2018版數(shù)學(xué)（理）（人教）大復(fù)習(xí)講義第九章平面解析幾何9.2含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1．兩條直線的位置關(guān)系（1)兩條直線平行與垂直①兩條直線平行：（ⅰ)對(duì)于兩條不重合的直線l1、l2，若其斜率分別為k1、k2,則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2。(ⅱ)當(dāng)直線l1、l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1∥l2.②兩條直線垂直：（ⅰ)如果兩條直線l1、l2的斜率存在,設(shè)為k1、k2,則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1。（ⅱ）當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時(shí)，l1⊥l2.(2)兩條直線的交點(diǎn)直線l1:A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0)）的解．2．幾種距離(1）兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）之間的距離|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)。（2)點(diǎn)P0（x0,y0）到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f（|Ax0＋By0＋C|,\r（A2＋B2)).(3)兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0（其中C1≠C2)間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r（A2＋B2）)?！局R(shí)拓展】1．直線系方程（1）與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．（2）與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0（n∈R）．2．兩直線平行或重合的充要條件直線l1:A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要條件是A1B2－A2B1＝0.3．兩直線垂直的充要條件直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件是A1A2＋B1B2＝0。4．過(guò)直線l1:A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2）＝0（λ∈R），但不包括l2。5．點(diǎn)到直線與兩平行線間的距離的使用條件：(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，應(yīng)先化直線方程為一般式．(2）求兩平行線之間的距離時(shí)，應(yīng)先將方程化為一般式且x,y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√"或“×"）（1）當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時(shí)，一定有k1＝k2?l1∥l2。（×)（2）如果兩條直線l1與l2垂直,則它們的斜率之積一定等于－1.（×)(3）已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2為常數(shù))，若直線l1⊥l2，則A1A2＋B1B2＝0。(√）(4)點(diǎn)P(x0，y0）到直線y＝kx＋b的距離為eq\f(｜kx0＋b｜，\r(1＋k2))。（×)(5)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離．(√）（6)若點(diǎn)A，B關(guān)于直線l：y＝kx＋b(k≠0）對(duì)稱，則直線AB的斜率等于－eq\f(1,k)，且線段AB的中點(diǎn)在直線l上．（√)1．(2016·天津模擬)過(guò)點(diǎn)（1,0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是（)A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0答案A解析直線x－2y－2＝0可化為y＝eq\f（1,2）x－1，所以過(guò)點(diǎn)（1，0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程可設(shè)為y＝eq\f（1,2)x＋b,將點(diǎn)(1，0）代入得b＝－eq\f(1，2).所以所求直線方程為x－2y－1＝0.2．(教材改編)已知點(diǎn)（a，2）(a〉0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1,則a等于()A.eq\r(2） B．2－eq\r(2)C.eq\r(2）－1 D。eq\r(2）＋1答案C解析依題意得eq\f(|a－2＋3｜，\r（1＋1））＝1。解得a＝－1＋eq\r（2)或a＝－1－eq\r（2)?！遖〉0，∴a＝－1＋eq\r（2）.3．已知直線l過(guò)圓x2＋（y－3)2＝4的圓心，且與直線x＋y＋1＝0垂直，則l的方程是()A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0答案D解析圓x2＋（y－3)2＝4的圓心為點(diǎn)（0,3)，又因?yàn)橹本€l與直線x＋y＋1＝0垂直，所以直線l的斜率k＝1。由點(diǎn)斜式得直線l：y－3＝x－0，化簡(jiǎn)得x－y＋3＝0。4．(2017·朝陽(yáng)調(diào)研）已知過(guò)點(diǎn)A(－2，m)和點(diǎn)B（m，4）的直線為l1，直線2x＋y－1＝0為l2,直線x＋ny＋1＝0為l3，若l1∥l2，l2⊥l3，則實(shí)數(shù)m＋n的值為()A．