數(shù)學(xué)物理方程課件第十二講

調(diào)和方程

建立方程、定解條件格林公式及其應(yīng)用格林函數(shù)強(qiáng)極值原理、第二邊值問(wèn)題解的唯一性§1.1方程的導(dǎo)出§1建立方程、定解條件§1.2定解條件和定解問(wèn)題§1.3變分原理物理背景：用于描述穩(wěn)定或平衡的物理現(xiàn)象。調(diào)和方程，又稱(chēng)拉普拉斯(Laplace)方程，其三維形式為這個(gè)方程相應(yīng)的非齊次方程，稱(chēng)為泊松(Poisson)方程，即這類(lèi)方程在力學(xué)、物理學(xué)問(wèn)題中經(jīng)常遇到。前面兩章推導(dǎo)的波動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程如果去掉了時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，那么方程就可以轉(zhuǎn)化為泊松方程或調(diào)和方程。流體力學(xué)中的速度勢(shì)和流函數(shù)都滿(mǎn)足調(diào)和方程；靜電場(chǎng)中的電位勢(shì)滿(mǎn)足泊松方程。調(diào)和方程舉例：靜電場(chǎng)電勢(shì)u

確定所要研究的物理量：根據(jù)物理規(guī)律建立微分方程：對(duì)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)：拉普拉斯方程

泊松方程§1-1方程的導(dǎo)出

下面我們回憶物理學(xué)中導(dǎo)出調(diào)和方程和泊松方程的實(shí)例。歷史上導(dǎo)致調(diào)和方程的一個(gè)著名實(shí)例來(lái)自牛頓萬(wàn)有引力。根據(jù)萬(wàn)有引力定律，位于(x0，y0，z0)處質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)對(duì)位于(x，y，z)處具有單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力,其大小等于M/r2，而作用方向沿著這兩點(diǎn)的連線，指向(x0，y0，z0)點(diǎn)，其中r為兩點(diǎn)之間的距離。寫(xiě)為向量形式，即為F(x,y,z)稱(chēng)為引力場(chǎng)函數(shù)。顯然引力場(chǎng)函數(shù)是位勢(shì)函數(shù)φ(x,y,z)=M/r的梯度：F=gradφ。除了允許相差一個(gè)任意常數(shù)外，位勢(shì)函數(shù)是任意確定的。

對(duì)于以密度ρ(x,y,z)分布在區(qū)域Ω上的質(zhì)量而言，根據(jù)疊加原理，它所產(chǎn)生的總引力位勢(shì)為

通過(guò)直接計(jì)算可以驗(yàn)證，φ(x,y,z)在Ω外滿(mǎn)足調(diào)和方程Δφ＝0，還可以進(jìn)一步驗(yàn)證，若ρ(x,y,z)滿(mǎn)足Holder條件，則φ(x,y,z)在Ω內(nèi)滿(mǎn)足泊松方程Δφ＝－4πρ。另一個(gè)例子是靜電場(chǎng)的電位勢(shì)。設(shè)空間有一電荷密度為ρ(x,y,z)的靜電場(chǎng)，在此電場(chǎng)內(nèi)任取一個(gè)封閉曲面Σ包圍的區(qū)域G

，由靜電學(xué)知，通過(guò)Σ向外的電通量等于G中總電量的4π倍，即成立其中,E為電場(chǎng)強(qiáng)度矢量，而n為Σ上的單位外法線向量。利用格林公式并注意到G的任意性，可得divE=4πρ。又由庫(kù)侖定律可知，靜電場(chǎng)是有勢(shì)的，即存在靜電位勢(shì)u=u(x,y,z)

，使E=-gradu。于是得到靜電位勢(shì)u滿(mǎn)足以下的泊松方程Δu＝－4πρ。特別地，當(dāng)某區(qū)域內(nèi)沒(méi)有電荷存在時(shí)，此區(qū)域內(nèi)的靜電位勢(shì)滿(mǎn)足調(diào)和方程。

與復(fù)變函數(shù)中一樣，我們把具有關(guān)于空間變量的二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿(mǎn)足調(diào)和方程的函數(shù)稱(chēng)為調(diào)和函數(shù)。復(fù)變函數(shù)中涉及的只是二元函數(shù)。三維Laplace方程:§1.2拉普拉