2018版高中數(shù)學(xué)小問題集中營專題1.5深化點(diǎn)對(duì)號(hào)函數(shù)的應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE11-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精問題5深化點(diǎn)對(duì)號(hào)函數(shù)的應(yīng)用一、問題的提出在不等式恒成立和有解問題中會(huì)涉及到利用對(duì)號(hào)函數(shù)求最值問題，所以掌握對(duì)號(hào)函數(shù)圖象和性質(zhì)至關(guān)重要，本文列舉了對(duì)號(hào)函數(shù)的應(yīng)用，以饗讀者.二、問題的探源（1）對(duì)勾函數(shù)的定義形如的函數(shù)，叫做對(duì)勾函數(shù).（2)對(duì)勾函數(shù)的圖象與性質(zhì)定義域值域當(dāng)時(shí)，(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）.當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）。函數(shù)的值域?yàn)椤Ｆ媾夹杂捎陔p勾函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，則對(duì)勾函數(shù)為奇函數(shù)。單調(diào)性由于，令,解得或，令，解得或,所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).漸近線當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，說明函數(shù)的的圖象在第一、第三象限。當(dāng)時(shí)，，說明函數(shù)在第一象限的圖象在直線的上方，當(dāng)時(shí)，，說明函數(shù)在第三象限的圖象在直線的下方.雙勾函數(shù)就是以軸和直線為漸近線的雙曲線.特別時(shí)，，函數(shù)圖象如下圖所示:三、問題的佐證(一)恒成立問題中的對(duì)號(hào)函數(shù)問題例1。若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C(二）有解問題中的對(duì)號(hào)函數(shù)問題例2.若二次不等式在區(qū)間[2,5］上有解，則的取值范圍是A.B.C。D?！敬鸢浮緼【解析】關(guān)于不等式在上有解,所以在上有解，即在上有解，設(shè)，所以恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減函數(shù),所以函數(shù)的值域?yàn)?，所以，故選A。(三）對(duì)號(hào)函數(shù)在數(shù)列最值問題中的應(yīng)用數(shù)列滿足，則的最小值為__________．【答案】21四、問題的解決1。已知，，則（）A．B．C．D．【答案】A2.已知，則有(）A。最大值B.最小值C。最大值2D。最小值2【答案】D【解析】依題意，類比對(duì)鉤函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng),即時(shí)，函數(shù)取得最小值為.3。已知x>0，則的最大值為________．【答案】【解析】∵x〉0∴當(dāng)且僅當(dāng)即x=2時(shí)取等號(hào)故的最大值為故答案為：。4.已知函數(shù),，則的最小值是__________．【答案】【解析】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值是，故答案為.5．要制作一個(gè)容積為4m3，高為1m的無蓋長(zhǎng)方體容器.已知該容器的底面造價(jià)是每平方米200元，側(cè)面造價(jià)是每平方米100元，則該容器的最低總造價(jià)是________元。【答案】16006．已知函數(shù)，，.（1）求實(shí)數(shù)的值；(2）若函數(shù)，求的最小值并指出此時(shí)的取值?！窘馕觥浚?）得到b=1，c=7;（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．7．函數(shù)的最大值為______【答案】【解析】設(shè)即求函數(shù)在[1,2]上的最大值函數(shù)為對(duì)勾函數(shù)，在上單調(diào)遞減。所以當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)取到最大值，即8．已知，且,若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】9。已知，若對(duì)所有的均成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：由題易知,令，,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以，即.10。某工廠去年的某產(chǎn)品的年產(chǎn)量為100萬只,每只產(chǎn)品的銷售價(jià)為10元，固定成本為8元．今年，工廠第一次投入100萬元（科技成本），并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬元（科技成本)，預(yù)計(jì)產(chǎn)量年遞增10萬只，第次投入后，每只產(chǎn)品的固定成本為（為常數(shù),且），若產(chǎn)品銷售價(jià)保持不變，第次投入后的年利潤(rùn)為萬元．（1）求的值，并求出的表達(dá)式；（2）問從今年算起第幾年利潤(rùn)最高?最高利潤(rùn)為多少萬元?解：（1）由,當(dāng)時(shí)，由題意，可得，所以（2)由當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以第8年工廠的利潤(rùn)最高，最高為520萬元。11.已知在區(qū)間單調(diào)遞增，求的取值范圍。解：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間顯然單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，結(jié)合的圖像與性質(zhì)，可知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,所以，所以綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.12。求函數(shù)的值域.解：，令,則，結(jié)合圖像與性質(zhì),可知當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以13．已知函數(shù)f（x）＝,其中x∈［2，＋∞）．（1)求f(x）的最小值；(2）若f(x)＞a恒成立，求a的取值范圍．(2）∵f(x）的最小值為，∴f(x）＞a恒成立，只需f(x）min＞a，即a＜。故a