2012年高考試題：理科數(shù)學(xué)(全國(guó)卷)-含答案及解析

2012年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（必修+選修II）I卷（選擇題）II卷（非選擇題）兩部分，第I12II34頁(yè)?？荚嚱Y(jié)束，務(wù)必將試卷和答題卡一并上交。I卷注意事項(xiàng)：全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘?？忌⒁馐马?xiàng)：答題前，考生在答題卡上務(wù)必用直徑0.5條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)該條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。沒(méi)小題選出答案后，用2B。I12560分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。一、 選擇題1、復(fù)數(shù)

1i =A.2i B.2i C.12i D.12i【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的計(jì)算【難度】容易【答案】C1

(13i)(1i)

2

12i【解析】

1i (1i)(1i) 2 .【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算。在高二數(shù)學(xué)（理）強(qiáng)化提高班下學(xué)期，第四章《復(fù)數(shù)》中有詳細(xì)講解，其中第02節(jié)中有完全相同類型題目的計(jì)算。在高考精品班數(shù)學(xué)（理）講解。m（2、已知集合＝{1.3. ，＝{m}A BA,則m=m30或3

0或3 C. 1或

D. 133【考點(diǎn)】集合3【難度】容易【答案】B【解析】mABABAQA(1,3,m),B(1,m)mmAmm

m0,m1(舍去)m3.1，第一章《集合》中有詳細(xì)講解，其中第02講中有完全相同類型題目的計(jì)算。在高考精品班數(shù)學(xué)（理）高班中有對(duì)集合相關(guān)知識(shí)及綜合題目的總結(jié)講解。4x=﹣4，則該橢圓的方程為x2 y2 x2 y2A. 16+

=1

12+8=1x2 y2 x2 y2C. 8+4=1 D. 12+4=1【考點(diǎn)】橢圓的基本方程【難度】容易【答案】Cx=﹣4,a2=4cx軸上，∵2c4∴c2，a2

x22∴橢圓的方程為2

y2=18 42【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的基本方程，根據(jù)準(zhǔn)線方程及焦距推出橢圓的方程。在高二數(shù)學(xué)（理）02（文）強(qiáng)化提高班中有對(duì)圓錐曲線相關(guān)知識(shí)的總結(jié)講解。2ABCD-的距離為

1B1C1D1

中，AB=2，CC=2

E

與平面BED3212 B. C. D. 1321【考點(diǎn)】立體幾何【難度】容易【答案】C2【解析】因?yàn)榈酌娴倪呴L(zhǎng)為2，高為22

AC,BD,O,EO,EO∥AC,則點(diǎn)

到平面1BDECBDECCH⊥OE,OCE中，利用等面積12法，可得CH= .2體幾何》有詳細(xì)講解，在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強(qiáng)化提高班中有對(duì)立體幾何相關(guān)知識(shí)的總結(jié)講解，其中第114與此題幾乎一致。已知等差數(shù)列n

n項(xiàng)和為San 5

5,S5

15，則數(shù)列{ana

100項(xiàng)和為an1a100 99 99 101A.101【考點(diǎn)】數(shù)列【難度】中等【答案】A

B. 101

C.100

D.100【解析】因?yàn)橐阎炔顢?shù){ a

}

=5，S

(a

a)515∴

=1∴d=1∴a 1 = 1

n51 1

5 1 5 2 1n an

n1

n(n1) n (n1)∴S100

)(-)...( )1 .=(1-=(1-1 1 1 1 1 1 【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和求解方法。在高一數(shù)學(xué)強(qiáng)化提高班下學(xué)期課程講座2，第二章《數(shù)列》有詳細(xì)講解，其中第04講中，例6屬于完全相同類型的題目。在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強(qiáng)化提高班中有對(duì)數(shù)列相關(guān)知識(shí)的總結(jié)講解。rrrr r r ABCAB邊的高為C，若CBa,Cb,ab0,a1,b2則AD=1r 1r 2r 2r 3r 3r 4r 4rA.ab B.ab C.ab D.a3 3 3 3 5 5 5 5【考點(diǎn)】向量【難度】容易【答案】D【解析】因?yàn)?/p>

=0∴AC=9°

52 55,CD52 55

,AD= ∴AD:BD=4:154 55 554 51444445 5 5 5 5 51講解，其中第01講，有向量計(jì)算問(wèn)題的專題講解。在高考精品班數(shù)學(xué)（理）識(shí)的總結(jié)講解，在百日沖刺班有向量與三角函數(shù)綜合類型題目的講解。3已知α為第二象限角33