－10B．－2C．0D．8答案A解析∵l1∥l2，∴kAB＝eq\f(4－m,m＋2）＝－2，解得m＝－8.又∵l2⊥l3，∴（－eq\f(1,n)）×（－2)＝－1,解得n＝－2，∴m＋n＝－10。5．（教材改編)若直線（3a＋2)x＋(1－4a）y＋8＝0與(5a－2）x＋（a＋4)y－7＝0垂直，則a＝________。答案0或1解析由兩直線垂直的充要條件，得（3a＋2)(5a－2)＋（1－4a）（a＋4）＝0,解得a＝0或a＝1.題型一兩條直線的平行與垂直例1（1）設(shè)不同直線l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0。則“m＝2”是“l(fā)1∥l2"的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件答案C解析當(dāng)m＝2時(shí),代入兩直線方程中，易知兩直線平行，即充分性成立．當(dāng)l1∥l2時(shí),顯然m≠0，從而有eq\f(2,m）＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但當(dāng)m＝－1時(shí),兩直線重合，不合要求，故必要性成立，故選C.(2)已知直線l1:ax＋2y＋6＝0和直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0。①試判斷l(xiāng)1與l2是否平行；②當(dāng)l1⊥l2時(shí)，求a的值．解①方法一當(dāng)a＝1時(shí)，l1:x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；當(dāng)a＝0時(shí)，l1：y＝－3,l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；當(dāng)a≠1且a≠0時(shí)，兩直線可化為l1：y＝－eq\f(a,2）x－3，l2：y＝eq\f（1,1－a)x－(a＋1),l1∥l2?eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(－\f（a，2)＝\f（1，1－a），，－3≠－a＋1，))解得a＝－1，綜上可知,a＝－1時(shí)，l1∥l2。方法二由A1B2－A2B1＝0,得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a（a2－1）－1×6≠0，∴l(xiāng)1∥l2?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa－1－1×2＝0,，aa2－1－1×6≠0，））?eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a－2＝0,，aa2－1≠6))?a＝－1，故當(dāng)a＝－1時(shí),l1∥l2.②方法一當(dāng)a＝1時(shí)，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1與l2不垂直，故a＝1不成立；當(dāng)a＝0時(shí)，l1:y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2；當(dāng)a≠1且a≠0時(shí)，l1：y＝－eq\f（a,2)x－3,l2：y＝eq\f(1,1－a)x－（a＋1)，由(－eq\f（a，2)）·eq\f（1，1－a)＝－1?a＝eq\f(2，3).方法二由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0?a＝eq\f(2，3）.思維升華(1）當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況,也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件．（2)在判斷兩直線平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．已知兩直線l1：x＋ysinα－1＝0和l2:2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：（1）l1∥l2；（2)l1⊥l2。解（1）方法一當(dāng)sinα＝0時(shí),直線l1的斜率不存在，l2的斜率為0，顯然l1不平行于l2.當(dāng)sinα≠0時(shí)，k1＝－eq\f（1，sinα)，k2＝－2sinα。要使l1∥l2，需－eq\f（1，sinα）＝－2sinα，即sinα＝±eq\f（\r（2），2)。所以α＝kπ±eq\f（π，4),k∈Z,此時(shí)兩直線的斜率相等．故當(dāng)α＝kπ±eq\f(π,4），k∈Z時(shí),l1∥l2。方法二由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，所以sinα＝±eq\f（\r（2)，2），所以α＝kπ±eq\f（π,4)，k∈Z。又B1C2－B2C1≠0,所以1＋sinα≠0,即sinα≠－1.故當(dāng)α＝kπ±eq\f(π,4)，k∈Z時(shí)，l1∥l2。(2）因?yàn)锳1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要條件，所以2sinα＋sinα＝0，即sinα＝0，所以α＝kπ,k∈Z。故當(dāng)α＝kπ，k∈Z時(shí)，l1⊥l2.題型二兩條直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題例2(1）(2016·長(zhǎng)沙模擬)求經(jīng)過(guò)兩條直線l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交點(diǎn)，且與直線2x－y－1＝0垂直的直線方程為_(kāi)_______________．(2)直線l過(guò)點(diǎn)P（－1,2)且到點(diǎn)A(2，3）和點(diǎn)B(－4,5)的距離相等，則直線l的方程為_(kāi)_______________．