高考數(shù)學(xué)疑點難點精講C

鬲高春角岸

難點13三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)

三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考的熱點，在復(fù)習(xí)時要充分運用數(shù)

形結(jié)合的思想，把圖象和性質(zhì)結(jié)合起來.本節(jié)主要幫助考生掌握圖象

和性質(zhì)并會靈活運用.

?難點磁場

（★★★★）已知。、/為銳角，且%（。+￡—/）>（）,試證不等式

"r）=（學(xué)），+（皿）x<2對一切非零實數(shù)都成立.

sinpsina

?案例探究

［例1］設(shè)zi=w+(2—"?,Z2=cos8+(X+sin其中m,,，￡

R,已知Z1=2Z2，求X的取值范圍.

命題意圖：本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查考生的綜合分

析問題的能力和等價轉(zhuǎn)化思想的運用，屬★★★★★級題目.

知識依托：主要依據(jù)等價轉(zhuǎn)化的思想和二次函數(shù)在給定區(qū)間上

的最值問題來解決.

錯解分析：考生不易運用等價轉(zhuǎn)化的思想方法來解決問題.

技巧與方法：對于解法一，主要運用消參和分離變量的方法把

所求的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題；對于解法

二，主要運用三角函數(shù)的平方關(guān)系把所求的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在

給定區(qū)間上的最值問題.

解法一：??Z=2Z2,

/.m+(2—m2)z=2cos夕+(24+2sin0)i,J/n-2cos^

［2-m-2%+2sin。

19

-

4=l——2cos~d—sin9=2sirr夕——sin0—l=2(sin°4-8-

當(dāng)sin。J時幾取最小值一2,當(dāng)sin，=—1時，幾取最大值2.

48

tn-2cos。

解法二：VZ2Z

1=22-tn2=22+2sin0

c°s°W

2-加2—2/1

sin。=

2

?”?2?(2—相2-21)2]

44

/.m—(3—44)/+4幾2—8幾=0,設(shè)仁加之,貝ij0W/W4,

A>0

。4上

令/(，)=/一(3—44)/+4X2_84,則.2"或火0)?/(4)W0

/(0)>0

./(4)>0

A>--

8

53

--<A<-?K0<^<2

44

2>2sJc2<0

.?.一2W4W0或0W4W2.

8

??.4的取值范圍是［―〉2］.

8

［例2］如右圖，一滑雪運動員自h=50m

高處力點滑至。點，由于運動員的技巧（不計

阻力），在。點保持速率V。不為，并以傾角。

起跳，落至3點，令。氏￡,試問，。=30°時，￡的最大值為多少?

當(dāng)L取最大值時，。為多大？

命題意圖：本題是一道綜合性題目，主要考查考生運用數(shù)學(xué)知

識來解決物理問題的能力.屬★★★★★級題目.

知識依托：主要依據(jù)三角函數(shù)知識來解決實際問題.

錯解分析：考生不易運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識來解決物理問題，知

識的遷移能力不夠靈活.

技巧與方法：首先運用物理學(xué)知識得出目標(biāo)函數(shù)，其次運用三

角函數(shù)的有關(guān)知識來解決實際問題.

解：由已知條件列出從。點飛出后的運動方程:

S=Lcosa=v^tcosO①

,12

-h=-Lsina=v04sin<9--g/②

由①②整理得：VoCOS夕=罕,％.。=三蛇+；部

??v()2+g￡sinQ=：g"廣+%三2^g2r--=gL

運動員從/點滑至O點，機械守恒有:切且〃=：加詔,

2

2

...v0=2g/z,Z.LW—=2gh=200(m)

'g(l-sina)g(l-sincr)

22

即￡max=200(m),Xlg/=^l=.

t=-,S=Lcosa=v0rcosa=d2gh/--cos6^

vsvs

得cos，=cos。，，9=0=30°最大值為200米，當(dāng)￡最大

時,起跳仰角為30°.

［例3］如下圖，某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似

滿足函數(shù)產(chǎn)Zsin(3%+6)+b.

(1)求這段時間的最大溫差.

(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式.

命題意圖：本題以應(yīng)用題的形式考查備考中的熱點題型，要求

考生把所學(xué)的三角函數(shù)知識與實際問題結(jié)合起來分析、思考，充分

體現(xiàn)了“以能力立意”的命題原則.屬★★★★級題目.

知識依托：依據(jù)圖象正確寫出解析式.

錯解分析：不易準(zhǔn)確判斷所給圖象所屬的三角函數(shù)式的各個特

定系數(shù)和字母.

技巧與方法：數(shù)形結(jié)合的思想，以及運用待定系數(shù)法確定函數(shù)

的解析式.

解：(1)由圖示，這段時間的最大溫差是30—10=20(℃)；

(2)圖中從6時到14時的圖象是函數(shù)產(chǎn)Zsin(3x+4))+b的半個

周期的圖象.

