數學分析-復旦dvd8附送

習題 Fourier變換和Fourier積求下列定義在(,)的函數的Fourier變換 f(x)

0x

f(x)ea|x|e2x

a0x f(x)eax2，a0 f(x) xAcos0 0是常數， f(x)0 |x| 0解（1）f() f(x)eixdxAeixdx=A(1ei)0 0（2）f()

f

dx

dx

e(ai)

a a a2（3）f()f(x)eixdxeax2ixdxeax22et20

taa taa e2aa e4a0（4）f(f(x)eixdxe(2i)xdx 0（5）f()

f(x)eixdx

Acosxeixdx [cos()xcos(2 ＝Asin(0)sin(0) (0 (0 fxeax（x[0,a0）的正弦變換和余弦變解正弦變換f()f(x)sinxdxeaxsinxdx 0余弦變

a2f(f(xcosxdxeaxcosxdx 0ex x

0x

a2,f1x x

f2(x)

f1f2(x)解記F(x)f1f2x)f2f1x2sin(tf1xt)dt，考慮t[0, x0時f1(xt0，所以F(x0x時f(xt)e(xt，所 F(x)ex2etsin(t)dt0

12

(1e2) e(xt)當0x 時，f1(xt)

x

F(xexxetsin(t)dt1(sinxcosxex0于

xf1f

(x)1(sinxcosxex22

0x21 2ex(1e2 x2 習題 快速Fourier變N說明離散Fourier變換X(j)x(n

2inN可以Fourierf?()f(x)eix解假設0 2i 2i()f?())

f(x) 2dx

f(nx)

x取x

2x ，記WN，則k為整數時，WkNx ，記W N f?()Wnf((kNn)x)x kx(n)

k

f((kNn)x)x，所N N 2iXjf?j)Wjnx(n)x(n N證明正交關系

1NNN

2in 2iN Nj,k1N

2i 2i解顯然jk時

eNN

N N1下面考慮jkjk根據當1是方程xN1的一個根時Nn0，令

20

(kjN1，則Ne2(kj)i 1。于Nn

1N1N

2inN

2i N

1N1N

2in(kj 0Npq（pqN，構造只需Opq)N次運算的Fourier變解令We

2N，則k為整數時，WkNnWn。假jj1qj0 j1 ,

j0 ,qnn1pn0 n1 ,

n0 ,p1NX(j)x(n)

2inN

Nx(n)Wjnp1x(n1pn0)Wj(n1pn0n00n1 Wjn0x(npn)Wn1j0p n0 固定j，計算x(npn)Wn1j0p需要q1次乘法（n0不需要做 法，對于相同的j0x(n1pn0)Wn1j0p是相同的，無需重復計算有此類和式共需q(q1)次乘法。對n0求和需要p1)N次乘法，所以，總共需要q(q1)(p1)NO((pq)N)次乘法。N23，具體寫2FFT的計算流解記W

28

e4，則W41,W81?？傻糜嬎?X(j)x(n)Wjn

j ,[x(0)(1)jx(4)]Wj[x(1)(1)j計算流第一x1(i)x(i)x(i1x(i4)Wi[x(i)x(i4)],i0,1,2,1第二x2(i)x1(i)x1(i x(i2)W2i[x(i)x(i2)],i0,1, 第三X(i)x2(i)x2(iX(i4)x2(i)x2(i1),i0,X(i)x2(i3)x2(iX(i4)x2(i3)x2(i4),i1,（在教師的指導下，編制程序在電子計算機上實際計算⒈利用現(xiàn)成的數學通用軟（如 MathematicaMaple等，對于N32,64,128：k⑴生成實數序列{xk)}Nkk ⑵FFT計算{xk)}N1的離散Fourier變換序列{X(jk ⑶作出{x(k和{|X(j)|的圖并進行分析（參16.5.4；⑷設定00，將{|Xj)|}中滿足|Xj)|0的數據全部置為零，再進行離散Fourier逆變換，將得到的數據與{x(k)}比較；⑸改變0的值，重復⑷，分析不同的0對逆變換所得到的數據解源程序%fori=0:N-1運行結果分析：以N=128為例。本程序數據是隨機產生的，“為原始數據，“o變換后的模的數據。取05，將{|X(j)|中滿足|Xj)|0的數據全部置為零，再進與{x(k)}比較幾乎重合取 50，同樣處理后得到的數據，與{x(k)}比較有些小誤差取0100，同樣處理后得到的數據，與{x(k比較誤差清晰可見，但由于數據源不同，結果會有所差⒉對于N32,64128⑴產生兩個實數序列{x(k)}N1和{y(k)}N k kk⑵用直接方法計算{x(k和{y(k的卷積{z(k)}Nk⑶改用離散Fourier變換的思想，用FFT計算{zk)}N比較兩種算法所用的時間。解源程序為functiont=ex1602(N)tic%啟動秒表fori=0:N-1forz(i+1)=z(i+1)+x(j+1)*y(i-forj=i+1:N-1分析小單位較大，對于較新的計算機，即使對于N=128，所化時間幾乎為0。而且由于卷積采用代碼解釋執(zhí)行速度較慢，F(xiàn)ourier變換采用內部函數速度很快，用FFT計算速度要快得多⒊用FFT計算多項式m(1)nxn0(2n

m(1)nx2n的乘積，并與sin2x和和 解源程序為function%z:乘積，maxerror：最大誤差，m：階數f