2020中考數(shù)學(xué)：幾何部分備考知識(shí)點(diǎn)

幾何部分

第一章：線段、角、相交線、平行線

知識(shí)點(diǎn)：

一、直線：直線是幾何中不加定義的基本概念，直線的兩大特

征是"直"和"向兩方無(wú)限延伸"。

二、直線的性質(zhì):經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線,

直線的這條性質(zhì)是以公理的形式給出的，可簡(jiǎn)述為：過(guò)兩點(diǎn)有

且只有一條直線，兩直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)。

三、射線：

1、射線的定義：直線上一點(diǎn)和它們的一旁的部分叫做射線。

2.射線的特征："向一方無(wú)限延伸，它有一個(gè)端點(diǎn)。"

四、線段：

1、線段的定義：直線上兩點(diǎn)和它之間的部分叫做線段，這兩

點(diǎn)叫做線段的端點(diǎn)。

2、線段的性質(zhì)（公理）：所有連接兩點(diǎn)的線中，線段最短。

五、線段的中點(diǎn)：

1、定義如圖1―1中，點(diǎn)B把線段AC分成兩條相等的線段,

點(diǎn)B叫做線段圖1-1AC的中點(diǎn)。

2、表示法:

.?點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)

或「AB=1MAC

.?點(diǎn)B為AC的中點(diǎn),或.AC=2AB，.點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)

反之也成立

:點(diǎn)B為AC的中點(diǎn),/.AB=BC

或??點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)，「7X8=1AC

或.,點(diǎn)B為AC的中點(diǎn)，..AC=2BC

六、角

L角的兩種定義：一種是有公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的圖

形叫做角。要弄清定義中的兩個(gè)重點(diǎn)①角是由兩條射線組成的

圖形；②這兩條射線必須有一個(gè)公共端點(diǎn)。另一種是一條射線

繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形?？梢钥?/p>

出在起始位置的射線與終止位置的射線就形成了一個(gè)角。

2?角的平分線定義：一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，

這條射線叫做這個(gè)角的平分線。表示法有三種：如圖1一2

(1)ZA0C=ZB0CB

(2)(2)zAOB=2zAOC=2zCOB

10A

1圖1-2

(3)ZAOC=ZCOB=2ZAOB

七、角的度量：度量角的大小，可用"度"作為度量單位。把

一個(gè)圓周分成360等份,每一份叫做一度的角。1度=60分;

1分=60秒。

八、角的分類：

(1)銳角：小于直角的角叫做銳角

(2)直角：平角的一半叫做直角

(3)鈍角：大于直角而小于平角的角

(4)平角：把一條射線，繞著它的端點(diǎn)順著一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)，

當(dāng)終止位置和起始位置成一直線時(shí)，所成的角叫做平角。

(5)周角：把一條射線，繞著它的端點(diǎn)順著一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)，

當(dāng)終邊和始邊重合時(shí)，所成的角叫做周角。

(6周角、平角、直角的關(guān)系是：I周角=2平角=4直角=360。

九、相關(guān)的角：

1、對(duì)頂角：一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)

線，這兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。

2、互為補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和是一個(gè)平角，這兩個(gè)角做互為

補(bǔ)角。

3、互為余角：如果兩個(gè)角的和是一個(gè)直角，這兩個(gè)角叫做互

為余角。

4、鄰補(bǔ)角：有公共頂點(diǎn)，一條公共邊，另兩條邊互為反向延

長(zhǎng)線的兩個(gè)角做互為鄰補(bǔ)角。

注意：互余、互補(bǔ)是指兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，與兩個(gè)角的位置無(wú)

關(guān)，而互為鄰補(bǔ)角則要求兩個(gè)角有特殊的位置關(guān)系。

十、角的性質(zhì)

1、對(duì)頂角相等。

2、同角或等角的余角相等。

3、同角或等角的補(bǔ)角相等。

十一、相交線

1、斜線：兩條直線相交不成直角時(shí)，其中一條直線叫做另一

條直線的斜線。它們的交點(diǎn)叫做斜足。

2、兩條直線互相垂直：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有

一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直。

3、垂線：當(dāng)兩條直線互相垂直時(shí)，其中的一條直線叫做另一

條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。

4、垂線的性質(zhì)

(I)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與己知直線垂直。

(2)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂線段最

短。簡(jiǎn)單說(shuō)：垂線段最短。

十二、距離

1、兩點(diǎn)的距離：連結(jié)兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度叫做兩點(diǎn)的距離。

2、從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的

距離。

3、兩條平行線的距離：兩條直線平行，從一條直線上的任意

一點(diǎn)向另一條直線引垂線，垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩條平行線的

距離。

說(shuō)明點(diǎn)到直線的距離和平行線的距離實(shí)際上是兩個(gè)特殊點(diǎn)之

間的距離，它們與點(diǎn)到直線的垂線段是分不開(kāi)的。

十三、平行線

1、定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。

2、平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直

線平行。

3、平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那

么這兩條直線也互相平行。

說(shuō)明：也可以說(shuō)兩條射線或兩條線段平行，這實(shí)際上是指它們

所在的直線平行。

4、平行線的判定：

(1)同位角相等，兩直線平行。

(2)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。

(3)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

5、平行線的性質(zhì)