=14—6,解得3=工，由圖不4=-(30—10)=10,

2co82

Z)=1(30+10)=20,這時產(chǎn)lOsin(工X+4))+20,將x=6,y=10代入上式可

28

取乃.綜上所求的解析式為產(chǎn)10sin《x+

1")+2CU￡[6,14].

?錦囊妙計

本難點所涉及的問題及解決的方法主要有：

1.考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)題目，此類題目要求考生

在熟練掌握三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上要對三角函數(shù)的性質(zhì)靈活運用.

2.三角函數(shù)與其他知識相結(jié)合的綜合題目，此類題目要求考生

具有較強的分析能力和邏輯思維能力.在今后的命題趨勢中綜合性

題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強.

3.三角函數(shù)與實際問題的綜合應(yīng)用.

此類題目要求考生具有較強的知識遷移能力和數(shù)學(xué)建模能力，

要注意數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用.

?殲滅難點訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★)函數(shù)產(chǎn)一X,COSX的部分圖象是()

2.(****)函數(shù)兀0=852%+51!1%+工)是()

A.非奇非偶函數(shù)B.僅有最小值的奇函數(shù)

C.僅有最大值的偶函數(shù)D.既有最大值又

有最小值的偶函數(shù)

二、填空題

3.(****)函數(shù)人在［—?,"］上的單調(diào)減區(qū)間

為.

4.(★★★★★)設(shè)3>0,若函數(shù)｛x)=2sin3%在［一?,〉］上

單調(diào)遞增，則3的取值范圍是________.

三、解答題

5.(***娟設(shè)二次函數(shù)7(%)=工2+6%+(73,6￡即,已知不論a、B

為何實數(shù)恒有柒in。)20和<2+cos￡)W0.

(1)求證：b+c=~1；

(2)求證c23；

(3)若函數(shù)/(sin。)的最大值為8,求上c的值.

6.(*****)用一塊長為a,寬為b(a>b)的矩形木板，在二

面角為。的墻角處圍出一個直三棱柱的谷倉，試問應(yīng)怎樣圍才能使

谷倉的容積最大？并求出谷倉容積的最大值.

7.(*****)有一塊半徑為R,中心角為45°的扇形鐵皮材

料，為了獲取面積最大的矩形鐵皮，工人師傅常讓矩形的一邊在扇

形的半徑上，然后作其最大內(nèi)接矩形，試問：工人師傅是怎樣選擇

矩形的四點的？并求出最大面積值.

8.(★★★★)設(shè)一工WxW工，求函數(shù)j^=log(1+sinx)+log2(1—sinx)

642

的最大值和最小值.

9.(★★★★★)是否存在實數(shù)a,使得函數(shù)尸sidx+a?cosx+-a

8

—3在閉區(qū)間［0,g］上的最大值是1?若存在，求出對應(yīng)的。值；

22

若不存在，試說明理由.

參考答案

難點磁場

證明：若x>0,貝I」。+￡>二?.?。、￡為銳角，???0C二一

22

￡V]；0V]—￡<".0<4嗎一a)Vsin￡.0Vsi嗚一￡)Vsin

a,，OVcosaVsin￡,0<cos￡Vsina,，0V*Vl,0〈皿VI,

sinPsina

.?40在(0,+8)上單調(diào)遞減，???/(X)V/(0)=2.若1VO,a、

￡為銳角，0<￡<二一aVjOVa〈色一￡<30Vsin￡VsinC

—a),sin￡Vcosa,0<sina<sin(--sina<cosB,：.

2sinp

>1,對>1,

sina

??7U)在(-8,0)上單調(diào)遞增，??必)<{0)=2,，結(jié)論成立.

殲滅難點訓(xùn)練

一、1.解析：函數(shù)產(chǎn)一xcosx是奇函數(shù)，圖象不可能是A和C,

又當(dāng)工￡（0,方）時，

J^<0.

答案：D

2.解析：?x）=cos2x+sin（5+x）=2cos2x—1+cosx

答案：D

二、3.解：在［一"，"］上，產(chǎn)IcosxI的單調(diào)遞增區(qū)間是［一

p0］及W，〃］.而於）依IcosxI取值的遞增而遞減，故［-pO］

及［，"］為八%）的遞減區(qū)間.

4.解：由一［（GxW不得的遞增區(qū)間為［一F，『］，由

222a）2CD

題設(shè)得

?！簇?/p>

233解得:人上小?。?

342①23?！地?2

,2co-4

三、5.解:⑴:一iWsin。W1且火sin。）三0恒成立，.7#1）三

0

VI<2+cos￡W3,且/(2+cos￡)W0恒成立.，川)W0.

從而知ya)=o??.b+c+i=o.

