用解析法進(jìn)行機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析

機(jī)構(gòu)中的桿可用矢量來表示，而矢量又可用復(fù)數(shù)表示。=r=r(cosθ+isinθ)（歐拉公式）對(duì)上式求導(dǎo)，可用來速度分析：()=(r)i+其中：為ω；對(duì)于定長(zhǎng)矢量，為0，對(duì)于變長(zhǎng)矢量，表示相對(duì)移動(dòng)速度。對(duì)上式再求導(dǎo)，可用來加速度分析：()=-(r2)+(r)i+(2)i+物理意義：rω2

(向心)rα(切向)ar(相對(duì))2ωV(哥氏加速度ak)第1頁/共31頁第一頁，共32頁。

下面以圖示的鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)為例來詳細(xì)推導(dǎo)位移、速度、加速度方程：已知：桿長(zhǎng)L1，L2，L3，L4，θ1，ω1。求：θ2，，，θ3

，，

解：建立如圖所示直角坐標(biāo)系，并將以，，，分別表示各桿的向量，則向量方程式為：+=+用復(fù)數(shù)表示為：+=+（*）

按歐拉公式展開：

(cosθ1+isinθ1)+(cosθ2+isinθ2)=(cosθ3+isinθ3)+

各桿以矢量形式表示出來。為方便起見，取x軸與機(jī)架重合且L4的方向沿x軸正向。

第2頁/共31頁第二頁，共32頁。分離虛、實(shí)部：cosθ1

+cosθ2

=

cosθ3+

sinθ1

+

sinθ2

=

sinθ3

令a=－cosθ1，b=sinθ1，則：

cosθ2=cosθ3+asinθ2=

sinθ3－b(1)(2)(1)2+(2)2

得：

2=(cosθ3

+a)2+(sinθ3－b)2整理得方程：Asinθ3+Bcosθ3+C=0(3)(cosθ1+isinθ1)+(cosθ2+isinθ2)=(cosθ3+isinθ3)+

其中：A=2b，B=－2a，

C=2－

2

－

2

－

2+2cosθ1第3頁/共31頁第三頁，共32頁。令：t=tg，則：代入(3)式，整理得：(C－B)t2+2At+(B+C)=0t1、2=

∴θ3=2arctg

t1、2

=2arctg

同理可求θ2=？Asinθ3+Bcosθ3+C=0(3)cosθ3=（1－t2）/(1+t2)sinθ3

=2t/(1+t2)第4頁/共31頁第四頁，共32頁。說明：1）“±”——取決于機(jī)構(gòu)的初始安裝模式：“+”號(hào)適用于圖示機(jī)構(gòu)ABCD位置的安裝方案；“-”號(hào)適用于機(jī)構(gòu)ABC′D位置的安裝方案。2）θ31、θ32——取決于從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性：

若|θ31－θ3|<|θ32－θ3|（θ3為前一個(gè)位置計(jì)算出來的值），則取當(dāng)前的θ3=θ31，否則取θ3=θ32。3）若A2+B2-C2<0（如θ1=120°代入時(shí)），即沒有θ3，說明機(jī)構(gòu)不能運(yùn)動(dòng)到此位置——可用來判斷機(jī)構(gòu)的可動(dòng)范圍。

θ3=2arctg

t1、2

=2arctg

第5頁/共31頁第五頁，共32頁。速度分析：

對(duì)（*）式求導(dǎo)：

()i+()i=()i歐拉公式展開：i(cosθ1+isinθ1)+i(cosθ2+isinθ2)=i(cosθ3+isinθ3)(**)分離虛、實(shí)部：-sinθ2+sinθ3=

sinθ1cosθ2-cosθ3=

-cosθ1解得：=?=?加速度分析：對(duì)（**）式再求導(dǎo)，可解得:=?=?