(1)兩直線平行，同位角相等。

(2)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。

(3)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

說(shuō)明：要證明兩條直線平行，用判定公理(或定理)在已知條

件中有兩條直線平行時(shí)，則應(yīng)用性質(zhì)定理。

6、如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩

個(gè)角相等或互補(bǔ)。

注意：當(dāng)角的兩邊平行且方向相同(或相反)時(shí)，這兩個(gè)角相

等。當(dāng)角的兩邊平行且一邊方向相同另一方向相反時(shí)，這兩個(gè)

角互補(bǔ)。

幾何部分

第二章：三角形

知識(shí)點(diǎn)：

一、關(guān)于三角形的一些概念

由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形

叫做三角形。

組成三角形的線段叫三角形的邊;相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫三角

形的頂點(diǎn)；相鄰兩邊所組成的角叫三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形

的角。

1、三角形的角平分線。

三角形的角平分線是一條線段（頂點(diǎn)與內(nèi)角平分線和對(duì)邊交線

間的距離）

2、三角形的中線

三角形的中線也是一條線段（頂點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)間的距離）

3.三角形的高

三角形的高線也是一條線段（頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離）

注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內(nèi)。

如圖2-I,AD、BE、CF都是么ABC的角平分線，它們

都在^ABC內(nèi)

如圖2-2,AD、BE、CF都是^ABC的中線,它們都在^ABC

內(nèi)

c

而圖2-3,說(shuō)明高線不一定在AABC內(nèi),

圖2—3—(1)圖2—3—(2)圖2-3—(3)

圖2-3—(1),中三條高線都在aABC內(nèi),

圖2-3-(2)，中高線CD在SBC內(nèi)，而高線AC與BC

是三角形的邊；

圖2-3—(3),中高線BE在MBC內(nèi)，而高線AD、CF

在SBC外。

三、三角形三條邊的關(guān)系

三角形三邊都不相等，叫不等邊三角形；有兩條邊相等的叫等

腰三角形；三邊都相等的則叫等邊三角形。

等腰三角形中，相等的兩條邊叫腰，另一邊叫底邊，腰和底邊

的夾角叫底角，兩腰的夾角叫項(xiàng)角。

三角形接邊相等關(guān)系來(lái)分類：

不等邊三角形

三角形三角形［|底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形［等邊三角形

推論三角形兩邊的差小于第三邊。

不符合定理的三條線段,不能組成三角形的三邊。

例如三條線段長(zhǎng)分別為5,6,1人因?yàn)?+6<12,所以這三

條線段，不能作為三角形的三邊。

三、三角形的內(nèi)角和

定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

由定理可知，三角形的二個(gè)角已知，那么第三角可以由定理求

得。

如已知^ABC的兩個(gè)角為NA=90°,zB=40°,則NC=180°

-90。-40。=50。由定理可以知道，三角形的三個(gè)內(nèi)角中，只可

能有一個(gè)內(nèi)角是直角或鈍角。

推論1:直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

三角形按角分類：

f直角三角形

三角形包一缶中（銳角三角形

{［鈍角二角形

用集合表小；見(jiàn)圖

三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫三角形的外角。

推論2:三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。

推論3:三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。

四、全等三角形

能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫全等形。

兩個(gè)全等三角形重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重

合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫對(duì)應(yīng)角。

全等用符號(hào)0"表示MBC*A'B'C'表示A和A',B和

B',C和C'是對(duì)應(yīng)點(diǎn)。全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三

角形的對(duì)應(yīng)角相等。

如圖2—7,AABC^AA'B'C,則有A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'、B\

C';AB、BC、CA的對(duì)應(yīng)邊是A'B'、B'C;C'A'O

NA,NB,NC的對(duì)應(yīng)角是NA'、ZB\ZC'O

.-.AB=A'B',BC=B'C',CA=C'A';zA=zA',zB=zB',

zC=zC'

五、全等三角形的判定

L邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形

全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊"或"SAS"）注意：一定要是兩

邊夾角，而不能是邊邊角。

2、角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形

全等（可以簡(jiǎn)寫成"角邊角"或"ASA"）

3、推論有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

（可以簡(jiǎn)寫成“角角邊‘域"AAS"）

4、邊邊邊公理有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫

成"邊邊邊"或"SSS"）由邊邊邊公理可知，三角形的重要

性質(zhì)：三角形的穩(wěn)定性。

除了上面的判定定理外，“邊邊角"或"角角角"都不能保證

兩個(gè)三角形全等。

5、直角三角形全等的判定：斜邊、直角邊公理有斜邊和一條

直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成"斜邊,

直角邊"或"HL"）

六、角的平分線

定理1、在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。

定理2、一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。

由定理1、2可知：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有

點(diǎn)的集合。

可以證明三角形內(nèi)存在一個(gè)點(diǎn)，它到三角形的三邊的距離相等

這個(gè)點(diǎn)就是三角形的三條角平分線的交點(diǎn)（交于一點(diǎn)）

在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論,

而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題

叫做互為逆命題，如果把其中的一個(gè)做原命題，那么另一個(gè)叫

它的逆命題。

如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過(guò)證明是真命題，那么它也是一個(gè)定

理，這兩個(gè)定理叫互逆定理，其中一個(gè)叫另一個(gè)的逆定

理。

例如："兩直線平行，同位角相等"和洞位角相等，兩直線

平行"是互逆定理。一個(gè)定理不一定有逆定理，例如定理："對(duì)