答案(1)x＋2y－7＝0(2）x＋3y－5＝0或x＝－1解析(1）由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4＝0，，x－y＋2＝0，））得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，，y＝3，））∴l(xiāng)1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）．設(shè)與直線2x－y－1＝0垂直的直線方程為x＋2y＋c＝0，則1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7?！嗨笾本€方程為x＋2y－7＝0.（2）方法一當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－2＝k（x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0。由題意知eq\f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1)）＝eq\f(｜－4k－5＋k＋2|，\r（k2＋1)），即｜3k－1｜＝｜－3k－3|，∴k＝－eq\f（1,3）。∴直線l的方程為y－2＝－eq\f（1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝－1，也符合題意．故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1。方法二當(dāng)AB∥l時(shí),有k＝kAB＝－eq\f（1,3），直線l的方程為y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.當(dāng)l過(guò)AB的中點(diǎn)時(shí)，AB的中點(diǎn)為（－1，4)．∴直線l的方程為x＝－1。故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.思維升華(1）求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程,先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫(xiě)出直線方程．(2)利用距離公式應(yīng)注意：①點(diǎn)P(x0,y0）到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x,y的系數(shù)化為相等．(1)如圖，設(shè)一直線過(guò)點(diǎn)(－1，1)，它被兩平行直線l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的線段的中點(diǎn)在直線l3：x－y－1＝0上,求其方程．解與l1、l2平行且距離相等的直線方程為x＋2y－2＝0.設(shè)所求直線方程為（x＋2y－2)＋λ（x－y－1）＝0,即（1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0。又直線過(guò)(－1,1），∴(1＋λ)（－1)＋（2－λ）·1－2－λ＝0.解得λ＝－eq\f(1，3).∴所求直線方程為2x＋7y－5＝0。（2）(2016·濟(jì)南模擬)若動(dòng)點(diǎn)P1(x1，y1),P2(x2，y2)分別在直線l1：x－y－5＝0,l2：x－y－15＝0上移動(dòng)，則P1P2的中點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離的最小值是（）A。eq\f（5,2）eq\r(2）B．5eq\r（2）C.eq\f（15,2）eq\r（2）D．15eq\r（2)答案B解析設(shè)P1P2的中點(diǎn)為P(x,y），則x＝eq\f(x1＋x2,2）,y＝eq\f（y1＋y2,2)?！選1－y1－5＝0，x2－y2－15＝0?！?x1＋x2）－（y1＋y2）＝20，即x－y＝10?！鄖＝x－10,∴P（x，x－10)，∴P到原點(diǎn)的距離d＝eq\r（x2＋x－102)＝eq\r（2x－52＋50)≥eq\r（50）＝5eq\r(2).題型三對(duì)稱問(wèn)題命題點(diǎn)1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱例3過(guò)點(diǎn)P（0，1)作直線l,使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為_(kāi)_______________．答案x＋4y－4＝0解析設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A（a,8－2a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(－a,2a－6）在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點(diǎn)A(4,0）在直線l上,所以直線l的方程為x＋4y－4＝0。命題點(diǎn)2點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱例4如圖，已知A(4，0)，B（0，4），從點(diǎn)P（2，0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn),則光線所經(jīng)過(guò)的路程是（）A．3eq\r（3）B．6C．2eq\r（10）D．2eq\r(5）答案C解析直線AB的方程為x＋y＝4，點(diǎn)P(2，0)關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為D(4,2），關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C（－2，0)．則光線經(jīng)過(guò)的路程為|CD｜＝eq\r（62＋22)＝2eq\r（10）。