(2)由X2+COS￡)W0,知人3)W0,9+3b+cW0.又因為b+c=—1,，

。三3.

(3)Vy(sina)=sin2a+(—1—c)sina+c=(sina—)2+c—

當(dāng)sina=—1時，［/（sin。）］max=8,由丁丁，解得b=-4,c=3.

6.解：如圖，設(shè)矩形木板的長邊ZB著地，并設(shè)。4=x,OB=y,

貝lja2=x2'+y2—2AYCOSa22盯一2盯cosa=2xy{\-cosa).

2

V0<a<肛cos。>0,二9W一仁一（當(dāng)且僅當(dāng)％可時

2(1-cosa)

取“二”號），故此時谷倉的容積的最大值盯sin

。?=/辿幺」/兒。,￡.同理，若木板短邊著地時，谷倉的容積廠的

4（1-cosa）42

2

最大值r2=-（7/>COS-,

42

'：a>b,：,Vx>V2

從而當(dāng)木板的長邊著地，并且谷倉的底面是以。為底邊的等腰

三角形時，谷倉的容積最大，其最大值為

42

7.解:如下圖，扇形ZO5的內(nèi)接矩形是7WPQ,連OP,則。尸二R,

設(shè)NZOP=。，則

N0OA45。-。，WP=Hsin夕,在△尸00中，一絲一=-_,

.?.P2=V27?sin(45°—矩形MNPQ=QP?NP=4iWsm^sin(45

-。）=去淤?［cos（2。一45°）一爭W浮火2,當(dāng)且僅當(dāng)cos（20

-45°）=1,即8=22.5°時，S矩形叱。的值最大且最大值為鋁產(chǎn).

工人師傅是這樣選點的，記扇形為Z08,以扇形一半徑。/為

一邊，在扇形上作角/。尸且使NZOP=22.5°,P為邊與扇形弧的

交點，自P作尸N_L。/于MP0〃CM交03于0,并作。M_LCM

于M,則矩形MVP。為面積最大的矩形，面積最大值為^

8.解：:在［一二,二］上，l+sinx>0和1—sinx>0恒成立，

64

原函數(shù)可化為丁=

22

log2（l—sinx）=log2cosx,又cos%>0在［一工3］上恒成立，，原函

64

數(shù)即是產(chǎn)21og2cos%,在工￡［

-VI上，也WcosxWL

642

log—Wlog2cosxWlogzl,即一1WyWO,也就是在［-］

2264

J—，JVmax=°,

JmiH=-1-

c存刀i253a51

9.加牛:y=1-cosx+acosx+—a——=-（cosx----）+——+—a——.

822482

7T

當(dāng)OKxW2時QKcosxKL

2

S3

若一a>1時，即a>2,則當(dāng)COSX=1時/max=々+一〃——=1

282

20

n。二百<2（舍去），

若0<—<1,即0<67<2,貝lj當(dāng)cosx=—lhf,y=-+-a--=\

22max482

NQ=3或a=-4<0（舍去）.

2

若g<0,即。<0,則當(dāng)cosx=0時）=2。一工=1=。二">（舍去）.

2825

綜合上述知，存在嗎［符合題設(shè).

2

難點14三角函數(shù)式的化簡與求值

三角函數(shù)式的化簡和求值是高考考查的重點內(nèi)容之一.通過本

節(jié)的學(xué)習(xí)使考生掌握化簡和求值問題的解題規(guī)律和途徑，特別是要

掌握化簡和求值的一些常規(guī)技巧，以優(yōu)化我們的解題效果，做到事

半功倍.

?難點磁場

(★★★★★)已知5VB<■aV.,cos(a—￡)=j|,sin(。+￡)=

—■1,求sin2a的值_________.

?案例探究

［例1］不查表求siiBo。+COS280°+V3COS20°COS80°的值.

命題意圖：本題主要考查兩角和、二倍角公式及降幕求值的方

法，對計算能力的要求較高.屬于★★★★級題目.

知識依托：熟知三角公式并能靈活應(yīng)用.

錯解分析：公式不熟，計算易出錯.

技巧與方法：解法一利用三角公式進行等價變形；解法二轉(zhuǎn)化

為函數(shù)問題，使解法更簡單更精妙，需認真體會.

解法一：sin220°+COS280°+V3sin220°cos80°

=1(1—cos40°)+；(l+cosl60°)+V3sin20°cos80°

=1—1cos40°+1cosl60°+V3sin20°cos(60°+20°)

=1--cos400+-(cos120°cos40°—sin120sin40

22

°)+gsin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°)

=1--cos40°--cos40°——sin40°+—sin40°--sin220°

24442

=1--cos40°—-(1—cos40°)=-

444

解法二：設(shè)了usin"。。+COS280°+V3sin20°cos80°

y=cos220°+sin280°—V3cos20°sin80°,則

x+y=1+1—V3sin60°x—y=-cos40°+cosl60°+73sin100

o

=-2sinl00°sin60°+V3sinl00°=0

.,.x=y=-,HPx=sin220°+cos280°+V3sin20°cos80°=-.