頂角相等"就沒(méi)逆定理，因?yàn)?相等的角是對(duì)頂角"這是一個(gè)

假命顆

七、基本作圖

限定用直尺和圓規(guī)來(lái)畫圖，最基本、最常用的尺規(guī)作圖.通常

稱為基本作圖，例如做一條線段等于己知線段。

1、作一個(gè)角等于已知角：作法是使三角形全等（SSS），從

而得到對(duì)應(yīng)角相等；

2、平分已知角：作法仍是使三角形全等（SSS）.從而得到

對(duì)應(yīng)角相等。

3、經(jīng)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線：（1）若點(diǎn)在已知直線上，

可看作是平分已知角平角；（2）若點(diǎn)在已知直線外，可用類

似平分已知角的方法去做：已知點(diǎn)c為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑

作弧交已知真線于A、B兩點(diǎn)，再以A、B為圓心，用相同的長(zhǎng)

為半徑分別作弧交于D點(diǎn)，連結(jié)CD即為所求垂線。

4、作線段的垂直平分線：

線段的垂直平分線也叫中垂線。

做法的實(shí)質(zhì)仍是全等三角形（SSS）。

也可以用這個(gè)方法作線段的中點(diǎn)。

八、作圖題舉例

重要解決求作三角形的問(wèn)題

1、已知兩邊一夾角，求作三角形

2、已知底邊上的高，求作等腰三角形

九、等腰三角形的性質(zhì)定理

等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成

”等邊對(duì)等角"）

推論1:等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，

就是說(shuō)：等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上

的高互相重合。

推論2:等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°

例如：等腰三角形底邊中線上的任一點(diǎn)到兩腰的距離相等，因

為等腰三角形底邊中線就是頂角的角平分線、而角平分線上的

點(diǎn)到角的兩邊距離相等n

十、等腰三角形的判定

定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相，那這兩個(gè)角所對(duì)的兩條邊

也相等。（簡(jiǎn)寫成”等角對(duì)等動(dòng)"）。

推論1:三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

推論2:有一個(gè)角等于60。的等腰三角形是等邊三角形

推論3:在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30。，那么它所

對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

十一、線段的垂直平分線

定理線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂

直平分線上。

就是說(shuō)線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相

等的所有點(diǎn)的集合。

十二、軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形

把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊二如果能夠與另一個(gè)圖形重

合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線軸對(duì)稱，兩個(gè)圖形中的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)，這條直線叫對(duì)稱軸。

兩個(gè)圖形關(guān)于直線對(duì)稱也叫軸對(duì)稱。

定理1:關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形。

定理2:如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)

點(diǎn)連線的垂直平分線。

定理3:兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或

延長(zhǎng)相交。那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上。

逆定理：如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被一條直線垂直平分，那

么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。

如果一個(gè)圖形沿著一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重

合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是對(duì)稱軸。

例如：等腰三角形頂角的分角線就具有上面所述的特點(diǎn)，所以

等腰三角形頂角的分角線是等腰三角形的一條對(duì)稱軸，而等腰

三角形是軸對(duì)稱圖形。

十三、勾股定理

勾股定理：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平

勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有下面關(guān)系：

a2+62=c2

那么這個(gè)三角形是直角三角形

幾何部分

第三章：四邊形

知識(shí)點(diǎn)：

一、多邊形

1、多邊形：由一些線段首尾順次連結(jié)組成的圖形，叫做多邊

形。

2、多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊。

3、多邊形的頂點(diǎn)：多邊形每相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形

的頂點(diǎn)。

4、多邊形的對(duì)角線：連結(jié)多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫

做多邊形的對(duì)角線。

5、多邊形的周長(zhǎng)：多邊形各邊的長(zhǎng)度和叫做多邊形的周長(zhǎng)。

6、凸多邊形：把多邊形的任何一條邊向兩方延長(zhǎng)，如果多邊

形的其他各邊都在延長(zhǎng)線所得直線的問(wèn)旁，這樣的多邊形叫凸

多邊形。

說(shuō)明：一個(gè)多邊形至少要有三條邊，有三條邊的叫做三角形;

有四條邊的叫做四邊形；有幾條邊的叫做幾邊形。今后所說(shuō)的

多邊形，如果不特別聲明，都是指凸多邊形。

7、多邊形的角：多邊形相鄰兩邊所組成的角叫做多邊形的內(nèi)