，則cos2α=

C. D.55553 9 9 35555【考點(diǎn)】三角函數(shù)【難度】容易【答案】A【解析】∵sin+cos=

.1+sin2=133 33sin2= 2∴是第二象限角，因此sin＞0，cos＜03(sincos)215∴-(sincos)21535cos2=(--sin+cos)(sin+cos)= .53【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的計(jì)算及二倍角公式，注意各個(gè)象限內(nèi)三角函數(shù)值的符號(hào)。在高一數(shù)學(xué)強(qiáng)化提高班上學(xué)期課程講座2，第六章《三角函數(shù)》中有詳細(xì)講解，在高考精品班數(shù)學(xué)（理）角函數(shù)相關(guān)知識(shí)的總結(jié)講解。1 2 1 2 1 已知FF為雙曲線：x－y22的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，PF|=|PF，則coFPF1 2 1 2 1 1 3 3 44

5

4

5【考點(diǎn)】雙曲線及解三角形【難度】中等【答案】C2【解析】由題意可知，a=2

=b∴c=2設(shè)PF1

=2X, PF =X2∴

-

=x2

∴PF= 4

，PF= 2

，F(xiàn)F =42221 2 1 2 1 2222(4 2)22 2(4 2)22 24222 24 21 2 42，第06講中例4（理強(qiáng)化提高班、百日沖刺班中均有對(duì)圓錐曲線、解三角形相關(guān)知識(shí)的總結(jié)講解。已知

2，5

1，則A.x＜y＜z B.z＜x＜y C.z＜y＜x D.y＜z＜x【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)【難度】中等【答案】D【解析】∵ln ＞1∴

2 1 ∴l(xiāng)og

2＞2， 5 log5 5 21 1ee∴z= e2 ∴ ＜2∴y＜z＜x.ee【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，即單調(diào)性。在高一數(shù)學(xué)強(qiáng)化提高班上學(xué)期課程講座2，第四章《初等函數(shù)》有詳細(xì)講解，在高考精品班數(shù)學(xué)（理）02講中有相同類型題目的講解。(10)已知函數(shù)yx3－3xc的圖像與x恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則c＝A或2 B.﹣9或3 C.﹣1或1 D.﹣3或1【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【難度】中等【答案】A【解析】因?yàn)槿魏瘮?shù)的圖像與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，說(shuō)明函數(shù)的極大值或極小值為零即可?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而判斷函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)。在高二數(shù)學(xué)（理）上學(xué)期，第一章《導(dǎo)數(shù)》有詳細(xì)講解，在高考精品班數(shù)學(xué)（理）解，同時(shí)還包含很多導(dǎo)數(shù)與數(shù)列、與圓錐曲線相結(jié)合的題目。將字母aabbcc列方法共有A.12種 B.18種 C.24種 D.36種【考點(diǎn)】排列【難度】中等【答案】A【解析】本題考查排列組合的運(yùn)用，利用分布計(jì)數(shù)原理，先填寫最左上角的數(shù)，有3種，再填寫右上角的數(shù)為2種，接著填寫第二行第一列的數(shù)，有2種，所以一共有3×2×2=12種。同時(shí)包含概率與立體幾何相結(jié)合的綜合題目。7ABCD1EABFBC3.PE出發(fā)沿直線F運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射等于入射角，當(dāng)點(diǎn)PE時(shí)，P邊碰撞的次數(shù)為A.16 B.14 C.12 D.10【考點(diǎn)】軌跡問(wèn)題【難度】較難【答案】B【解析】結(jié)合已知中的點(diǎn)E，F(xiàn)的位置，進(jìn)行作圖，推理可知，在反射的過(guò)程中，直線是平行的，那么利用平行關(guān)系，作圖，可以得到回到EA點(diǎn)時(shí)，需要碰撞14次即可?！军c(diǎn)評(píng)】本題考查在空間幾何體中點(diǎn)的軌跡問(wèn)題。在高二數(shù)學(xué)（理）量與立體幾何》有詳細(xì)講解，在高考精品班數(shù)學(xué)（理）識(shí)的總結(jié)講解，同時(shí)還包含很多軌跡問(wèn)題的總結(jié)性題目。注意事項(xiàng)：

2012理科數(shù)學(xué)（）答題前，考生先在答題卡上用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，然后貼好條形碼。請(qǐng)認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上得準(zhǔn)考證號(hào)、姓名和科目。2頁(yè)，請(qǐng)用直徑0.5。1090分。二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上。（x-y10,若x，y滿足約束條件xy-30,則z3x1的最小值.x3y-30,【考點(diǎn)】線性規(guī)劃【難度】容易【答案】－1【解析】利用不等式組，作出可行域，可知區(qū)域表示的為三角形，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)（0,1）時(shí)最小為－1。1解，其中第06講，是線性規(guī)劃的專題講解，有完全相似的題目講解。在高考精品班數(shù)學(xué)（理）中有對(duì)線性規(guī)劃相關(guān)知識(shí)的總結(jié)講解。當(dāng)函數(shù)ysinx3cosx(0)取得最大值時(shí).【考點(diǎn)】三角函數(shù)【難度】容易【答案】6【解析】因?yàn)?/p>

ysinx－3cosx2sin(x)3 －Qx[0,2] －

]3 3 ,3當(dāng)，即x,3 2 6函數(shù)值最大為2.1解，在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強(qiáng)化提高班中有對(duì)三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)的總結(jié)講解。1 1若(x)n的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則該展開(kāi)式中 的系數(shù).x x2【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理【難度】中等【答案】561【解析】C2