44

［例2］設(shè)關(guān)于%的函數(shù)尸2cos2、-2acosx—(2a+l)的最小值為

試確定滿足人a)=g的。值，并對此時的。值求歹的最大值.

命題意圖：本題主要考查最值問題、三角函數(shù)的有界性、計算

能力以及較強的邏輯思維能力.屬★★★★★級題目

知識依托：二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題.

錯解分析：考生不易考查三角函數(shù)的有界性，對區(qū)間的分類易

出錯.

技巧與方法：利用等價轉(zhuǎn)化把問題化歸為二次函數(shù)問題，還要

用到配方法、數(shù)形結(jié)合、分類講座等.

解：由產(chǎn)2(cos%—^)2—“二7+2及cos%￡［—1,1］得：

1(a<-2)

2

--2a-\(-2<a<2)

1-4a(a>2)

??7(。)=；,二1—=a=;任［2,+8)

zZo

故一幺一2a—1=-,解得：a=—1,此時，

22

2

y=2(cosx+1)+1,當(dāng)COSJT=1時，即7，kRZ,ymax=5.

［例3］已知函數(shù)｛x)=2cosxsin(%+?)一百sin2x+sinxcosx

(1)求函數(shù)八%)的最小正周期；

(2)求加)的最小值及取得最小值時相應(yīng)的％的值；

(3)若當(dāng)江峰，Zf］時，加)的反函數(shù)為尸(%),求/ND的

值.

命題意圖：本題主要考查三角公式、周期、最值、反函數(shù)等知

識，還考查計算變形能力，綜合運用知識的能力，屬★★★★★級

題目.

知識依托：熟知三角函數(shù)公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)、反函數(shù)等

知識.

錯解分析：在求/ND的值時易走彎路.

技巧與方法：等價轉(zhuǎn)化，逆向思維.

2

解：(1W)=2cosxsin(x+^)-V3sinx+sinxcosx

2

=2cosx(sinxcos?+cosxsin|)—Vssinx+sinxcosx

=2sinxcosx+百cos2x=2sin(2x+1)

.\A%)的最小正周期T=Ji

(2)當(dāng)2x/=2kJi—3,即x=kJi~^(左￡2)時，./)取得最小

值一2.

(3)令2sin(2%+])=l,又/9],

A2x+^e[王，紅],?,.2x+工="，貝ij

33236

4%故/NIA%

?錦囊妙計

本難點所涉及的問題以及解決的方法主要有：

1.求值問題的基本類型：1°給角求值，2°給值求值，3°給式

求值，40求函數(shù)式的最值或值域，5°化簡求值.

2.技巧與方法：

1°要尋求角與角關(guān)系的特殊性，化非特角為特殊角，熟練準(zhǔn)

確地應(yīng)用公式.

2。注意切割化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常

規(guī)技巧的運用.

30對于條件求值問題，要認真尋找條件和結(jié)論的關(guān)系，尋找

解題的突破口，很難入手的問題，可利用分析法.

4°求最值問題，常用配方法、換元法來解決.

?殲滅難點訓(xùn)練

一、選擇題

1.(★★★★★)已知方程x2+4ax+3a+l=0(a>1)的兩根均tana、

tan￡,且a,￡￡

(―^^，則tan等的值是()

A.iB.-2C4D.工或一2

232

二、填空題

2.(***娟已知sina=g,a￡(],")，tan("—￡)=；,則

tan(a—2￡)=.

3.(*****)設(shè)。￡(工,包)，￡￡(0,-),cos(a—￡)=2,

44445

sin(7+￡)=得，則sin(a+￡)=.

三、解答題

4不杳表求值.2sinl30°+sinl00°(l+J5tan370°)

"'''1'Vl+coslO°

5.已知3（尹但，（詈＜%＜個），求當(dāng)”的值?

6.（★★★★★）已知a—￡二|R，且。4"（左EZ）.求

—）一4城（泊）的最大值及最大值時的條件.

a.a44

esc----sin—

22

7.（*****）如右圖，扇形。48的半徑為1,

中心角60。，四邊形PQHS是扇形的內(nèi)接矩形，當(dāng)

其面積最大時，求點P的位置，并求此最大面積.

8.（★★★★★）已知cosa+sin￡=V^,sina+cos￡的取值范圍

是D,xGD,求函數(shù)產(chǎn)峭轉(zhuǎn)的最小值，并求取得最小值時］

-4x4-10

的值.

