初中數(shù)學(xué)冀教版七年級(jí)上冊(cè)第二章幾何圖形的初步認(rèn)識(shí)單元復(fù)習(xí)

本章總結(jié)提升常見立體圖形的識(shí)別與構(gòu)成說出圖2－T－1中的5個(gè)幾何體的名稱，并說明它們是由哪些面圍成的？圖2－T－1幾何概念對(duì)幾何概念的準(zhǔn)確把握是更好地解決幾何問題的基礎(chǔ)，通過辨析，學(xué)生能夠更牢固地把握幾何概念的易混淆點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)．下列語句中正確的是()A．延長射線DAB．經(jīng)過兩點(diǎn)可以畫兩條直線C．兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短D．作射線AB的中點(diǎn)線段的中點(diǎn)和角平分線線段的中點(diǎn)和角平分線是線段和角中兩個(gè)非常重要的概念，與它們有關(guān)的運(yùn)算多使用數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)思想．如圖2－T－2所示，已知線段AB＝6，C在線段AB上，且AC＝2，取AC，BC的中點(diǎn)D，E.圖2－T－2(1)求線段DE的長，觀察DE的長短與線段AB的關(guān)系；(2)若C為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其余條件不變，試求DE的長，并觀察DE的長短與線段AB的關(guān)系；(3)若AB＝a，C為AB上一動(dòng)點(diǎn)，D，E仍是AC，BC的中點(diǎn)，能否求出DE的長度？如圖2－T－3所示，∠AOB＝54°，OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，OD，OE分別是∠AOC和∠BOC的平分線．(1)求∠DOE的度數(shù)，并觀察∠DOE的度數(shù)與∠AOB的關(guān)系；(2)若∠AOB＝α，其他條件不變，則∠DOE的度數(shù)是多少？圖2－T－3角的有關(guān)計(jì)算利用已知角求未知角的度數(shù)時(shí)，要抓住角的和、差關(guān)系．如圖2－T－4是由一副三角板拼成的一些角，請(qǐng)你判斷一下這些角的度數(shù)，將它們的度數(shù)分別填在圖下的括號(hào)中．你還能拼出其他度數(shù)的角嗎？試一試(至少要拼出一個(gè)不同于上述的角)．圖2－T－4幾何計(jì)數(shù)握手是社交中常用的禮儀，兩個(gè)人握手算一次，在某次聚會(huì)上，參加者共有n人，問他們一共握手多少次？為了解決這個(gè)問題，我們要將每個(gè)人都看成一點(diǎn)，每?jī)扇宋找淮问挚煽闯蛇B接這兩點(diǎn)間的一條線段，這樣只要數(shù)出線段的條數(shù)即可，同學(xué)們不妨試一試看能否計(jì)算出結(jié)果．余角、補(bǔ)角的計(jì)算問題如果一個(gè)角的補(bǔ)角是120°，那么這個(gè)角的余角是()A．60°B．30°C．90°D．120°例談?lì)惐确ㄔ诰€段和角的計(jì)算中的妙用類比法是根據(jù)兩個(gè)或兩類對(duì)象某些屬性的相同或相似而推出它們的某種其他屬性也相同或相似的思維方式，也稱為類比推理．類比法是各種邏輯思維方法中最富有創(chuàng)造性的一種方法，人類在科學(xué)研究中建立的不少假說和數(shù)學(xué)中的許多重要定理、公式都是運(yùn)用類比法提出來的，因此，類比法已成為人類發(fā)現(xiàn)、發(fā)明的重要工具．現(xiàn)舉例談一下類比法在線段和角的計(jì)算中的妙用．一條直線上有n個(gè)點(diǎn)，這n個(gè)點(diǎn)能確定________條線段．[答案]eq\f(n（n－1）,2)[解析]這是一道有關(guān)線段的規(guī)律探究性問題，可從簡(jiǎn)單情況入手探究：當(dāng)n＝1時(shí)，確定的線段條數(shù)是0；當(dāng)n＝2時(shí)，確定的線段條數(shù)是1＋0；當(dāng)n＝3時(shí)，確定的線段條數(shù)是2＋1＋0；當(dāng)n＝4時(shí)，確定的線段條數(shù)是3＋2＋1＋0；…，類比推理得出：有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，能確定的線段條數(shù)是(n－1)＋(n－2)＋…＋3＋2＋1＋0＝eq\f(n（n－1）,2)，再延伸類比推理到有關(guān)角的計(jì)算：從點(diǎn)O出發(fā)的n條射線最多能確定eq\f(n（n－1）,2)個(gè)角．