2023年高一數(shù)學(xué)必修一知識點總結(jié)

高一數(shù)學(xué)必修1各章知識點總結(jié)第一章集合與函數(shù)概念一、集合有關(guān)概念集合的含義集合的中元素的三個特性:擬定性如：世界上最高的山互異性如：由HAPＰＹ的字母組成的集合{H,A,P,Ｙ｝無序性:如：{a,b,c｝和{a，c，ｂ}是表達同一個集合３.集合的表達:{…｝如:｛我校的籃球隊員｝，{太平洋,大西洋，印度洋,北冰洋}用拉丁字母表達集合：A＝{我校的籃球隊員｝，B={1，2,3,4,5}集合的表達方法:列舉法與描述法。注意：常用數(shù)集及其記法：非負整數(shù)集（即自然數(shù)集)記作：N正整數(shù)集:Ｎ＊或Ｎ+，整數(shù)集：Z有理數(shù)集:Q實數(shù)集：Ｒ列舉法：{a,ｂ，ｃ……}描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表達集合的方法。{xR|x-3>2｝,{x｜x－3>２}語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形｝Ｖenn圖:４、集合的分類：有限集:具有有限個元素的集合注意:{Φ}不是空集，而是具有元素Φ的一個集合無限集:具有無限個元素的集合空集：不含任何元素的集合。只有一種表達方法，即Φ例:{x｜ｘ２=－５}二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系—子集注意:有兩種也許(１）A是Ｂ的一部分，;（2)A與B是同一集合。反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2.“相等”關(guān)系:A=B(5≥５,且5≤５,則５=5)實例:設(shè)A=｛ｘ|x2-1=0}Ｂ=｛-１,１｝“元素相同則兩集合相等”即：①任何一個集合是它自身的子集。ＡＡ②真子集:假如AＢ，且AB那就說集合A是集合Ｂ的真子集，記作AB(或BＡ)③假如AＢ,BC,那么AC④假如ＡB同時ＢA那么A=Ｂ3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ規(guī)定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n個元素的集合,具有２n個子集，２n-1個真子集,２n-2個非空真子集。三、集合的運算運算類型交集(相同的部分)并集(兩者之和）補集(剩余的部分）定義由所有屬于Ａ且屬于Ｂ的元素所組成的集合,叫做A，B的交集.記作AB（讀作‘Ａ交B’),即AB=｛x|xＡ，且ｘB｝．由所有屬于集合A或?qū)儆诩希碌脑厮M成的集合,叫做Ａ,B的并集．記作:AB（讀作‘A并B’）,即AＢ＝{ｘ|ｘA，或xB｝）．設(shè)S是一個集合，A是Ｓ的一個子集,由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集Ａ的補集（或余集）SA記作,即SACSA＝韋恩圖示SSA性質(zhì)AA=AＡΦ=ΦA(chǔ)B=BAAＢAABBAＡ=AAΦ=AAＢ=ＢAABＡABB（CuＡ)(CｕB）=Cｕ(AＢ)(CuA）(CuＢ）＝Ｃu(AB)A(ＣuA)=UA(CuA)=Φ．例題:1.下列四組對象，能構(gòu)成集合的是（)A某班所有高個子的學(xué)生B著名的藝術(shù)家Ｃ一切很大的書D倒數(shù)等于它自身的實數(shù)２.集合｛a,ｂ，c}的真子集共有個3.若集合Ｍ={y｜ｙ＝x2-2ｘ+1,xR},N={ｘ|ｘ≥0｝,則M與N的關(guān)系是．4.設(shè)集合Ａ=,B=,若AＢ，則的取值范圍是5.50名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實驗,已知物理實驗做得對的得有40人,化學(xué)實驗做得對的得有31人,兩種實驗都做錯得有4人，則這兩種實驗都做對的有人。6.用描述法表達圖中陰影部分的點（含邊界上的點）組成的集合Ｍ={(x,y)｜(0≤x≤5／2∩0≤y≤３/2)∪(-2≤x≤0∩-１≤y≤0）}7.已知集合Ａ={x｜x2+２x-８=０}，B=｛x|x2-5x+6=0}，C={x|x２-mｘ+m2-19＝0},若B∩C≠Φ,Ａ∩C=Φ，求ｍ的值解：可求得A={-4,２}B={2,3}若B∩C≠Φ,A∩C=Φ則3∈C且2、-4均不屬于C將x=3代入C9-3m+m2－1９=0解得m＝５或-2①若m=5則C={x|ｘ2-5x+6=0}={2,3}所以ｍ=５不成立舍去若ｍ=-２則C={ｘ|x2＋2x-15=0}=｛－５,3｝所以ｍ=-2也成立綜上所述ｍ＝-２二、函數(shù)的有關(guān)概念1．函數(shù)的概念：設(shè)A、Ｂ是非空的數(shù)集，假如按照某個擬定的相應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一擬定的數(shù)f(x)和它相應(yīng),那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作:y=f(x)，x∈Ａ．其中，ｘ叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與ｘ的值相相應(yīng)的ｙ值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(ｘ）｜ｘ∈Ａ｝叫做函數(shù)的值域．注意:1．定義域:能使函數(shù)式故意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時列不等式組的重要依據(jù)是:分式的分母不等于零;例a/ｂ，則b≠0（2）偶次方根的被開方數(shù)不小于零;例ｎ√x，則當(dāng)n為偶數(shù)時,ｘ≧0(３）對數(shù)式的真數(shù)必須大于零;例㏒aｂ，則b＞0指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.例aｂ,㏒aｂ，則a>０且ａ≠1(5)假如函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都故意義的x的值組成的集合.例(x２+3）/(x2-３x＋１),則x2-3x＋１≠0指數(shù)為零,底不可以等于零。