參考答案

難點磁場

解法一：?.,q<￡V九，.?.0<a—。+￡<九,

2444

sin(Q-￡)=^/l-cos2(6f-/7)=K，cos(a+2)=-^/l-sin2(<z+/7)=一芯

.*.sin2<?=sin[(a—￡)+(。+￡)]

=sin(a—￡)cos(a+￡)+cos(a—￡)sin(a+￡)

=Ax(_4)+12,356

13513565

解法二：Vsin(a—￡)=得,cos(。+￡)=—1,

sin2a+sin2￡=2sin(a+￡)cos(a—￡)=一%

65

sin2a—sin2B=2cos(a+￡)sin(a—￡)二一竺

65

???sin2aJ(-衛(wèi)-史).曳

2656565

殲滅難點訓(xùn)練

一、1.解析：V<7>1,tana+tan￡=14aV0.

tana+tan￡=3a+l>0,又。、￡￡(-cz>￡￡(—0),

則三￡(一],0),又tan(a+

2tana+P

o\tana+tanB-4a4口/74

P)=-------=------=一，又tan(a+npx)=------------=一，

1-tanatanp1一(3a+1)3]一tan2。+13

一dn2

.a+B_a+B_八

整理得2tan2丁+3tan丁-2=0.解得tan9=—2.

2

答案：B

2.解析：*/sinci=|,aG(^,JT),.,.cosa=-1

貝ljtana=—t，又tan(兀一￡)=g可得tanB=—g,

2tanp4

tan20=

l-tan2p3

2

tan(a-2P)=.tan-tan邛=.43=±

l+tana-tan2p1+(_3_424

答案：3

3.解析:a<z-Ze(O,3),又cos(

444245

sin(a-：)=w(0,^).+pG卓?,7i).sin(與+p)=cos4+p)=

???sin(a+p)=sin[(a-^)+(^+P)-

=-cos[(a-^)+(^+p)]

44

/n..3TIQ、./兀、.，3兀Q、3/12、4556

=-cos(a--)-cos(—+P)+sin(a--sin(—+p)=--x(--)+-x—=—.

即sin(a+0)=生

答案：II

65

三、4.答案：2

5.解cos(—+x)=sin2x=-cos2(—+x)=—.

45425

p177r75%7t../%、4

-----<x<一7t、：.—<x4—v2乃,sin(x4—)——

1243445

sin2x+2sin2x_2sinxcosx+2sin2x_2sinx(sinx+cosx)cosx

1-tanx?sinxcosx-sinx

cosx

s.mc2xs.m/(j+x)、—7x/(4--)2g

一cos產(chǎn)t—+、X)、-一-75

45

6,解:令/=1-3(兀-2—4面2(二一2)

a.a44

esc---sin—

22

.a、[,兀氏.ac2a

sin—(Z1+cosa)1-cos(——-)sin--2cos—

_2422_22-4(i-isinP)

i?a29a222

1-sin"—COS--

22

a+Pot—Pc

=2(sin—+sin—)-2=4sin-----cos------2

2222

c8

°Q2a—7t

D8a-p3a2兀

?a-B二一兀,.=-------=.........-

344~2~y

t=4sin(--—TT)x(-—)-2=-2sin(---)-2

23223

n*￡Z)，，巴二兀片如一如“￡Z)

2323

.?.當(dāng)4一型=2小二即a=4E+工(左WZ)時，sin(￡-4)的最小值為一

232323

1.

7.解：以。4為％軸.。為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)P

的坐標(biāo)為（cos，,sin，），則

IPSI=sin。.直線0B的方程為y=^x,直線PQ的方程為尸sin。*

聯(lián)立解之得（sin夕；。），所以

24sinII二COS—sin°

3

.2

于是SPQRS=sin。(cos—sin夕)=①(后sin°cos夕—sin

。)二必(近sin2。一1一cos20)=@(^sin2夕+，cos2夕一與二3sin(20

，3、2273v22273v

+巴)一立.

66

V0<0<^,：.^<2夕+二<

366967i..,.2l<6s7in(2O+DW1.

Asin(2。+二)=1時，尸0Hs面積最大，且最大面積是近，此時,

66

夕=),點?為京的中點,尸淖,1).

622

8.解:設(shè)w=sina+cos￡則w2+(V3)2=(sintz+cos^)2+(cosa+sin

￡)2=2+2sin(a+￡)W4.:.1,—11.即D=[_—1,1],設(shè)t=J2x+3,

???一lW%Wl,???lWfW君優(yōu)二一.

