【北師大版】高三數(shù)學(xué)一輪課時(shí)作業(yè)【15】

匠心文檔，專(zhuān)屬精選。課時(shí)作業(yè)15導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用一、選擇題(每題5分，共40分)12，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)是()1．已知f(x)＝2x－cosx，x∈[－1,1]A．僅有最小值的奇函數(shù)B．既有最大值，又有最小值的偶函數(shù)C．僅有最大值的偶函數(shù)D．既有最大值，又有最小值的奇函數(shù)分析：f′(x)＝x＋sinx，明顯f′(x)是奇函數(shù)，令h(x)＝f′(x)，則h(x)＝x＋sinx，求導(dǎo)得h′(x)＝1＋cosx.當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，h′(x)>0，所以h(x)在[－1,1]上單調(diào)遞加，有最大值和最小值．所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函數(shù)．答案：D2．函數(shù)f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍為()A．0≤a<1B．0<a<11C．－1<a<1D．0<a<2分析：∵y′＝3x2－3a，令y′＝0，可得：a＝x2.又∵x∈(0,1)，0<a<1.答案：B3．已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0時(shí)，f′(x)>0，g′(x)>0，則x<0時(shí)()A．f′(x)>0，g′(x)>0B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0D．f′(x)<0，g′(x)<0匠心教育文檔系列1匠心文檔，專(zhuān)屬精選。分析：由題意知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)，g(x)都單調(diào)遞加，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)單調(diào)遞加，g(x)單調(diào)遞減，即f′(x)>0，g′(x)<0.答案：B4．從邊長(zhǎng)為10cm×16cm的矩形紙板的四角截去四個(gè)同樣的小正方形，作成一個(gè)無(wú)蓋的盒子，則盒子容積的最大值為()A．12cm3B．72cm3C．144cm3D．160cm3分析：設(shè)盒子容積為ycm3，盒子的高為xcm，則x∈(0,5)．則y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x，y′＝12x2－104x＋160.令y′＝0，得x＝2或203(舍去)，ymax＝6×12×2＝144(cm3)．答案：C5．(2013·湖北，10)已知a為常數(shù)，函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x212，則()(x<x)11A．f(x1)>0，f(x2)>－2B．f(x1)<0，f(x2)<－211C．f(x1)>0，f(x2)<－2D．f(x1)<0，f(x2)>－2分析：f′(x)＝lnx－2ax＋1，lnx－2ax＋1＝0(x>0)即lnx＋1＝2a在(0，＋∞)上有兩個(gè)不一樣根x1，x2，令xg(x)＝lnx＋1－lnxx(x>0)，g′(x)＝2，則0<x<1時(shí)，g′(x)>0；x>1x時(shí)，g′(x)<0.則x＝1時(shí)，g(x)max＝1，x→0時(shí)，g(x)<0；x→＋∞，g(x)>0.1因直線(xiàn)y＝2a與y＝g(x)(x>0)圖像有不一樣交點(diǎn)，則0<2a<1,0<a<2，匠心教育文檔系列2匠心文檔，專(zhuān)屬精選。又在(x1,1)上g(x)為增函數(shù)，f(x1)<f(1)＝－a<0；1在(1，x2)上f(x)為增函數(shù)，f(x2)>f(1)＝－a>－2，應(yīng)選D.答案：D．若f(x)＝lnx，e<a<b，則()6xA．f(a)>f(b)B．f(a)＝f(b)C．f(a)<f(b)D．f(a)f(b)>11－lnx分析：f′(x)＝x2，當(dāng)x>e時(shí)，f′(x)<0，則f(x)在(e，＋∞)上為減函數(shù)，f(a)>f(b)，應(yīng)選A.答案：A．·遼寧，設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足2′＋x2f(x)(x)2xf(x)＝e，f(2)＝e，7(201312)x.fx8則x>0時(shí)，f(x)()A．有極大值，無(wú)極小值B．有極小值，無(wú)極大值C．既有極大值又有極小值D．既無(wú)極大值也無(wú)極小值exgx分析：令g(x)＝x2f(x)，則g′(x)＝x，f(x)＝x2，所以f′(x)＝x－2gx－2x.h(x)e(x)h(2)0h(x)＝ex－2g(x)在(0,2)上遞減，在(2，＋∞)上遞加，所以h(x)>0，即e2－2g(x)>0，所以f′(x)>0，即f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞加，選D.答案：D8．(2014·新余模擬)函數(shù)f(x)的定義域是R，f(0)＝2，對(duì)任意x∈R，匠心教育文檔系列3匠心文檔，專(zhuān)屬精選。f(x)＋′(x)>1，則不等式x·x＋1的解集為()fef(x)>eA．{x|x>0}B．{x|x<0}C．{x|x<－1或x>1}D．{x|x<－1或0<x<1}分析：構(gòu)造函數(shù)g(x)＝ex·－x，由于g′(x)＝ex·＋x·′(x)f(x)ef(x)efex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex為R上的增函數(shù)，又由于g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式轉(zhuǎn)變成g(x)>g(0)，解得x>0.答案：A二、填空題(每題5分，共15分)9．直線(xiàn)y＝a與函數(shù)f(x)＝x3－3x的圖像有相異的三個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．分析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可得極大值為f(－1)＝2，極小值為f(1)＝－2，如圖，觀(guān)察得－2<a<2時(shí)恰有三個(gè)不一樣的公共點(diǎn)．答案：(－2,2)10．