角，簡(jiǎn)稱多邊形的角。

8、多邊形的外角：多邊形的角的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線

所組成的角叫做多邊形的外角。

注意：多邊形的外角也就是與它有公共頂點(diǎn)的內(nèi)角的鄰補(bǔ)角。

9、n邊形的對(duì)角線共有;〃(〃-3)條說(shuō)明：利用上述公式，可

以由一個(gè)多邊形的邊數(shù)計(jì)算出它的對(duì)角線的條數(shù)，也可以由一

個(gè)多邊形的對(duì)角線的條數(shù)求出它的邊數(shù)。

10、多邊形內(nèi)角和定理：n邊形內(nèi)角和等于(n-2)180%

11、多邊形內(nèi)角和定理的推論：n邊形的外角和等于360。。

說(shuō)明：多邊形的外角和是一個(gè)常數(shù)(與邊數(shù)無(wú)關(guān)),利用它解

決有關(guān)計(jì)算題比利用多邊形內(nèi)角和公式及對(duì)角線求法公式簡(jiǎn)

單。無(wú)論用哪個(gè)公式解決有關(guān)計(jì)算，都要與解方程聯(lián)系起

來(lái)，掌握計(jì)算方法。

二、平行四邊形

1、平行四邊形：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

2、平行四邊形性質(zhì)定理1:平行四邊形的對(duì)角相等。

3、平行四邊形性質(zhì)定理2:平行四邊形的對(duì)邊相等。

4、平行四邊形性質(zhì)定理2推論：夾在平行線間的平行線段相

等。

5、平行四邊形性質(zhì)定理3:平行四邊形的對(duì)角線互相平分。

6、平行四邊形判定定理1:一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是

平行四邊形。

7、平行四邊形判定定理2:兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平

行四邊形。

8、平行四邊形判定定理3:對(duì)角線互相平分的四邊形是平行

四邊形。

9、平行四邊形判定定理4:兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平

行四邊形。

說(shuō)明：(1)平行四邊形的定義、性質(zhì)和判定是研究特殊平行

四邊形的基礎(chǔ)。同時(shí)又是證明線段相等，角相等或兩條直線互

相平行的重要方法。

(2)平行四邊形的定義即是平行四邊形的一個(gè)性質(zhì)，又是平

行四邊形的一個(gè)判定方法。

三、矩形

矩形是特殊的平行四邊形，從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)看，當(dāng)平行四

邊形的一個(gè)內(nèi)角變?yōu)?0。時(shí)，其它的邊、角位置也都隨之變化。

因此矩形的性質(zhì)是在平行四邊形的基礎(chǔ)上擴(kuò)充的。

1、矩形：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做短形（通常也叫

做長(zhǎng)方形）

2、矩形性質(zhì)定理1:矩形的四個(gè)角都是直角。

3.矩形性質(zhì)定理2:矩形的對(duì)角線相等。

4、矩形判定定理1:有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。

說(shuō)明：因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)角和等于360度，已知有三個(gè)角都是

直角，那么第四個(gè)角必定是直角。

5、矩形判定定理2:對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。

說(shuō)明：要判定四邊形是矩形的方法是：

法一：先證明出是平行四邊形，再證出有一個(gè)直角（這是用定

義證明）

法二：先證明出是平行四邊形，再證出對(duì)角線相等（這是判定

定理1）

法三：只需證出三個(gè)角都是直角。（這是判定定理2）

四、菱形

菱形也是特殊的平行四邊形，當(dāng)平行四邊形的兩個(gè)鄰邊發(fā)生變

化時(shí)，即當(dāng)兩個(gè)鄰邊相等時(shí)，平行四邊形變成了菱形。

1、菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

2、菱形的性質(zhì)1:菱形的四條邊相等。

3、菱形的性質(zhì)2:菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角

線平分一組對(duì)角。

4、菱形判定定理1:四邊都相等的四邊形是菱形。

5、菱形判定定理2:對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

說(shuō)明：要判定四邊形是菱形的方法是：

法一：先證出四邊形是平行四邊形，再證出有一組鄰邊相等。

（這就是定義證明）。

法二：先證出四邊形是平行四邊形，再證出對(duì)角線互相垂直。

（這是判定定理2）

法三：只需證出四邊都相等。（這是判定定理1）

（五）正方形

正方形是特殊的平行四邊形，當(dāng)鄰邊和內(nèi)角同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)，又能