..42x+3t1^1V2

4x+102/+42/+44728

t

當(dāng)且僅當(dāng)2f=；,即/=四時,%加=*；y=10go.5施加＞。時是減函數(shù)，

???Win=10go.5去=lOgo.5V2-10g058=g時，此時f=亞—2x+3=應(yīng),》=一3

難點15數(shù)列的通項與求和

數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，數(shù)列的通項公式及前〃項和公

式都可以看作項數(shù)〃的函數(shù)，是函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用.數(shù)列以通

項為綱，數(shù)列的問題，最終歸結(jié)為對數(shù)列通項的研究，而數(shù)列的前

九項和S”可視為數(shù)列｛￡｝的通項。通項及求和是數(shù)列中最基本也是

最重要的問題之一，與數(shù)列極限及數(shù)學(xué)歸納法有著密切的聯(lián)系，是

高考對數(shù)列問題考查中的熱點，本點的動態(tài)函數(shù)觀點解決有關(guān)問

題，為其提供行之有效的方法.

?難點磁場

(★★★★★)設(shè)｛恁｝是正數(shù)組成的數(shù)列，其前H項和為旦,并

且對于所有的自然數(shù)小見與2的等差中項等于Sn與2的等比中項.

(1)寫出數(shù)列｛%｝的前3項.

(2)求數(shù)列｛%｝的通項公式(寫出推證過程)

(3)令求iim(仇+62+&+…+6〃一〃).

2a”an+if

?案例探究

［例1］已知數(shù)列｛四｝是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列｛，,｝是公比

為q的(q￡R且qW1)的等比數(shù)列，若函數(shù)?v)=(x—1尸，且%=用

-1)，的=/(1+1)，bi=f(q+l),3=/(q—l)，

(1)求數(shù)列｛四｝和｛兒｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛g｝的前n項和為S”,對一切〃￡N*,都有

?+答HH-Um—^"'.

bb

\i%"T8S2n

命題意圖：本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項公式及前H項

和公式、數(shù)列的極限，以及運算能力和綜合分析問題的能力.屬★★

★★★級題目.

知識依托：本題利用函數(shù)思想把題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為方程問題非常

明顯，而⑵中條件等式的左邊可視為某數(shù)列前〃項和，實質(zhì)上是該

數(shù)列前n項和與數(shù)列｛即｝的關(guān)系，借助通項與前〃項和的關(guān)系求解

金是該條件轉(zhuǎn)化的突破口.

錯解分析：本題兩問環(huán)環(huán)相扣，(1)問是基礎(chǔ)，但解方程求基本

量白、仇、d、q,計算不準(zhǔn)易出錯；(2)問中對條件的正確認識和轉(zhuǎn)

化是關(guān)鍵.

技巧與方法：本題(1)問運用函數(shù)思想轉(zhuǎn)化為方程問題，思路較

為自然，(2)問“借雞生蛋”構(gòu)造新數(shù)列｛或｝,運用和與通項的關(guān)系

求出或，絲絲入扣.

解：⑴???。1/己-1)二(1-2)2,的=/(4+1)="，

a、——(d-2)2=2",

2

":d=2,/.an=a\+(n—l)d=2(n—1)；又bi=^(q+1)=q,b^=-j[q—

1)=(^—2)2,

.?.2=母?=/，由q￡R,且qWl,得q=-2,

biq

/71

/.bn=b?q"T=4,(—2)

(2)令,時則4+d2i+-i*),

，？=2,即cn=2?勾=8?(—2)"111—(—2)”］.

b?3

???2=1^^=^^,金=一2

S2n1一(一2)…8S2n

［例2］設(shè)4為數(shù)列｛恁｝的前〃項和，(%—1),數(shù)列也｝

的通項公式為勾=4〃+3;

(1)求數(shù)列｛恁｝的通項公式；

(2)把數(shù)列｛斯｝與的｝的公共項按從小到大的順序排成一個新的

數(shù)列，證明：數(shù)列｛或｝的通項公式為或=32用；

(3)設(shè)數(shù)列｛4｝的第n項是數(shù)列｛兒｝中的第r項，S為數(shù)列｛兒｝

的前尸項的和;?！閿?shù)列｛%｝的前〃項和，T=B-D,求|im二f

nnWT8(a“)

命題意圖：本題考查數(shù)列的通項公式及前n項和公式及其相互

關(guān)系；集合的相關(guān)概念，數(shù)列極限，以及邏輯推理能力.

知識依托：利用項與和的關(guān)系求。〃是本題的先決；(2)問中探

尋｛%｝與｛兒｝的相通之處，須借助于二項式定理；而(3)問中利用求

和公式求和則是最基本的知識點.

錯解分析：待證通項4=32向與%的共同點易被忽視而寸步難

行；注意不到〃與〃的關(guān)系，使丁〃中既含有小又含有公會使所

求的極限模糊不清.

技巧與方法：(1)問中項與和的關(guān)系為常規(guī)方法，(2)問中把3

拆解為4—1,再利用二項式定理，尋找數(shù)列通項在形式上相通之處

堪稱妙筆；(3)問中挖掘出〃與〃的關(guān)系，正確表示反，問題便可迎

刃而解.