C6,n8Qx)8展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：n n xTr1

Crx8-2r,令8－2r－2，得到r＝58C58

56即為所求.1式定理》有詳細(xì)講解，其中第03講，例2，屬于完全相似的題目。在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強(qiáng)化提高班中有對(duì)二項(xiàng)式定理、排列、組合相關(guān)知識(shí)的總結(jié)講解。ABC-ABC=∠CAA=50°ABBC所11 1 1 1 1 1成角的余弦值.【考點(diǎn)】異面直線之間的夾角【難度】較難3 38【答案】3 38383【解析】首先根據(jù)已知條件，做AH垂直于底面交BC的高線于H,然后可得到側(cè)棱與底為33

，設(shè)出側(cè)棱長(zhǎng)a,HA3a（ ,0,0）B(3a

a 6a3a, , ),B(3a

a,

C(

a, 6a，結(jié)合向量的夾角公式可以得到余弦值。3a3 1 3 3 3 6 2 1 6 2 33a1中的夾角和距離》有詳細(xì)講解，其中例4有完全相似的題目。在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強(qiáng)化提高班中有對(duì)立體幾何相關(guān)知識(shí)的總結(jié)講解，包括空間中的垂直、平行、夾角典型例題的講解。三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟（．（17（本小題滿分10分）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知cos(A－C)＋cosB=1，a=2c，求c.【考點(diǎn)】解三角形綜合題【難度】容易2形應(yīng)用問(wèn)題》有詳細(xì)講解，在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強(qiáng)化提高班中有對(duì)解三角形相關(guān)知識(shí)的總結(jié)講解。（18（本小題滿分12分）2P－ABCDABCD點(diǎn)，PE=2EC.2

PC上的一（Ⅰ）證明：PC⊥平面BED；A－PB－C90°PDPBC.【考點(diǎn)】立體幾何綜合題【難度】中等【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何中垂直關(guān)系的證明及直線與平面所成角的求解。在高一數(shù)學(xué)強(qiáng)化提高班下學(xué)期課程講座2，第四章《立體幾何（理）詳細(xì)講解，有完全相似的題目剖析。在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強(qiáng)化提高班、寒假特訓(xùn)班中有對(duì)立體幾何相關(guān)知識(shí)的總結(jié)講解。（19）.（本小題滿分12分）乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙方比分在102次后，對(duì)方再連續(xù)發(fā)球2101分的概率0.6.（Ⅰ）求開(kāi)始第4次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為1比2的概率；4次發(fā)球時(shí)乙的得分，求.【考點(diǎn)】概率計(jì)算綜合題【難度】中等【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的計(jì)算。在高二數(shù)學(xué)（理）強(qiáng)化提高班下學(xué)期，第六章《概率》有詳細(xì)講解，其中第04講主要講解“高考中的概率題（理）對(duì)概率相關(guān)知識(shí)的總結(jié)講解。（20（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)axcosx，x∈[0，π.]（Ⅰ）討論f(x)的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)f(x)1sinx，求a的取值范圍.【考點(diǎn)】函數(shù)性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)綜合【難度】中等【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)及函數(shù)與不等式的綜合問(wèn)題。在高二數(shù)學(xué)（理）強(qiáng)化提高2等式詳細(xì)講解，在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強(qiáng)化提高班中有對(duì)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及不等式綜合知識(shí)的總結(jié)講解。（21）.（本小題滿分12分）已知拋物線C:y(x與圓M:y(x1)2(y1)2r2 (r＞0)有一個(gè)公共點(diǎn)且在A處兩曲線的切2線為同一直線l.（Ⅰ）求r；m、nlCMnDDl的距離。【考點(diǎn)】拋物線【難度】中等2與方程》有詳細(xì)講解，在高考精品班數(shù)學(xué)（理）強(qiáng)化提高班、百日沖刺班中均有對(duì)橢圓、雙曲線、拋物線相關(guān)知識(shí)的總結(jié)講解，同時(shí)高清課程《平面解析幾何專題》也有對(duì)拋物線的專題講解。（22（本小題滿分