例ａb,則當(dāng)a=０時，b不能為0(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題故意義.2.值域：先考慮其定義域(1)觀測法:f(x)＝，值域為{y|y≠0}(２)配方法：①ｆ（x)=x2+６x+1２使用配方法即f(x)=(x+3)２+3值域為［３,+∞)②f(x)=4x－6·2x-5＝(2x-3）2-14值域為[-14,+∞)（3)代換法:①f(x)=x+√1-x，令ｔ=√1－x,則ｘ=1－ｔ２，f(x)=1-t2＋t=—)+,值域為(—∞,]。②f(ｘ)=ｘ√1-x2+x2，則-1≤ｘ≤1,令x＝sinα（｜α|≤)，則f（x)=siｎαcｏｓα+sin２α=ｓin２α+(1-cos2α)＝+sin()∈{,補充:Ⅰ、函數(shù)三要素：(１）構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、相應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和相應(yīng)關(guān)系決定的,所以，假如兩個函數(shù)定義域和相應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等(或為同一函數(shù)）（２)兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和相應(yīng)關(guān)系完全一致,而與表達自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。Ⅱ、相同函數(shù)的判斷方法：(１）表達式相同（與表達自變量和函數(shù)值的字母無關(guān));（２)定義域一致（兩點必須同時具有)Ⅲ、值域補充(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和相應(yīng)法則，不管采用什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域.(2)．應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域,它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。3.函數(shù)圖象知識歸納(1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù)y=f(x)，(x∈A)中的ｘ為橫坐標(biāo)，函數(shù)值ｙ為縱坐標(biāo)的點P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)y=f（ｘ)，(x∈A)的圖象.C上每一點的坐標(biāo)（x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y＝ｆ（x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(x,y），均在C上.即記為Ｃ={P(ｘ，y)|y＝f(x），x∈Ａ}。圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線（或直線),也也許是由與任意平行與Ｙ軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。(2)畫法描點法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出ｘ，ｙ的一些相應(yīng)值并列表，以（x,ｙ)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點P（x，y),最后用平滑的曲線將這些點連接起來。圖象變換法：（請參考必修4三角函數(shù)）常用變換方法有三種平移變換伸縮變換對稱變換4．區(qū)間的概念（１)區(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間（2)無窮區(qū)間（３)區(qū)間的數(shù)軸表達.5．映射一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，假如按某一個擬定的相應(yīng)法則f,使對于集合A中的任意一個元素ｘ，在集合Ｂ中都有唯一擬定的元素y與之相應(yīng)，那么就稱相應(yīng)f：ＡB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f（相應(yīng)關(guān)系）：A（原象）B(象)”對于映射f:A→Ｂ來說,則應(yīng)滿足:(1）集合Ａ中的每一個元素,在集合B中都有象，并且象是唯一的;(２)集合A中不同的元素，在集合B中相應(yīng)的象可以是同一個；(3)不規(guī)定集合Ｂ中的每一個元素在集合Ａ中都有原象。6.常用的函數(shù)表達法及各自的優(yōu)點：○１函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等,注意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)；○2解析法:必須注明函數(shù)的定義域;○3圖象法：描點法作圖要注意:擬定函數(shù)的定義域;化簡函數(shù)的解析式;觀測函數(shù)的特性；○4列表法:選取的自變量要有代表性,應(yīng)能反映定義域的特性.注意:解析法：便于算出函數(shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值7、分段函數(shù)課本P24-25(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。(2)各部分的自變量的取值情況.在不同的定義域里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應(yīng)的表達式。(3)分段函數(shù)是一個函數(shù),不要把它誤認為是幾個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的并集.補充:復(fù)合函數(shù)假如y=f(u）（u∈M)，u＝ｇ(ｘ）(ｘ∈A),則ｙ=f［g(x)]=F(ｘ)(x∈A)稱為F（x）為復(fù)合函數(shù)。