x＋15＝0，若直線y＝kx－2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是__________．參考答案：根據(jù)題意，x2＋y2－8x＋15＝0化成標準形式為(x－4)2＋y2＝1，得到該圓的圓心為(4，0)，半徑為1，若直線y＝kx－2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，只需要圓心(4，0)到直線y＝kx－2的距離d≤1＋1＝2即可，所以有12.若函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則a的取值范圍是___.參考答案：【分析】將題意轉(zhuǎn)化為：，使得，利用參變量分離得到，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合導數(shù)求解即可。【詳解】，其中，則。由于函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則，使得，即，，構造函數(shù)，則。，令，得。當時，；當時，所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，則，所以，，故答案為：。【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)，一般來講，函數(shù)的單調(diào)性可以有如下的轉(zhuǎn)化：（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，；（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，；（3）函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增區(qū)間，；（4）函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞減區(qū)間，；（5）函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在極值點。13.已知向量與的夾角是鈍角，則k的取值范圍是

．參考答案：14.（5分）等差數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，且S6＜S7，S7＞S8，則①此數(shù)列的公差d＜0②S9＜S6③a7是各項中最大的一項

④S7一定是Sn中的最大值．其中正確的是（填序號）．參考答案：①②④由s6＜s7，S7＞S8可得S7﹣S6=a7＞0，S8﹣S7=a8＜0所以a8﹣a7=d＜0①正確②S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8＜0，所以②正確③由于d＜0，所以a1最大③錯誤④由于a7＞0，a8＜0，s7最大，所以④正確故答案為：①②④15.設,若恒成立，則的最大值為_____________.參考答案：8略16.若隨機變量，則______．參考答案：10.試題分析：因為，所以；由數(shù)學方差的性質(zhì)，得.考點：二項分布、數(shù)學方差的性質(zhì).17.若數(shù)列{an}滿足an+1+（﹣1）n?an=2n﹣1，則{an}的前40項和為．參考答案：820【考點】數(shù)列的求和．【分析】根據(jù)熟練的遞推公式，得到數(shù)列通項公式的規(guī)律，利用構造法即可得到結(jié)論．【解答】解：由于數(shù)列{an}滿足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．從而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…從第一項開始，依次取2個相鄰奇數(shù)項的和都等于2，從第二項開始，依次取2個相鄰偶數(shù)項的和構成以8為首項，以16為公差的等差數(shù)列．{an}的前40項和為10×2+（10×8+×16）=820，故答案為：820【點評】本題主要考查數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列求和，根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的通項公式是解決本題的關鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司為推廣線下分店，計劃在S市的A區(qū)開設分店.為了確定在該區(qū)開設分店的個數(shù)，該公司對該市已開設分店的其他區(qū)的數(shù)據(jù)作了初步處理后得到下列表格.記x表示在各區(qū)開設分店的個數(shù)，y表示這x個分店的年收入之和.x（個）23456y（百萬元）2.5344.56

（1）該公司已經(jīng)過初步判斷，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，求y關于x的線性回歸方程；（2）假設該公司在A區(qū)獲得的總年利潤z（單位：百萬元）與x，y之間的關系為，請結(jié)合（1）中的線性回歸方程，估算該公司應在A區(qū)開設多少個分店時，才能使A區(qū)平均每個分店的年利潤最大？參考公式：，.參考答案：(1);(2)該公司應開設4個分店時，在該區(qū)的每個分店的平均利潤最大.試題分析：（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，按照公式計算回歸方程中的系數(shù)即可；（2）利用（1）得利潤與分店數(shù)之間的估計值，計算，由基本不等式可得最大值．試題解析：（1）由表中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得：，，∴，∴，∴．（2）由題意，可知總收入的預報值與之間的關系為：，設該區(qū)每個分店的平均利潤為，則，故的預報值與之間的關系為，則當時，取到最大值，故該公司應開設4個分店時，在該區(qū)的每個分店的平均利潤最大．19.設函數(shù)f（x）=2x3+ax2+bx+1，若其導函數(shù)y=f'（x）的圖象關于直線對稱，且x=1是f（x）的一個極值點．（1）求實數(shù)a，b的值；

（2）若方程f（x）﹣k=0有3個實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍．參考答案：【考點】6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；54：根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】（1）清楚函數(shù)的導數(shù)，利用導函數(shù)的對稱性以及極值點，列出方程組求解即可．（2）化簡函數(shù)求出導函數(shù)，求出極值點，求出合適的極值，然后求解即可．【解答】解：（1）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f'（x）=6x2+2ax+b，