使平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角為直角且鄰邊相等，這樣就形成了正

方形。

1、正方形：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊

形叫做正方形。

2、正方形性質(zhì)定理1:正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都

相等。

3、正方形性質(zhì)定理2:正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相

垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

4、正方形判定定理互：兩條對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。

5、正方形判定定理2:兩條對(duì)角線相等的菱形是正方形。

注意：要判定四邊形是正方形的方法有

方法一：第一步證出有一組鄰邊相等；第二步證出有一個(gè)角

是直角；第三步證出是平行四邊形。（這是用定義證明）

方法二:第一步證出對(duì)角線互相垂直；第二步證出是矩形。（這

是判定定理1）

方法三：第一步證出對(duì)角線相等；第二步證出是菱形。（這是

判定定理2）

六、梯形

1、梯形：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯

形。

2、梯形的底：梯形中平行的兩邊叫做梯形的底（通常把較短

的底叫做上底，較長(zhǎng)的邊叫做下底）

3、梯形的腰：梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。

4、梯形的高：梯形有兩底的距離叫做梯形的高。

5、直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

6、等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。

7、等腰梯形性質(zhì)定理1:等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等。

8、等腰梯形性質(zhì)定理2:等腰梯形的兩條對(duì)角線相等。

9、等腰梯形的判定定理I。：在同一個(gè)底上鉤兩個(gè)角相等的

梯形是等腰梯形。

10、等腰梯形的判定定理2:對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。

研究等腰梯形常用的方法有化為一個(gè)等腰三角形和一個(gè)平有

四邊形；或兩個(gè)全等的直角三角形和一矩形；或作對(duì)角線的斗

行線交下底的延長(zhǎng)線于一點(diǎn)；或延長(zhǎng)兩腰交于一點(diǎn)。

七、中位線

1、三角形的中位線連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的

中位線。

說(shuō)明：三角形的中位線與三角形的中線不同。

2、梯形的中位線：連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形中位線,

3、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊,并巨

等于第三邊的一半。

4、梯形中位線定理：梯形中位線平行于兩底，并且等于兩席

和的一半。

八、多邊形的面積

說(shuō)明：多邊形的面積常用的求法有：

圖形幣積公式附注

S=yaA

a.6,c為三角形的三邊為a邊上的高。

三角形

S=-y(a+6+c)*h

等邊三角形sa為邊長(zhǎng)。

辜4

矩?S=aba為邊長(zhǎng),6為

正方形S=a2a為邊長(zhǎng)＞

平行四邊形3=aha為邊長(zhǎng).6為a邊上的高.

S=*ej為對(duì)角線長(zhǎng)，a為邊長(zhǎng)”為a邊上的

菱形

*0

ah

S=y(a+bMh

橫形。,6為兩底長(zhǎng)/為高，m為中位鐵

S=ymA

正多也用S-prr為邊心更邛為網(wǎng)長(zhǎng)一半。

(1)將任意一個(gè)平面圖形劃分為若干部分再通過(guò)求部分的面

積的和，求出原來(lái)圖形的面積這種方法叫做分割法。如圖3-

I,作六邊形的最長(zhǎng)的一條對(duì)角線，從其它各頂點(diǎn)向這條對(duì)角

線引垂線，把六邊形分成四個(gè)直角三角形和兩個(gè)直角梯形，計(jì)

算它們的面積再相加。

(2)將一個(gè)平面圖形的某一部分割下來(lái)移放在另一個(gè)適當(dāng)?shù)?/p>

位置上，從而改變?cè)瓉?lái)圖形的形狀。利用計(jì)算變形后的圖形的

面積來(lái)求原圖形的面積的這種方法。叫做割補(bǔ)法?！?/p>

(3)將一個(gè)平面圖形通過(guò)拼補(bǔ)某一圖形，使它變?yōu)榱硪粋€(gè)圖

形，利用新的圖形減去所補(bǔ)充圖形的面積，來(lái)求出原來(lái)圖形面

積的這種方法叫做拼湊法。

注意：兩個(gè)圖形全等，它們的面積相等。等底等高的三角面積

相等。一個(gè)圖形的面積等于它的各部分面積的和。

幾何部分

第四章：相似形

知識(shí)點(diǎn)：

一、比例線段

1、比：選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段。a、b的長(zhǎng)度分別是

a_m

m、n,那么就說(shuō)這兩條線段的比是a:b=m:n(或不=京)

2、比的前項(xiàng)，比的后項(xiàng)：兩條線段的比a:b中。a叫做比

的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。

說(shuō)明：求兩條線段的比時(shí)，對(duì)這兩條線段要用同一單位長(zhǎng)度。

3、比例：兩個(gè)比相等的式子叫做比例，如1=:

a_c

4、比例外項(xiàng)：在比例石=Z(或a:b=c:d)中a、d叫做

比例外項(xiàng)。

a_c

5、比例內(nèi)項(xiàng)：在比例石一［(或a:b=c:d)中b、c叫做

比例內(nèi)項(xiàng)。

ac

6、第四比例項(xiàng)：在比例廠［(或a:b=c:d)中，d叫a、

b、c的第四比例項(xiàng)。

a_b

7、比例中項(xiàng)如果比例中兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相等，即比例為g="

(或a:b=b:c時(shí)，我們把b叫做a和d的比例中項(xiàng)。

8、比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另

外兩條線段的比，那么，這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比

例線段。

9、比例的基本性質(zhì)：如果a:b=c:d那么ad二be逆命題

也成立，即如果ad=be,那么a:b=c:d

10、比例的基本性質(zhì)推論:如果a:b=b:d那么b2=ad,

2

逆定理是如果b=ad那么a:b=b:co說(shuō)明：兩個(gè)論是比積

相等的式子叫做等積式。比例的基本性質(zhì)及推例式與等積式互

化的理論依據(jù)。

巴_￡_a+bc+d

11、合比性質(zhì)：如果了一)，那么丁二7-

acm

12.等比隔：如果了=7=-?=了，(6+d+…+7W0)