命題點(diǎn)3直線關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題例5（2016·泰安模擬）已知直線l：2x－3y＋1＝0，求直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m′的方程．解在直線m上任取一點(diǎn),如M(2,0)，則M（2,0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M′必在直線m′上．設(shè)對(duì)稱點(diǎn)M′(a，b)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（a＋2，2)))－3×\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(b＋0,2）））＋1＝0,,\f（b－0，a－2)×\f（2，3）＝－1,））解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝\f（6,13)，，b＝\f(30,13)，)）∴M′eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(6，13）,\f(30,13))).設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為N，則由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2x－3y＋1＝0，，3x－2y－6＝0，）)得N（4,3）．又∵m′經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(4,3)．∴由兩點(diǎn)式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.思維升華解決對(duì)稱問(wèn)題的方法(1）中心對(duì)稱①點(diǎn)P（x，y)關(guān)于Q（a，b）的對(duì)稱點(diǎn)P′（x′，y′)滿足eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x′＝2a－x,，y′＝2b－y。)）②直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)解決．（2)軸對(duì)稱①點(diǎn)A(a，b)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0（B≠0）的對(duì)稱點(diǎn)A′(m,n),則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（A，B）))＝－1，，A·\f(a＋m,2）＋B·\f(b＋n，2)＋C＝0。))②直線關(guān)于直線的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)解決．已知直線l：3x－y＋3＝0，求:(1)點(diǎn)P(4，5）關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)；（2）直線x－y－2＝0關(guān)于直線l對(duì)稱的直線方程;（3）直線l關(guān)于（1，2）的對(duì)稱直線．解（1）設(shè)P(x，y）關(guān)于直線l：3x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)為P′（x′，y′）,∵kPP′·kl＝－1，即eq\f（y′－y，x′－x）×3＝－1.①又PP′的中點(diǎn)在直線3x－y＋3＝0上，∴3×eq\f（x′＋x，2）－eq\f（y′＋y，2)＋3＝0。 ②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x′＝\f(－4x＋3y－9，5），③，y′＝\f(3x＋4y＋3，5）.④）)把x＝4，y＝5代入③④得x′＝－2，y′＝7，∴P(4，5)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（－2，7）．(2)用③④分別代換x－y－2＝0中的x,y，得關(guān)于l的對(duì)稱直線方程為eq\f(－4x＋3y－9,5）－eq\f(3x＋4y＋3,5）－2＝0，化簡(jiǎn)得7x＋y＋22＝0.（3)在直線l:3x－y＋3＝0上取點(diǎn)M(0,3）關(guān)于(1,2）的對(duì)稱點(diǎn)M′(x′，y′)，∴eq\f（x′＋0,2)＝1,x′＝2，eq\f(y′＋3，2）＝2,y′＝1,∴M′(2，1）．l關(guān)于（1，2）的對(duì)稱直線平行于l，∴k＝3，∴對(duì)稱直線方程為y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0。20．妙用直線系求直線方程一、平行直線系由于兩直線平行，它們的斜率相等或它們的斜率都不存在,因此兩直線平行時(shí)，它們的一次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)有必然的聯(lián)系．典例1求與直線3x＋4y＋1＝0平行且過(guò)點(diǎn)（1，2）的直線l的方程．思想方法指導(dǎo)因?yàn)樗笾本€與3x＋4y＋1＝0平行，因此，可設(shè)該直線方程為3x＋4y＋c＝0（c≠1)．規(guī)范解答解依題意，設(shè)所求直線方程為3x＋4y＋c＝0(c≠1)，又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)(1,2)，所以3×1＋4×2＋c＝0,解得c＝－11。因此，所求直線方程為3x＋4y－11＝0.二、垂直直線系由于直線A1x＋B1y＋C1＝0與A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件為A1A2＋B1B2＝0。因此，當(dāng)兩直線垂直時(shí)，它們的一次項(xiàng)系數(shù)有必要的關(guān)系．可以考慮用直線系方程求解．典例2求經(jīng)過(guò)A（2，1)，且與直線2x＋y－10＝0垂直的直線l的方程．思想方法指導(dǎo)依據(jù)兩直線垂直的特征設(shè)出方程，再由待定系數(shù)法求解．