已知點(diǎn)A，B，C在一條直線上，線段AB＝6，BC＝4，求線段AC的長．[解析]這是一道兩線段共線且共一端點(diǎn)的問題，比較容易出錯(cuò)，需分情況討論：(1)如圖2－T－5，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線上時(shí)，AC＝AB＋BC＝6＋4＝10.圖2－T－5(2)如圖2－T－6，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，AC＝AB－BC＝6－4＝2.圖2－T－6對(duì)于兩角共頂點(diǎn)且共一邊的計(jì)算問題：已知∠AOB＝60°，∠BOC＝40°，求∠AOC的度數(shù)．運(yùn)用類比法也分情況討論如下：(1)如圖2－T－7，當(dāng)射線OC在∠AOB的外部時(shí)，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝60°＋40°＝100°.圖2－T－7圖2－T－8(2)如圖2－T－8，當(dāng)射線OC在∠AOB的內(nèi)部時(shí)，∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－40°＝20°.如圖2－T－9，已知線段AB＝8，點(diǎn)C是線段AB上的任一點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別是線段AC，BC的中點(diǎn)，求線段DE的長．圖2－T－9[解析]因?yàn)辄c(diǎn)D，E分別是線段AC，BC的中點(diǎn)，所以CD＝eq\f(1,2)AC，CE＝eq\f(1,2)CB，所以CD＋CE＝eq\f(1,2)(AC＋BC)，即DE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8＝4.對(duì)于角的有關(guān)計(jì)算問題：如圖2－T－10，已知∠AOB＝80°，射線OC是∠AOB內(nèi)的任一射線，OD，OE分別平分∠AOC，∠BOC，求∠DOE的度數(shù)．圖2－T－10運(yùn)用類比推理可得，∠DOE＝eq\f(1,2)∠AOB＝eq\f(1,2)×80°＝40°.再延伸類比推理，可得下面規(guī)律：當(dāng)∠AOB＝α?xí)r，其他條件不變，∠DOE＝eq\f(1,2)∠AOB＝eq\f(1,2)α.(1)如圖2－T－11，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度數(shù)；圖2－T－11(2)如果(1)中∠AOB＝α，其他條件不變，求∠MON的度數(shù)；(3)如果(1)中∠BOC＝β，其他條件不變，求∠MON的度數(shù)；(4)從(1)，(2)，(3)的結(jié)果中能看出什么規(guī)律？(5)線段的計(jì)算與角的計(jì)算存在著緊密的聯(lián)系，它們之間可以互相借鑒解法，請(qǐng)你模仿(1)～(4)設(shè)計(jì)一道以線段為背景的計(jì)算題，并寫出其中的規(guī)律．[解析]該題主要考查的是運(yùn)用類比推理綜合解決線段和角的有關(guān)計(jì)算．在(1)中由角平分線的定義，很容易求得∠COM＝eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)×(90°＋30°)＝60°，∠CON＝eq\f(1,2)∠BOC＝eq\f(1,2)×30°＝15°，進(jìn)而求得∠MON＝∠COM－∠CON＝60°－15°＝45°.運(yùn)用類比推理在(2)中可求得∠COM＝eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)(α＋30°)＝eq\f(1,2)α＋15°，∠CON＝eq\f(1,2)∠BOC＝eq\f(1,2)×30°＝15°，進(jìn)而求得∠MON＝∠COM－∠CON＝eq\f(1,2)α＋15°－15°＝eq\f(1,2)α.