a+c+-■?+m_a

那么b+dT------Pnb

說(shuō)明：應(yīng)用等比性質(zhì)解題時(shí)常采用設(shè)已知條件為k,這種方

法思路單一，方法簡(jiǎn)單不易出錯(cuò)。

13、黃金分割把一條線段分成兩條線段，使較長(zhǎng)的線段是原

線段與較小的線段的比例中項(xiàng)，叫做把這條線段黃金分割。

說(shuō)明把一條線段黃金分割的點(diǎn)，叫做這條線段的黃金分割點(diǎn),

—1

在線段AB上截取這條線段的一5一倍得到點(diǎn)C,則點(diǎn)C就是

AB的黃金分割點(diǎn)。

二、平行線分線段成比例

1、平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得

的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等。

格式：如果直線L1IIL2IIL3,AB=BC,

那么:AiBi=BiCi,如圖4-1

說(shuō)明：由此定理可知推論1和推論2

推論1:經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線必平分另一腰。

格式:如果梯形ABCD,ADllBC,AE=EB,EFllAD,那么

DF=FC

推論2:經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第

三邊。

如果MBC中，D是AB的中點(diǎn),DEIIBC,那么AE=EC,如

圖4—3

2、平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得

的對(duì)應(yīng)線段成比例。

說(shuō)明:平行線等分線段定理是平行線分線段成比問(wèn)定理的特殊

情況。

3.平行線分線段成比例定理的推論：平行于三角形一邊的直

線截其它兩邊，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

說(shuō)明1:平行線分線段成比例定理可用形象的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)。如

圖4—4

說(shuō)明2:圖4-4的三種圖形中這些成比例線段的位置關(guān)系依

然存在。

4、三角形一邊的平行線的判定定理。如果一條直線截三角形

的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條

直線平行于三角形的第三邊。

A

I)

/\x。

B乙-------CC4~B

(1)(2)

圖4-5

5、三角形一邊的平行線的判定定理：平行于三角形的一邊，

并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角

形三邊對(duì)應(yīng)成比例。

6、線段的內(nèi)分點(diǎn)：在一條線段上的一個(gè)點(diǎn)，將線段分成兩條

線段，這個(gè)點(diǎn)叫做這條線段的內(nèi)分點(diǎn)。

7、線段的外分點(diǎn)：在一條線段的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，有時(shí)也叫做

這條線段的外分點(diǎn)。

說(shuō)明：外分點(diǎn)分線段所得的兩條線段，也就是這個(gè)點(diǎn)分別和線

段的兩個(gè)端點(diǎn)確定的線段。

三、相似三角形

1、相似三角形：兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫

做相似三角形。

說(shuō)明：證兩個(gè)三角形相似時(shí)和證兩個(gè)三角形全等一樣，通常把

表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上,這樣便于找出相似三

角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊。

2、相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比k,叫做相似比(或叫做

相似系數(shù))。

3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一邊的直線和其它

兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相

似。

說(shuō)明：這個(gè)定理反映了相似三角形的存在性，所以有的書把它

叫做相似三角形的存在定理，它是證明三角形相似的判定定理

的理論基礎(chǔ)。

4、三角形相似的判定定理：

(1)判定定理1:如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形

的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么就兩個(gè)三角形相似。可簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩

角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。

(2)判定定理2:如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形

的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似,

可簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似。

(3)判定定理3:如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形

的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)單說(shuō)成：

三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。

(4)直角三角形相似的判定定理如果一個(gè)直角三角形的斜邊

和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)

成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。

說(shuō)明：以上四個(gè)判定定理不難證明，以下判定三角形相似的命

題是正確的，在解題時(shí)，也可以用它們來(lái)判定兩個(gè)三角形的相

似。

第一：頂角(或底角)相等的兩個(gè)等腰三角形相似。

第二：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。

第三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。

第四:直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三

角形相似。

第五如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三

角形的兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角

形.相似。

5、相似三角形的性質(zhì)：

(1)相似三角形性質(zhì)1:相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線

的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。

(2)相似三角形性質(zhì)2:相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。

說(shuō)明：以上兩個(gè)性質(zhì)簡(jiǎn)單記為：相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比

等于相似比。

(3)相似三角形面積的比等于相似比的平方。

說(shuō)明：兩個(gè)三角形相似，根據(jù)定義可知它們具有對(duì)應(yīng)角相

等、對(duì)應(yīng)邊成比例這個(gè)性質(zhì)。

6、介紹有特點(diǎn)的兩個(gè)三角形

(1)共邊三角形指有一條公共邊的兩個(gè)三角形叫做共邊三角

形。

(2)共角三角形有一個(gè)角相等或互補(bǔ)的兩個(gè)三角形叫做共角

三角形，如圖4_6

(3)公邊共角有一個(gè)公共角，而且還有一條公共邊的兩個(gè)三

角形叫做公邊共角三角形。

說(shuō)明：具有公邊共角的兩個(gè)三角形相似，則公邊的平方等

于疊在一條直線上的兩邊的乘積：如圖4—7若^ACDSA

ABC,貝UAC2=ADAB

第五章：解直角三角形

知識(shí)點(diǎn)：

一、銳角三角函數(shù)：在直角三角形ABC中，/C是直角，如

圖5-1

1、正弦：把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做NA的正弦,記作

sin^=—

C

2、余弦：把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦，記作

,b

cos力=—

C

3、正切：把銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做NA的正切，記作

tanA=-

b

4、余切:把銳角A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做NA的余切，記作

b

cotJ=—

a

A1

說(shuō)明：由定義可以看出tanA-COtA=l(或?qū)懗蓆an”=^7)