規(guī)范解答解因?yàn)樗笾本€與直線2x＋y－10＝0垂直，所以設(shè)該直線方程為x－2y＋C1＝0，又直線過(guò)點(diǎn)（2，1)，所以有2－2×1＋C1＝0,解得C1＝0，即所求直線方程為x－2y＝0.三、過(guò)直線交點(diǎn)的直線系典例3求經(jīng)過(guò)兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點(diǎn)P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程．思想方法指導(dǎo)可分別求出直線l1與l2的交點(diǎn)及直線l的斜率k，直接寫(xiě)出方程；也可以利用過(guò)交點(diǎn)的直線系方程設(shè)直線方程，再用待定系數(shù)法求解．規(guī)范解答解方法一解方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，，x＋y－2＝0，))得P（0，2)．因?yàn)閘3的斜率為eq\f(3,4），且l⊥l3,所以直線l的斜率為－eq\f（4,3)，由斜截式可知l的方程為y＝－eq\f(4,3）x＋2，即4x＋3y－6＝0.方法二設(shè)直線l的方程為x－2y＋4＋λ（x＋y－2）＝0，即(1＋λ）x＋（λ－2）y＋4－2λ＝0.又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ）＋（－4）×(λ－2)＝0,解得λ＝11.∴直線l的方程為4x＋3y－6＝0.1．設(shè)a∈R,則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1)y＋4＝0平行”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析（1）充分性：當(dāng)a＝1時(shí)，直線l1：x＋2y－1＝0與直線l2：x＋2y＋4＝0平行；（2）必要性：當(dāng)直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行時(shí)有a＝－2或1。所以“a＝1”是“直線l1:ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1)y＋4＝0平行"的充分不必要條件，故選A。2．（2016·濟(jì)南模擬)“m＝3”是“直線l1：2(m＋1）x＋(m－3）y＋7－5m＝0與直線l2：（m－3)x＋2y－5＝0垂直”的(）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析由l1⊥l2,得2(m＋1）（m－3)＋2(m－3）＝0，∴m＝3或m＝－2.∴m＝3是l1⊥l2的充分不必要條件．3．(2016·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)質(zhì)檢)從點(diǎn)（2,3）射出的光線沿與向量a＝(8,4)平行的直線射到y(tǒng)軸上，則反射光線所在的直線方程為(）A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0答案A解析由直線與向量a＝（8，4）平行知:過(guò)點(diǎn)（2，3)的直線的斜率k＝eq\f（1,2），所以直線的方程為y－3＝eq\f（1，2)（x－2),其與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），又點(diǎn)(2,3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為（－2，3），所以反射光線過(guò)點(diǎn)（－2，3）與（0，2），由兩點(diǎn)式知A正確．4．(2017·蘭州月考)一只蟲(chóng)子從點(diǎn)O（0，0)出發(fā)，先爬行到直線l:x－y＋1＝0上的P點(diǎn)，再?gòu)腜點(diǎn)出發(fā)爬行到點(diǎn)A（1,1），則蟲(chóng)子爬行的最短路程是（)A。eq\r（2)B．2C．3D．4答案B解析點(diǎn)O（0，0）關(guān)于直線x－y＋1＝0的對(duì)稱點(diǎn)為O′（－1，1)，則蟲(chóng)子爬行的最短路程為｜O′A｜＝eq\r（1＋12＋1－12)＝2。故選B。5．(2016·綿陽(yáng)模擬）若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點(diǎn)，則|PQ｜的最小值為（)A.eq\f（9，5)B.eq\f（18，5）C.eq\f(29,10)D。eq\f(29,5）答案C解析因?yàn)閑q\f（3,6)＝eq\f(4，8）≠eq\f（－12，5）,所以兩直線平行，由題意可知｜PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即eq\f（|－24－5|，\r(62＋82）)＝eq\f(29，10)，所以｜PQ|的最小值為eq\f（29,10),故選C。6．（2016·廈門(mén)模擬）將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0，2)與點(diǎn)(4,0)重合,點(diǎn)（7,3）與點(diǎn)（m，n）重合，則m＋n等于()A.eq\f(34,5)B。eq\f(36,5)C。eq\f(28，3)D。eq\f（32,3）答案A解析由題意可知，紙的折痕應(yīng)是點(diǎn)(0，2)與點(diǎn)(4，0)連線的中垂線，即直線y＝2x－3，它也是點(diǎn)(7,3）與點(diǎn)（m，n)連線的中垂線，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3＋n，2）＝2×\f(7＋m,2）－3，,\f（n－3，m－7）＝－\f(1，2）,)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（m＝\f（3，5），,n＝\f(31,5），))故m＋n＝eq\f（34，5），故選A。7．