在(3)中可求得∠COM＝eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)(90°＋β)＝45°＋eq\f(1,2)β，∠CON＝eq\f(1,2)∠BOC＝eq\f(1,2)β，進(jìn)而求得∠MON＝∠COM－∠CON＝45°＋eq\f(1,2)β－eq\f(1,2)β＝45°.通過觀察比較(1)，(2)，(3)類比推理(4)中的規(guī)律是∠MON＝eq\f(1,2)∠AOB.用類比法可設(shè)計(jì)這樣一道有關(guān)線段的計(jì)算題：如圖2－T－12，線段AB＝9，BC＝3，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，求線段MN的長．其中的規(guī)律是MN＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×9＝.圖2－T－12綜上所述，對(duì)于線段和角的有關(guān)計(jì)算進(jìn)行類比教學(xué)，乃至在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用類比法教學(xué)，可以使學(xué)生觸類旁通，舉一反三，拓寬知識(shí)面，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維能力．詳解詳析例1解：(1)長方體：由6個(gè)平的面圍成；(2)圓柱：由兩個(gè)圓和一個(gè)曲的面圍成；(3)圓錐：由一個(gè)圓和一個(gè)曲的面圍成；(4)球：由一個(gè)曲的面圍成；(5)三棱柱：由5個(gè)平的面圍成．例2C例3解：(1)因?yàn)锳C＝2，AB＝6，且C在線段AB上，所以BC＝AB－AC＝6－2＝4.因?yàn)镈，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，所以CD＝eq\f(1,2)AC＝1，CE＝eq\f(1,2)BC＝2，所以DE＝CD＋CE＝1＋2＝3，DE＝eq\f(1,2)AB.(2)因?yàn)镈，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，所以CD＝eq\f(1,2)AC，CE＝eq\f(1,2)BC，DE＝CD＋CE＝eq\f(1,2)AC＋eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)(AC＋BC)＝eq\f(1,2)×6＝3.DE＝eq\f(1,2)AB.(3)能求出DE的長度，由(2)知DE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)a，所以DE的長度為eq\f(1,2)a.[點(diǎn)評(píng)]本題點(diǎn)C由定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)，但AC與BC的和不變，動(dòng)中求解，使用數(shù)形結(jié)合的思想方法求解，變化中得到不變的等量關(guān)系．例4解：(1)因?yàn)镺D平分∠AOC，OE平分∠BOC，所以∠COD＝eq\f(1,2)∠AOC，∠COE＝eq\f(1,2)∠BOC，所以∠DOE＝∠COD＋∠COE＝eq\f(1,2)∠AOC＋eq\f(1,2)∠BOC＝eq\f(1,2)(∠AOC＋∠BOC)＝eq\f(1,2)∠AOB＝eq\f(1,2)×54°＝27°.∠DOE＝eq\f(1,2)∠AOB.(2)由(1)可知∠DOE＝eq\f(1,2)∠AOB＝eq\f(1,2)α.例5[解析]本題是對(duì)三角板中各角的度數(shù)的考查．直角三角板有兩種，等腰直角三角板各角的度數(shù)依次是90°，45°，45°，另一個(gè)三角板各角的度數(shù)依次是90°，60°，30°.結(jié)合圖形利用這幾個(gè)角的度數(shù)求出相應(yīng)角的度數(shù)．解：①～⑥角的度數(shù)依次是105°，150°，15°，135°，150°，180°.還可以畫的角有120°角和75°角，如圖所示：例6解：n個(gè)人相當(dāng)于n個(gè)點(diǎn)，每一點(diǎn)都可與其他(n－1)個(gè)點(diǎn)作一條線段，共有n個(gè)點(diǎn)，可作n(n－1)條線段，其中每條線段重復(fù)一次，