5、銳角三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做

NA的銳角三角函數(shù)

說(shuō)明：銳角三角函數(shù)都不能取負(fù)值。

0<sinA<I;0<cosA<;I

6、銳角的正弦和余弦之間的關(guān)系任意銳角的正弦值等于它的

余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。

即sinA=cos(90°—A)=cosB;cosA=sin(90°—A)

=sinB

7、銳角的正切和余切之間的關(guān)系任意銳角的正切值等于它的

余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。

即tanA=cot(90°—A)=cotB;cotA=tan(90°-A)=

tanB

說(shuō)明：式中的90°-A=B0

8、三角函數(shù)值的變化規(guī)律

(1)當(dāng)角度在0°—90。間變化時(shí)，正弦值(正切值隨著角度

的增大(或減小)而增大(或減小)

(2)當(dāng)角度在0°—90。間變化時(shí)，余弦值(余切值)隨著角

度的增大(或減小)而減小(或增大)。

9、同角三角函數(shù)關(guān)系公式

,1

(1)sin2J+cos25=1；(2)tanA=^4；

sinA

(3)tanA=cosj

10.一些特殊角的三角函數(shù)值

三角函數(shù)OP30P45°6(r90P

1

sina0交431

222

息421

COSQ10

222

73

tana0173—

3

cota—百1430

3

二、解直角三角形

由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的

過(guò)程，叫做解直角三角形。

若直角三角形ABC中，NC=90°,那么A、B、C,a,b,c

中除NC=90。外，其余5個(gè)元素之間有關(guān)系：

(I)a2+b2=c2；(2)zA+zB=90°;

.?,b,a..b

/□\sin4.cosA=—.tan4=—.cotA=—

2/c1c1h'a

所以，只要知道其中的2個(gè)元素(至少有一個(gè)是邊)，就可

以求出其余3個(gè)未知數(shù)。

三、應(yīng)用舉例

是實(shí)際問(wèn)題中的解直角三角形，或者說(shuō)用解直角三角形的方法

解決實(shí)際問(wèn)題。

例如一桿AB直立地面，從D點(diǎn)看桿頂A，仰角為60。，從C

點(diǎn)看桿頂A，仰角為30°(如圖5~2)若CD長(zhǎng)為10米，求

桿AB的高。

解：設(shè)AB=x

YY

pntan60"=—tan300=——

即BD'\Q+BD?

6BD

=10+BD

瓜=10+1》,=IOA/3f.-.x=573

即桿高約8.66米，應(yīng)用題中要注意：

(1)仰角，俯角見(jiàn)圖5-3

(2)跨度、中柱：如房屋頂人字架跨度為AB,見(jiàn)圖5—

4

(3)深度、燕尾角

如燕尾槽的深度，見(jiàn)圖5—5

圖5-5圖5-6

AE是深度眼外口寬

8C里口寬燕尾角

(4)坡度、坡角

見(jiàn)圖5—6坡度i=7坡度的垂直高度h水平寬度/,

h

/?=7=tana(a叫坡角)

幾何部分

第六章：圓

知識(shí)點(diǎn)：

一、圓

1、圓的有關(guān)性質(zhì)

在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)一周，

另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫圓，固定的端點(diǎn)0叫

圓心，線段0A叫半徑

由圓的意義可知：圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心0）的距離等于定

長(zhǎng)的點(diǎn)都在圓上。就是說(shuō)：圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的