例如:y＝２ｃoｓ(ｘ2+１)可以當(dāng)作是函數(shù)ｇ(x)=ｘ2+1和f(x)=2ｃoｓｘ組成的復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷:同增異減。二．函數(shù)的性質(zhì)１．函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))（1）增函數(shù)設(shè)函數(shù)y=ｆ(ｘ)的定義域為I,假如對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1,ｘ2，當(dāng)x1<x2時，都有f（ｘ1)<ｆ(x2),那么就說f（ｘ)在區(qū)間D上是增函數(shù).區(qū)間D稱為y=f（ｘ）的單調(diào)增區(qū)間.假如對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x１，x2,當(dāng)x1<x2時，都有ｆ（x１)＞f(x2），那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)．區(qū)間D稱為ｙ=ｆ(ｘ)的單調(diào)減區(qū)間.注意:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);（2)圖象的特點假如函數(shù)ｙ＝f（x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說函數(shù)ｙ＝f（ｘ）在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的)單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的．(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的鑒定方法(A)定義法:(最常用）eq\o\ac(○,1)任取x1,x2∈D,且x１<x２；eq\o＼aｃ(○,２）作差ｆ(x1)－ｆ(x2);ｅq\o\ａc(○,3)變形(通常是因式分解和配方)；eq\ｏ\ac(○,4)定號(即判斷差f(ｘ1)-f(x２)的正負)；eq\o\ac(○,5)下結(jié)論（指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).(B)圖象法(從圖象上看升降）(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)ｆ[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(ｘ),y＝f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”例如:f＝（x≧０）,其中ｕ=為在[０，+∞）為增函數(shù)，ｆ(x)＝在［0,+∞）為減函數(shù)，則f＝在［0，+∞）為減函數(shù)。注意：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì)）注意:○１函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì);函數(shù)也許沒有奇偶性,也也許既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。(1）偶函數(shù)一般地,對于函數(shù)f（ｘ)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f（-x)=ｆ(x）,那么f（ｘ)就叫做偶函數(shù).(2)奇函數(shù)一般地，對于函數(shù)ｆ（ｘ)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有ｆ(-x）=—ｆ（ｘ）,那么f(x)就叫做奇函數(shù)．（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特性偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱．判斷函數(shù)是否為奇函數(shù)或者偶函數(shù)注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.一方面看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，再判斷(1)運用定義判斷函數(shù)奇偶性的環(huán)節(jié)：eq\o\ac(○,1)一方面擬定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點對稱；eq\o＼ac（○,２)擬定f(-x)與f(x)的關(guān)系；eq\ｏ\ac(○,3)作出相應(yīng)結(jié)論：若f(-x)=f(ｘ)或f（－ｘ)-f(x)＝0,則f（ｘ)是偶函數(shù);若f（-x)=－f(x）或ｆ(-x）＋f(x)=0,則f(x)是奇函數(shù).(2)由f（－x)±ｆ(x)=０或f(x)/f（－x)=±1來鑒定;(3)運用定理,或借助函數(shù)的圖象鑒定.３、函數(shù)的解析表達式(1).函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表達方法，規(guī)定兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時,一是規(guī)定出它們之間的相應(yīng)法則，二是規(guī)定出函數(shù)的定義域.(2）求函數(shù)的解析式的重要方法有:湊配法:當(dāng)已知表達式較簡樸時，也可用湊配法。待定系數(shù)法:已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時,可用待定系數(shù)法換元法:已知復(fù)合函數(shù)ｆ[g(x）]的表達式時,可用換元法，這時要注意元的取值范圍。消參法：若已知抽象函數(shù)表達式,則常用解方程組消參的方法求出f(x)4.