(2016·忻州訓(xùn)練)已知兩直線l1：ax－by＋4＝0和l2：（a－1)x＋y＋b＝0,若l1∥l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，則a＋b＝________。答案0或eq\f(8,3）解析由題意得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＋ba－1＝0,，\f(4,\r（a2＋－b2）)＝\f（｜b|,\r（a－12＋1））。））解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝2，,b＝－2)）或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝\f(2,3），,b＝2.)）經(jīng)檢驗(yàn)，兩種情況均符合題意,∴a＋b的值為0或eq\f（8，3）.8．已知直線l1：ax＋y－1＝0，直線l2：x－y－3＝0，若直線l1的傾斜角為eq\f（π，4)，則a＝________；若l1⊥l2，則a＝________；若l1∥l2，則兩平行直線間的距離為_(kāi)_______．答案－112eq\r(2）解析若直線l1的傾斜角為eq\f（π，4)，則－a＝k＝taneq\f(π,4）＝1，故a＝－1；若l1⊥l2，則a×1＋1×（－1）＝0，故a＝1；若l1∥l2，則a＝－1，l1：x－y＋1＝0，兩平行直線間的距離d＝eq\f(｜1－－3｜，\r(1＋1））＝2eq\r（2）。9.如圖，已知直線l1∥l2,點(diǎn)A是l1,l2之間的定點(diǎn)，點(diǎn)A到l1，l2之間的距離分別為3和2，點(diǎn)B是l2上的一動(dòng)點(diǎn),作AC⊥AB,且AC與l1交于點(diǎn)C，則△ABC的面積的最小值為_(kāi)_______．答案6解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于l1的直線為x軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)B(a，－2),C(b，3）．∵AC⊥AB,∴ab－6＝0,ab＝6，b＝eq\f(6，a）.Rt△ABC的面積S＝eq\f（1，2）eq\r（a2＋4)·eq\r（b2＋9)＝eq\f(1,2）eq\r（a2＋4）·eq\r(\f（36，a2）＋9)＝eq\f(1,2）eq\r（72＋9a2＋\f（144，a2)）≥eq\f(1，2)eq\r(72＋72)＝6.10．(2016·重慶模擬）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),到點(diǎn)A(1,2)，B(1，5),C(3,6）,D(7，－1)的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是________．答案（2，4）解析如圖，設(shè)平面直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)P，P到點(diǎn)A（1,2），B(1，5)，C（3,6),D（7，－1)的距離之和為｜PA｜＋|PB｜＋|PC|＋｜PD｜＝|PB|＋｜PD|＋｜PA｜＋|PC|≥|BD|＋|AC｜＝｜QA｜＋｜QB|＋|QC｜＋|QD｜，故四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)Q即為所求距離之和最小的點(diǎn)．∵A（1，2），B(1，5)，C（3，6)，D（7，－1），∴直線AC的方程為y－2＝2(x－1)，直線BD的方程為y－5＝－（x－1)．由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y－2＝2x－1，,y－5＝－x－1，)）得Q(2，4)．11．已知方程(2＋λ）x－(1＋λ）y－2（3＋2λ）＝0與點(diǎn)P（－2,2）．（1）證明:對(duì)任意的實(shí)數(shù)λ，該方程都表示直線，且這些直線都經(jīng)過(guò)同一定點(diǎn)，并求出這一定點(diǎn)的坐標(biāo);(2)證明：該方程表示的直線與點(diǎn)P的距離d小于4eq\r（2）.證明(1）顯然2＋λ與－(1＋λ）不可能同時(shí)為零，故對(duì)任意的實(shí)數(shù)λ，該方程都表示直線．∵方程可變形為2x－y－6＋λ（x－y－4）＝0，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2x－y－6＝0，，x－y－4＝0，))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝2,，y＝－2，)）故直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為M（2，－2)．（2)過(guò)P作直線的垂線段PQ，由垂線段小于斜線段知｜PQ|≤|PM|，當(dāng)且僅當(dāng)Q與M重合時(shí)，｜PQ｜＝｜PM｜，此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.但直線系方程唯獨(dú)不能表示直線x－y－4＝0，∴M與Q不可能重合，而｜PM｜＝4eq\r(2），∴|PQ|<4eq\r(2），故所證成立．12．（2016·北京朝陽(yáng)區(qū)模擬）已知△ABC的頂點(diǎn)A（5，1),AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0,AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，求直線BC的方程．解依題意知：kAC＝－2，A(5，1），∴l(xiāng)AC為2x＋y－11＝0,聯(lián)立lAC、lCM得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2x＋y－11＝0，,2x－y－5＝0,））∴C（4，3)．設(shè)B（x0，y0)，AB的中點(diǎn)M為（eq\f(x0＋5,2），eq\f（y0＋1,2）），代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2x0