集合，圓的內(nèi)部可以看作是到圓。心的距離小于半徑的點(diǎn)的集

合。圓的外部可以看作是到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合。

連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫直徑。圓上

任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡(jiǎn)稱弧。

圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫半

圓，大于半圓的弧叫優(yōu)??；小于半圓的弧叫劣弧。由弦及其所

對(duì)的弧組成的圓形叫弓形。

圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫同心圓。

能夠重合的兩個(gè)圓叫等圓。

同圓或等圓的半徑相等。

在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫等弧。

二、過(guò)三點(diǎn)的圓

I、過(guò)三點(diǎn)的圓

過(guò)三點(diǎn)的圓的作法：利用中垂線找圓心

定理不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。

經(jīng)過(guò)三角形各頂點(diǎn)的圓叫三角形的外接圓，外接圓的圓心叫外

心，這個(gè)三角形叫圓的內(nèi)接三角形。

2、反證法

反證法的三個(gè)步驟：

①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾；

③由矛盾得出假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。

例如：求證三角形中最多只有一個(gè)角是鈍角。

證明：設(shè)有兩個(gè)以上是鈍角

則兩個(gè)鈍角之和〉180°

與三角形內(nèi)角和等于180°矛盾。

.??不可能有二個(gè)以上是鈍角。

即最多只能有一個(gè)是鈍角。

三、垂直于弦的直徑

圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸。

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩

條弧。

推理1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所

對(duì)兩條弧。弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條

弧。平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所

對(duì)的另一個(gè)條弧。

推理2:圓兩條平行弦所夾的弧相等。四、圓心角、弧、弦、

弦心距之間的關(guān)系

圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形。實(shí)際上，圓繞圓心旋

轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，都能夠與原來(lái)的圖形重合。

頂點(diǎn)是圓心的角叫圓心角，從圓心到弦的距離叫弦心距。

定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的

弦相等，所對(duì)的弦心距相等。

推理：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或

兩條弦的弦心距中，有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各

組量都分別相等。

五、圓周角

頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角。

推理1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等

的圓周角所對(duì)的弧也相等。

推理2:半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90。的圓周角

所對(duì)的弦是直徑。

推理3:如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)

三角形是直角三角形。

由于以上的定理、推理，所添加輔助線往往是添加能構(gòu)成直徑

上的圓周角的輔助線。

六、圓的內(nèi)接四邊形

多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上這個(gè)多邊形叫圓內(nèi)接多邊

形，這個(gè)圓叫這個(gè)多邊形的外接圓

定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任I可一個(gè)外角都等于

它的內(nèi)對(duì)角。

例如圖6—1,連EF后，可得:

zDEF=zB

zDEF+zA=180°

/.zA+zB=18ry

/.BCllDA

七、直線和圓的位置關(guān)系

1、直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交，這時(shí)直線

叫圓的割線

直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫圓

的切線，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn)。

直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫直線和圓相離。

2、若圓的半徑為r,圓心到直線的距離為d,則：

直線和圓相交Od<r;直線和圓相切Od=r;直線和圓相離

od>r;直線和圓相交od<r

八、切線的判定和性質(zhì)

切線的判定經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓

的切線。

切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑

推理1:經(jīng)過(guò)圓心且垂直干切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。

推理2:經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。

例如圖6-5中，0為圓心，AC是切線，D為切點(diǎn)。

zB=90°

則有BC是切線.n<1C

0D是半徑

OD±AC圖…圖6-5

九、三角形的內(nèi)切圓

要求會(huì)作圖，使它和己知三角形的各邊都相切

???分角線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等。

???兩條分角線的交點(diǎn)就是圓心。

這樣作出的圓是三角形的內(nèi)切圓，其圓心叫內(nèi)心，三角形

叫圓的外切三角形。

和多邊形各邊都相切的圓叫多邊形的內(nèi)切圓，多邊形叫圓

的外切多邊形。

十、切線長(zhǎng)定理

經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)可作圓的兩條切線。在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的

切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。

切線長(zhǎng)定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相

等。圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角，如圖6-6

B、C為切點(diǎn)，0為圓心。

AB=AC,zl=z2

十一、弦切角

頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角。

弦切角定理弦切角等于它所央的弧對(duì)的圓周角。

推理如果兩個(gè)弦切角所央的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相

等。

十二、和圓有關(guān)的比例線段

相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的

積相等。

推理：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成

的兩條線段的比例中項(xiàng)。

切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到

割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。

推理：從圓外一點(diǎn)引兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)

的兩條線段長(zhǎng)的積相等，如圖6-8,若F為切點(diǎn)

十三、圓和圓的位置關(guān)系如圖6-9

若連心線長(zhǎng)為d,兩圓的半徑分別為R,r,貝IJ:

1、兩圓外離=d>R+r;

2、兩圓外切u>d=R+r;

3、兩圓相交<=>R-r<d<R+r(R>r)

4、兩圓內(nèi)切=d=R-r;(R>r)

5、兩圓內(nèi)含od<R-r。(R>r)

定理相交兩圓的連心線垂直平分丙兩圓的公共弦。

如圖6-10,0i,O2為圓心，則有：ABI且AB被

002平分

十四、兩圓的公切線

和兩個(gè)圓都相切的直線叫兩圓的公切線，兩圓在公切線同

旁時(shí)，叫外公切線，在公切線兩旁時(shí)，叫內(nèi)公切線，公切線上

兩個(gè)切點(diǎn)的距離叫公切線的長(zhǎng)。

如圖6-11,若A、B、C、D為切點(diǎn)，則AB為內(nèi)公切線長(zhǎng),

CD為外公切線長(zhǎng)

內(nèi)外公切線中的重要直角三角形，如圖6-12,OOiA為直角

三角形。

d?=(R-r)2+e2為外公切線長(zhǎng)，

又如圖6-13,OOiC為直角三角形。

d2=(R+r)2+e'2為內(nèi)公切線長(zhǎng)。

圖6-12圖6-13

十五、相切在作圖中的應(yīng)用

生活、生產(chǎn)中常常需要由一條線(線段或孤)平滑地渡到另一

條線上，通常稱為圓弧連接，簡(jiǎn)稱連接，連接時(shí)