解：⑴由/1)，可知4+1檔(%+1—1),

an+\—an--(。〃+1—=3,而a1=A1=-3—1),得

2an2

0=3,所以數(shù)列是以3為首項，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列｛四｝的

通項公式年3〃.

(2)V32n+1=3-32W=3-(4-1)2W=3?[42n+CL-42/7-\-1)+-

+a：T?4?(_1)+(_1產(chǎn)]=4〃+3,

???32"+l￡｛?。?而數(shù)32W=(4-1)2W=42W+C?42〃t?(一1)+???

+CT?4?(—1)+(—1)2〃=(4左+1),

2

.\3%｛Z>W),而數(shù)列｛恁｝=｛。2〃+1｝"%｝，二或二32加

(3)由32W+1=4?r+3,可知u空心，

4

?Dr(7+4r+3)小八32n+l-332,,+l+7八27”?、27小“，、

..JD=----------=r(2r+5)=----------------,D-----(l-9n)=—(9"-1),

r242n1-98

2n+,2n+l

9+4-3-2127,0“n

■■Tn=B,.-Dn=------------------？(9'-1)

OO

42B44fl

=2.3?_H.3+2,(a)=3,

884°

Tn9

一槐⑷尸=W

?錦囊妙計

1.數(shù)列中數(shù)的有序性是數(shù)列定義的靈魂，要注意辨析數(shù)列中的

項與數(shù)集中元素的異同.因此在研究數(shù)列問題時既要注意函數(shù)方法

的普遍性，又要注意數(shù)列方法的特殊性.

2.數(shù)列｛四｝前〃項和S〃與通項四的關(guān)系式：、

3.求通項常用方法

①作新數(shù)列法.作等差數(shù)列與等比數(shù)列.

②累差疊加法.最基本形式是：％—i+(a〃-i+a〃一2)+…+(。2

—<7])+<7].

③歸納、猜想法.

4.數(shù)列前H項和常用求法

①重要公式

1+2+…+〃=J〃(〃+1)

12+22+,,,+j=-〃(〃+1)(2/7+1)

6

13+23+,,,+/73=(1+2+?,?+〃)2=:〃2(〃+1)2

②等差數(shù)列中Sm+n=Sm+S?+rnnd，等比數(shù)歹U中

=

Sm+n=Sn+qS,nSm+QSn.

③裂項求和:將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和，即恁=/5+1)

然后累加時抵消中間的許多項.應(yīng)掌握以下常見的裂項：

------=-------,/7?〃!=(〃+1)!一〃!,——-——=ctga-ctg2a,

〃(77+1)nn+1-----------------sin2a

1_「1+]___J_______]會

n~n~"'5+D!一/(〃+1)!)

④錯項相消法

⑤并項求和法

數(shù)列通項與和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法.

?殲滅難點訓(xùn)練

一、填空題

—

1.(★★★★★)設(shè)Z"=(/)”,(“6N”),記S〃=Iz22,1I+IZ3一

Z2I+,,?+IZn+\-ZnI，貝lllimS〃二.

W—

"★★★★★K乍邊長為a的正三角形的內(nèi)切圓，在這個圓內(nèi)

作新的內(nèi)接正三角形，在新的正三角形內(nèi)再作內(nèi)切圓，如此繼續(xù)下

去，所有這些圓的周長之和及面積之和分別為.

二、解答題

3.(****)數(shù)列｛%｝滿足。尸2,對于任意的〃￡N*都有%>0,

口2

且("+1)<7〃+a??an+i—

2M

nan+l=0,又知數(shù)列也｝的通項為V2-'+l.

(1)求數(shù)列｛四｝的通項。〃及它的前n項和S〃；

(2)求數(shù)列｛兒｝的前〃項和T”；

(3)猜想S〃與〃的大小關(guān)系，并說明理由.

4.(★★★★)數(shù)列｛仇｝中，<71=8,<74=2且滿足a〃+2=2a〃+i—

N*).

(1)求數(shù)列｛?！ǎ耐椆?；

(2)設(shè)S?=\ai\+\a2\+…+II,求Sn;

(3)設(shè)bn=-^—-(〃EN*),7>仇+勿+……+"eN*),是否存在最

n(12-o?)

大的整數(shù)陰，使得對任意〃6N*均有卷成立？若存在，求出加

的值；若不存在，說明理由.

5.(★★★★★)設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”，且S〃=(加+1)—777%.

對任意正整數(shù)〃都成立，其中加為常數(shù)，且加V—4.

(1)求證：｛為｝是等比數(shù)列；

(2)設(shè)數(shù)列｛a〃｝的公比數(shù)列也｝滿足：仇=加乃〃習(xí)也仇〃

22/6N").試問當(dāng)m為何值時，lim(63g%)=lim3(6也+她+…+%”)成

M—>oon—>oo

立？

6.(★★★★★)已知數(shù)列｛兒｝是等差數(shù)列，bl=l,bi+b2+…

+bio=145.