通過上述對(duì)四桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析的求解可見，用解析法作機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析的關(guān)鍵是位置方程的建立和求解，至于速度和加速度分析只不過是其位置方程對(duì)時(shí)間t求一次、二次導(dǎo)數(shù)。+=+（*）

第6頁/共31頁第六頁，共32頁。二、桿組法

一）基本思路

由機(jī)構(gòu)組成原理可知，任何平面機(jī)構(gòu)都可以分解為原動(dòng)件、機(jī)架和若干個(gè)桿組。因此，我們只要分別對(duì)原動(dòng)件和常見的基本桿組進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析并編成相應(yīng)的子程序，那么在對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析時(shí)，就可以根據(jù)機(jī)構(gòu)組成情況的不同，依次調(diào)用這些子程序，從而完成對(duì)整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析，這就是桿組法的基本思路。桿組法的主要特點(diǎn)：

不要針對(duì)每一個(gè)具體的機(jī)構(gòu)列方程，而是對(duì)組成機(jī)構(gòu)的桿組列方程（桿組的類型是有限的，可先編好子程序）。所以此法具有較大的通用性和適用性，且簡(jiǎn)便。但采用此法的前提條件是要利用計(jì)算機(jī)。二）桿組法運(yùn)動(dòng)分析的數(shù)學(xué)模型第7頁/共31頁第七頁，共32頁。1、構(gòu)件（或原動(dòng)件）的運(yùn)動(dòng)分析——同一構(gòu)件上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分析

已知該構(gòu)件上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)（位置、速度、加速度），構(gòu)件的角位置、角速度、角加速度，以及已知點(diǎn)到所求點(diǎn)的距離。求同一構(gòu)件上任意點(diǎn)的位置、速度、加速度。

如圖b-1所示的構(gòu)件AB，已知：運(yùn)動(dòng)副A的（xA、yA、、、、）和構(gòu)件AB的（、、）及AB的長(zhǎng)度Li。求B點(diǎn)的（xB、yB、、、、）。圖b-1▲這種運(yùn)動(dòng)分析常用于求解原動(dòng)件（Ⅰ級(jí)機(jī)構(gòu)）、連桿和搖桿上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。第8頁/共31頁第八頁，共32頁。圖b-11）位置分析：=+投影：xB

=xA+Licos

yB

=yA+Lisin2）速度、加速度分析：

上式對(duì)t求導(dǎo)，得：=-Lisin=+Licos

對(duì)時(shí)間t再求導(dǎo)，得：=？

=？

若A為固定轉(zhuǎn)動(dòng)副，即xA、yA為常數(shù)，則、、、為0，此時(shí)構(gòu)件AB和機(jī)架組成Ⅰ級(jí)機(jī)構(gòu)（即AB為原動(dòng)件）。第9頁/共31頁第九頁，共32頁。2、桿組的運(yùn)動(dòng)分析

在生產(chǎn)實(shí)際中，應(yīng)用最多的是Ⅱ級(jí)機(jī)構(gòu)，Ⅲ、Ⅳ級(jí)機(jī)構(gòu)應(yīng)用較少，在此只討論Ⅱ級(jí)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析問題。

Ⅱ級(jí)機(jī)構(gòu)是Ⅰ級(jí)機(jī)構(gòu)+Ⅱ級(jí)桿組組成的，Ⅱ級(jí)桿組只有5種基本類型。下面分別對(duì)各種桿組進(jìn)行分析。第10頁/共31頁第十頁，共32頁。1）RRRⅡ級(jí)桿組：由2個(gè)外轉(zhuǎn)動(dòng)副、1個(gè)內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)副和2個(gè)構(gòu)件組成

如圖b-2所示，已知桿長(zhǎng)Li、Lj，兩個(gè)外運(yùn)動(dòng)副B、D的位置（xB、yB、xD、yD），速度（、、、）和加速度（、、、）。

求：內(nèi)運(yùn)動(dòng)副C的位置（xC、yC）、速度（、）、加速度（、）以及兩桿的角位置（、）、角速度（、）、角加速度（、）。圖b-2第11頁/共31頁第十一頁，共32頁。①位置方程：=+=+投影：xC

=xB

+Licos=xD

+Ljcos（*）

yC

=yB

+Lisin=yD

+Ljsin（*）解得：、=？注意：有兩解，根號(hào)前的“±”號(hào)與初始安裝方式有關(guān)，B、C、D三副順時(shí)針排列取“+”，逆時(shí)針排列取“-”。圖b-2②速度方程：對(duì)(*)式求導(dǎo)，得：、=？則C點(diǎn)的速度：