（1分）因為導函數(shù)y=f'（x）的圖象關于直線對稱，且x=1是f（x）的一個極值點．∴

（4分）

解得，經(jīng)檢驗符合題意

（2）由（1）知f（x）=2x3+3x2﹣12x+1，令f'（x）=6x2+6x﹣12=0，解得x1=﹣2，x2=1，

（7分）x（﹣∞，﹣2）﹣2（﹣2，1）1（1，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）單調(diào)遞增21單調(diào)遞減﹣6單調(diào)遞增從而函數(shù)f（x）在x1=﹣2處取得極大值為21，在x2=1處取得極小值為﹣6，

（10分）因為方程f（x）﹣k=0有3個實數(shù)根，即函數(shù)y=f（x）圖象與y=k的圖象有3個交點，∴﹣6＜k＜21，即實數(shù)k的取值范圍是（﹣6，21）．

（12分）【點評】本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查分析問題解決問題的能力．20.從參加高二年級期中考試的學生中隨機抽取60名學生，將其英語成績分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100）后得到如下部分頻率分布直方圖．觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）求分數(shù)在[70，80）內(nèi)的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；（2）根據(jù)補充完整頻率分布直方圖估計出本次考試的平均分數(shù)、中位數(shù)；（小數(shù)點后保留一位有效數(shù)字）（3）用分層抽樣的方法在各分數(shù)段的學生中抽取一個容量為20的樣本，則各分數(shù)段抽取的人數(shù)分別是多少？參考答案：【考點】頻率分布直方圖；分層抽樣方法．【分析】（1）計算分數(shù)在[70，80）內(nèi)的頻率，利用求出小矩形的高，補出圖形即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，計算平均分與中位數(shù)即可；（3）根據(jù)分層抽樣原理，計算各分數(shù)段內(nèi)應抽取的人數(shù)即可．【解答】解：（1）分數(shù)在[70，80）內(nèi)的頻率為1﹣（0.010+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=1﹣0.7=0.3．又=0.03，補出的圖形如下圖所示；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，計算平均分為：=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71，估計這次考試的平均分是71；又0.01×10+0.015×10+0.015×10=0.4＜0.5，0.4+0.03×10=0.7＞0.5，∴中位數(shù)在[70，80）內(nèi)，計算中位數(shù)為70+≈73.3；（3）根據(jù)分層抽樣原理，[40，50）分數(shù)段應抽取人數(shù)為0.10×20=2人；[50，60）分數(shù)段應抽取人數(shù)為0.15×20=3人；[60，70）分數(shù)段應抽取人數(shù)為0.15×20=3人；[70，80）分數(shù)段應抽取人數(shù)為0.3×20=6人；[80，90）分數(shù)段應抽取人數(shù)為0.25×20=5人；[90，100]分數(shù)段應抽取人數(shù)為0.05×20=1人．21.（本小題滿分12分）如圖，在直角坐標系xOy中，點P到拋物線C：y2＝2px(p>0)的準線

的距離為.點M(t,1)是C上的定點，A，B是C上的兩動點，且線段AB被直線OM平分.（1）求p，t的值；（2）求△ABP面積的最大值.

參考答案：解：（1）由題意知得…………4分（2）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB的中點為Q(m，m)，由題意知，設直線AB的斜率為k(k≠0).由得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2.故k·2m＝1.所以直線AB方程為y－m＝(x－m)，即x－2my＋2m2－m＝0.

…………6分由消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0，所以Δ＝4m－4m2＞0，y1＋y2＝2m，y1·y2＝2m2－m.從而|AB|＝·|y1－y2|＝·.…………8分設點P到直線AB的距離為d，則d＝.設△ABP的面積為S，則S＝|AB|·d＝|1－2(m－m2)|·.

…………9分由Δ＝4m－4m2＞0，得0＜m＜1.令u＝，0＜u≤，則S＝u(1－2u2)，設S(u)＝u(1－2u2)，0＜u≤，則S′(u)＝1－6u2.由S′(u)＝0得u＝∈，所以S(u)max＝S＝.故△ABP面積的最大值為.…………12分

略22.已知函數(shù).（1）若為偶函數(shù)，求的值；（2）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）當時，若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：解：(1)解法一：任取，則恒成立，即恒成立.∴恒成立，兩邊平方得：∴

…………4分(1)解法二：因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，得，得：經(jīng)檢驗，當時函數(shù)為偶函數(shù)，∴