(1)求數(shù)列｛兒｝的通項

(2)設(shè)數(shù)列｛見｝的通項為Tog/1+J)(其中。>0且aWl),記S〃是

數(shù)列｛凡｝的前〃項和，試比較S”與;log/用的大小，并證明你的結(jié)

論.

7.(*****)設(shè)數(shù)列｛“〃｝的首項0=1,前n項和S〃滿足關(guān)系

式：3tSn—(2/+3)S〃_]=3，(/>0,“=2,3,4…).

(1)求證：數(shù)列｛仇｝是等比數(shù)列；

(2)設(shè)數(shù)列｛為｝的公比為加)，作數(shù)列也｝,使

仇二1,兒4」)(〃=2,3,4???)，求數(shù)列｛兒｝的通項兒；

(3)求和：b[b2~b2b3+b3b4---+甌-也〃—b2nb2n+1?

參考答案

難點磁場

解析：⑴由題意，當(dāng)〃=1時，有喑=2歷，Sg],

.??制匚=2歷，解得m=2.當(dāng)〃=2時，有。=2病，S2=aI+a2,

將。產(chǎn)2代入，整理得(做-2)2=16,由。2>°，解得。2=6.當(dāng)〃=3時，

有號2=師，83=。|+。2+的，將0=2,42=6代入，整理得(的一2尸=64,

由的＞。，解得的=16故該數(shù)列的前3項為2,6,10.

(2)解法一：由(1)猜想數(shù)列｛四｝.有通項公式年4〃一2.下面用

數(shù)學(xué)歸納法證明｛四｝的通項公式是％尸4〃一2,(〃6N*).

①當(dāng)〃二1時，因為4X1—2=2,,又在(1)中已求出。尸2,所以

上述結(jié)論成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時，結(jié)論成立，即有*=44—2,由題意，有

華=監(jiān)，將年北一2.代入上式，解得2k=呵,得&=2自由題

2

意，有也盧=阿7，Sk+i=Sk+ak+l,將Sk=2k代入得

(智2)2=2(%1+2產(chǎn))，整理得4%[+4—16左2=0,由四+i＞0,

解得/+1=2+4左，所以a%+i=2+4A=4(Z:+l)—2,即當(dāng)n=k+l時，上述

結(jié)論成立.根據(jù)①②，上述結(jié)論對所有的自然數(shù)〃金N*成立.

解法二：由題意知氣吆=因，(〃￡N*).整理得，S〃=：(a〃+2尸，由

28

此得邑+1=((%+1+2)2,S〃=:[(a〃+i+2)2—m〃+2)2].整理

oo

得(a〃+i+a〃)(a〃+i——4)=0,由題意知a〃+i+a〃W0,an+\—a?=4,

即數(shù)列｛%｝為等差數(shù)歹U，其中＜71=2,公差d=4.??.a〃=ai+(〃一l)d=2+4(〃

—1),即通項公式為-2.

解法三：由已知得三=唇,("￡的①，所以有外盧=阿7②,

由②式得鼠年叢阿丁整理得S〃+i—2及?凡+2—3*0,解得

瓦=近士叵,由于數(shù)列｛四｝為正項數(shù)列，而g=如,：.瓦+叵＞行,

因而鳳=五+四，即｛SJ是以店=行為首項，以后為公差的等差數(shù)

列.所以后=VI+(??—1)忘=忘〃5=2〃\

故?！ǘǘ?,心)即年4〃—2(〃中*).

(3)令E-1,則金=”+二2)

1,2n+1]、,2n-l11

=-[r(-------1)+(-------1)=-------------,

22〃-12〃+12〃-12〃+1

b[+兒+,,,+6〃一〃=。]+C2+??,+

141z1111

=(「1--)、+(----)、-1----F(-------------)、=1-------

3352/7-12〃+12〃+1

?*?lim(仄+%+…+%-〃)=lim(1一1)=L

?->cow->co2〃+1

殲滅難點訓(xùn)練

1_i,1_/

?、L解析:設(shè)c“=1zn+1-z?|=|(-)"|=

[.(，)”]「(?)"

，s-…+%=一^而一二石7r

1----

2

2+72、、五

——1H

22

答案：噌

2.解析：由題意所有正三角形的邊長構(gòu)成等比數(shù)列｛四｝,可得

魯，正三角形的內(nèi)切圓構(gòu)成等比數(shù)列｛尸〃｝,可得廠后,占4

62

，這些圓的周長之和C=lim2"S+/2+一+“)=立a,

面積之和S=lim(n2+r2+,?,+^n2)=7

W