=-Lisin=+Licos③加速度方程：對(duì)(*)式兩次求導(dǎo)，得：、=？則C點(diǎn)的加速度：

=-Lisin-2Licos=+Licos-2Lisin第12頁/共31頁第十二頁，共32頁。2）RRPⅡ級(jí)桿組：由1個(gè)外轉(zhuǎn)動(dòng)副、1個(gè)內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)副、1個(gè)外移動(dòng)副和2個(gè)構(gòu)件組成

如圖b-3，已知：Li、Lj（Lj桿垂直導(dǎo)路），外轉(zhuǎn)動(dòng)副B的參數(shù)（xB、yB、、、、），滑塊導(dǎo)路方向角和計(jì)算位移s時(shí)參考點(diǎn)K的位置（xK、yK），若導(dǎo)路運(yùn)動(dòng)（如導(dǎo)桿），還必須給出K點(diǎn)和導(dǎo)路的運(yùn)動(dòng)參數(shù)（xK、yK、、、、、、、）。求：內(nèi)副C的運(yùn)動(dòng)參數(shù)（xC、yC、、、、）。圖b-3第13頁/共31頁第十三頁，共32頁。①位置方程：=+=++投影：xC

=xB

+Licos=xK

+scos-

Ljcos（**）

yC

=yB

+Lisin=yK

+ssin+Ljsin（**）消去s，解得：=？圖b-3代入（**）得：xC、yC

、s=？則滑塊D點(diǎn)的位置方程：

xD

=xK

+scos=？

yD

=yK

+ssin=?第14頁/共31頁第十四頁，共32頁。②速度方程：對(duì)(**)式求導(dǎo)，得：、=？則C點(diǎn)的速度：

=-Lisin=+Licos外副D點(diǎn)的速度：=+cos-

ssin=+sin+scosxC

=xB

+Licos=xK

+scos-

Ljcos（**）

yC

=yB

+Lisin=yK

+ssin+Ljsin（**）圖b-3第15頁/共31頁第十五頁，共32頁。③加速度方程：對(duì)(**)式兩次求導(dǎo)，得：、=？則C點(diǎn)的加速度：

=-Lisin-2Licos=+Licos-2LisinxC

=xB

+Licos=xK

+scos-

Ljcos（**）

yC

=yB

+Lisin=yK

+ssin+Ljsin（**）外副D點(diǎn)的加速度：

=+cos-

ssin-s2cos-2

sin=+sin+scos-

s2sin+2

cos第16頁/共31頁第十六頁，共32頁。3）RPRⅡ級(jí)桿組：由2個(gè)外轉(zhuǎn)動(dòng)副、1個(gè)內(nèi)移動(dòng)副和2個(gè)構(gòu)件組成

如圖b-4，已知：Li、Lj、Lk（Li、Lk桿垂直導(dǎo)路），兩外轉(zhuǎn)動(dòng)副B、D的參數(shù)（xB、yB、、、、、xD、yD、、、、）。

求：內(nèi)副C的運(yùn)動(dòng)參數(shù)（xC、yC、、、、），構(gòu)件上E點(diǎn)的參數(shù)（xE、yE、、、、），構(gòu)件Lj的參數(shù)（、、）。圖b-4第17頁/共31頁第十七頁，共32頁。①位置方程：=+=++投影：xC