函數(shù)最大(小)值（定義見課本ｐ3６頁)eq\o\ac（○,1)運用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲礶q\ｏ＼ac（○，2）運用圖象求函數(shù)的最大（小）值ｅq\o\ac(○，3)運用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲担杭偃绾瘮?shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b，c］上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值ｆ(ｂ)；假如函數(shù)y=ｆ(x）在區(qū)間[ａ,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間［b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)ｙ=f(ｘ）在x=ｂ處有最小值ｆ(b);例題:1．求下列函數(shù)的定義域：⑴{x|ｘ≧5或x≤3且x≠0,-6}⑵｛ｘ≧0｝2.設(shè)函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為__３．若函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域是4.函數(shù),若,則＝5．求下列函數(shù)的值域:⑴⑵（3)(４)6.已知函數(shù),求函數(shù)，的解析式7.已知函數(shù)滿足,則=。８.設(shè)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，,則當(dāng)時＝在Ｒ上的解析式為9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：⑴⑵⑶10.判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明你的結(jié)論．11．設(shè)函數(shù)判斷它的奇偶性并且求證:．第二章基本初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)（一)指數(shù)與指數(shù)冪的運算1.根式的概念:一般地，假如,那么叫做的次方根,其中>１,且∈*.負數(shù)沒有偶次方根；０的任何次方根都是0,記作。當(dāng)是奇數(shù)時，，當(dāng)是偶數(shù)時，2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：,0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒故意義３.實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)（1）·??；（2）? ；(3)? .（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念:一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R．注意:指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負數(shù)、零和1.2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>1０<a＜1定義域R定義域R值域ｙ>0值域y>0在R上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞減非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過定點(0，1）函數(shù)圖象都過定點(0,1)注意:運用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出:?（1）在[a,ｂ］上,值域是或；

(2）若,則；取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng);?（3)對于指數(shù)函數(shù)，總有；二、對數(shù)函數(shù)（一）對數(shù)１.對數(shù)的概念：一般地，假如,那么數(shù)叫做認為底的對數(shù),記作:(—底數(shù),—真數(shù)，—對數(shù)式)說明：ｅq＼o\aｃ(○，１)注意底數(shù)的限制,且;eq\o＼ac(○,2）;ｅq＼o\ac(○,３)注意對數(shù)的書寫格式．兩個重要對數(shù):eq＼o\ac(○,1)常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)；ｅｑ\o\ac(○,2)自然對數(shù)：以無理數(shù)為底的對數(shù)的對數(shù)．指數(shù)式與對數(shù)式的互化冪值真數(shù)＝Ｎ＝ｂ底數(shù)指數(shù)對數(shù)(二）對數(shù)的運算性質(zhì)假如,且,,，那么:ｅq\ｏ\ac(○,1)·+;eq\ｏ\ac(○,２)－；ｅq\ｏ\ａc(○，3).注意:換底公式 (,且；,且；）.運用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論(1）；（2）．(二）對數(shù)函數(shù)1、對數(shù)函數(shù)的概念:函數(shù)，且叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+∞）.注意：ｅq\o\ac(○,1)對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似,都是形式定義,注意辨別。如：,都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù).eq\ｏ＼aｃ(○,2)對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：,且.2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì):a＞１０＜ａ＜1定義域x>0定義域x＞0值域為Ｒ值域為Ｒ在R上遞增在R上遞減函數(shù)圖象都過定點(1,0)函數(shù)圖象都過定點(１,０)（三)冪函數(shù)1、冪函數(shù)定義：一