=xB

-

Licos=xD

+Lksin+scos（***）

yC

=yB

-

Lisin=yD

-

Lkcos+ssin（***）解得：s

、=？代入（***）得：xC、yC=？導(dǎo)桿上E點(diǎn)的位置方程：

xE

=xC

+（Lj-s）cos=？

yE

=yC

+（Lj-s）sin=?圖b-4第18頁/共31頁第十八頁，共32頁。xC

=xB

-

Licos=xD

+Lksin+scos（***）

yC

=yB

-

Lisin=yD

-

Lkcos+ssin（***）②速度方程：對(duì)(***)式求導(dǎo)，得：、=？則C點(diǎn)的速度：

=-Lisin=-

LicosE點(diǎn)的速度：=-(Ljsin-

Lkcos)=+(Ljcos+Lksin)圖b-4第19頁/共31頁第十九頁，共32頁。xC

=xB

-

Licos=xD

+Lksin+scos（***）

yC

=yB

-

Lisin=yD

-

Lkcos+ssin（***）③加速度方程：對(duì)(***)式兩次求導(dǎo)，得：、=？則C點(diǎn)的加速度：

=-Licos+2Lisin=-

Lisin-2LicosE點(diǎn)的加速度：

=-(Ljsin-

Lkcos)-2(Ljcos+Lksin)=+(Ljcos+Lksin)-2(Ljsin-

Lkcos)圖b-4第20頁/共31頁第二十頁，共32頁。4）RPPⅡ級(jí)桿組：由1個(gè)外轉(zhuǎn)動(dòng)副、1個(gè)內(nèi)移動(dòng)副、1個(gè)外移動(dòng)副和2個(gè)構(gòu)件組成

如圖b-5，已知：BC長(zhǎng)為L(zhǎng)i（B、C、D順時(shí)針為“+”，逆時(shí)針為“-”），外轉(zhuǎn)動(dòng)副B的參數(shù)（xB、yB、、、、），參考點(diǎn)K（xK、yK

、、、、），滑塊D的導(dǎo)路與x軸夾角、、，滑塊C和D兩導(dǎo)路之間夾角δ。

求：滑塊C的運(yùn)動(dòng)參數(shù)（、、、xC、yC、、、、）和滑塊D的參數(shù)（、、、xD、yD、、、、）。圖b-5B第21頁/共31頁第二十一頁，共32頁。①位置方程：內(nèi)副C點(diǎn)：xC

=xB

+Lisin(+δ)

yC

=yB

-

Licos(+δ)滑塊D點(diǎn)：

xD

=xK

+cos=xC

–cos(+δ)（****）

yD=yK

+sin=yC

–sin(+δ)（****）圖b-5解得：、=？

xD、yD=？B第22頁/共31頁第二十二頁，共32頁。xD

=xK

+cos=xC

–cos(+δ)（****）

yD=yK

+sin=yC

–sin(+δ)（****）②速度方程：對(duì)(****)式求導(dǎo)，得：、=？C點(diǎn)的速度：

=+Licos(+δ)=+

Lisin(+δ)得D點(diǎn)速度：、=？圖b-5B第23頁/共31頁第二十三頁，共32頁。③加速度方程：對(duì)(****)式兩次求導(dǎo)，得：、=？C點(diǎn)的加速度：

=+Licos(+δ)-

2Lisin(+δ)=+

Lisin(+δ)+2Licos(+δ)xD

=xK

+cos=xC

–cos(+δ)（****）

yD=yK

+sin=yC

–sin(+δ)（****）得D點(diǎn)加速度：、=？第24頁/共31頁第二十四頁，共32頁。5）PRPⅡ級(jí)桿組：由2個(gè)外移動(dòng)副、1個(gè)內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)副和2個(gè)構(gòu)件組成

如圖b-6，已知：兩桿長(zhǎng)為L(zhǎng)i、Lj，兩移動(dòng)副導(dǎo)路有關(guān)參數(shù)（、、、、、），參考點(diǎn)Ki、Kj的運(yùn)動(dòng)參數(shù)（xKi、yKi

、、、、；xKj、yKj

、、、、）。

求：滑塊相對(duì)于參考點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)（、、、、、）和內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)副C的參數(shù)（xC、yC、、、、）圖b-6第25頁/共31頁第二十五頁，共32頁。①位置方程：內(nèi)副C點(diǎn)：

xC

=xKi+cos-

Lisin=xKj+cos-

Ljsin（*****）

yC

=yKi+sin+Licos=yKj+sin+Ljcos（*****）解得：、=？

xC、yC=？滑塊B點(diǎn)：xB=xKi+cos

yB=yKi+sin滑塊D點(diǎn)：xD=xKj+cos

yD=yKj+sin圖b-6第26頁/共31頁第二十六頁，共32頁。xC

=xKi+cos-

Lisin=xKj+cos-

Ljsin（*****）

yC

=yKi+sin+Licos=yKj+sin+Ljcos（*****）②速度方程：對(duì)(*****)式求導(dǎo)，得：、=？C點(diǎn)速度：、=？B點(diǎn)速度：、