(2014·泰州調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝x＋asinx在R上遞加，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．分析：∵f′(x)＝1＋acosx，∴要使函數(shù)f(x)＝x＋asinx在R上遞增，則1＋acosx≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立．∵－1≤cosx≤1，①當(dāng)a>0時(shí)，－a≤acosx≤a，∴－a≥－1，∴0<a≤1；②當(dāng)a＝0時(shí)合適；匠心教育文檔系列4匠心文檔，專(zhuān)屬精選。③當(dāng)a<0時(shí)，a≤acosx≤－a，a≥－1，∴－1≤a<0.綜上，－1≤a≤1.答案：[－1,1]π11．(2014·黑龍江哈爾濱一模，13)函數(shù)y＝x＋2cosx在區(qū)間[0，2]上的最大值是________．分析：y′＝1－2sinx，令y′＝0，ππ且x∈[0，2]，得x＝6，π則x∈[0，6)時(shí)，y′>0；πππππx∈(6，2]時(shí)，y′<0，故函數(shù)在[0，6)上遞加，在(6，2]上遞減，ππ所以當(dāng)x＝6時(shí)，函數(shù)取最大值，為6＋3.π答案：6＋3三、解答題(共3小題，每題15分，共45分．解答寫(xiě)出必需的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)12．某分公司經(jīng)銷(xiāo)某品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，而且每件產(chǎn)品需向總公司交a元(3≤a≤5)的管理費(fèi)，估計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元(9≤x≤11)時(shí)，一年的銷(xiāo)售量為(12－x)2萬(wàn)件．(1)求分公司一年的利潤(rùn)L(萬(wàn)元)與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，并求出L的最大值Q(a)．解：(1)分公司一年的利潤(rùn)L(萬(wàn)元)與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為：L＝匠心教育文檔系列5匠心文檔，專(zhuān)屬精選。(x－3－a)(12－x)2，x∈[9,11]．(2)L′(x)＝(12－x)(18＋2a－3x)．2令L′＝0，得x＝6＋3a或12(不合題意，舍去)．283≤a≤5，∴8≤6＋3a≤3.2在x＝6＋3a雙側(cè)L′的值由正變負(fù)．29∴①當(dāng)8≤6＋3a<9，即3≤a<2時(shí)，Lmax＝L(9)＝(9－3－a)(12－9)2＝9(6－a)．2289②當(dāng)9≤6＋3a≤3，即2≤a≤5時(shí)，222213.Lmax＝L(6＋3a)＝(6＋3a－3－a)[12－(6＋3a)]＝4(3－3a)996－a，3≤a<2，Q(a)＝43－13a3，92≤a≤5.9故若3≤a<2，則當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，92最大值Q(a)＝9(6－a)(萬(wàn)元)；若2≤a≤5，則當(dāng)每件售價(jià)為(6＋3a)元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)L最大，最大值Q(a)＝4(3－13a)3(萬(wàn)元)．13．(2014·溫州五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1處獲得極值．(1)求函數(shù)f(x)的分析式；(2)若過(guò)點(diǎn)A(1，m)(m≠－2)，可作曲線(xiàn)y＝f(x)的三條切線(xiàn)，務(wù)實(shí)數(shù)m的取值范圍．匠心教育文檔系列6匠心文檔，專(zhuān)屬精選。解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依題意，f′(1)＝f′(－1)＝0，即3a＋2b－3＝0，解得a＝1，b＝0.3a－2b－3＝0，f(x)＝x3－3x.(2)由(1)知f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∵曲線(xiàn)方程為y＝x3－3x，∴點(diǎn)A(1，m)(m≠－2)不在曲線(xiàn)上．設(shè)切點(diǎn)為M(x0，y0)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿(mǎn)足y0＝x03－3x0.∵f′(x0)＝3(x02－1)，∴切線(xiàn)的斜率為3(x02－1)＝x03－3x0－mx0－1，整理得2x30－3x20＋m＋3＝0.∵過(guò)點(diǎn)A(1，m)可作曲線(xiàn)的三條切線(xiàn)，∴關(guān)于x0的方程2x30－3x20＋m＋3＝0有三個(gè)實(shí)根．設(shè)g(x0)＝2x03－3x20＋m＋3，則g′(x0)＝6x20－6x0，由g′(x0)＝0，得x0＝0或1.g(x0)在(－∞，0)和(1，＋∞)上單調(diào)遞加，在(0,1)上單調(diào)遞減．∴函數(shù)g(x0)＝2x30－3x20＋m＋3的極值點(diǎn)為x0＝0和1.∴關(guān)于x0的方程2x30－3x02＋m＋3＝0有三個(gè)實(shí)根的充要條件是g0>0，解得－3<m<－2.g1<0，故所務(wù)實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－3，－2)．．已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋bxx<1，在x＝0，x＝2處存在14cex1－1x≥13極值．匠心教育文檔系列7匠心文檔，專(zhuān)屬精選。(1)務(wù)實(shí)數(shù)a，b的值；(2)當(dāng)c＝e時(shí)，談?wù)撽P(guān)于x的方程f(x)＝kx(k∈R)的實(shí)根個(gè)數(shù)．分析：(1)當(dāng)x<1時(shí)，f′(x)＝－3x2＋2ax＋b.由于函數(shù)f(x)在x＝0，x＝2處存在極值，所以f′0＝0，23f′3＝0，解得a＝1，b＝0.(2)由方程f(x)＝kx，－x3＋x2x<1，知kx＝ex－ex≥1，由于0必定是方程的根，所以?xún)H就x≠0時(shí)進(jìn)行研究：x2＋xx<1且x≠0，方程等價(jià)于k＝ex－exx≥1.－x2＋xx<1且x≠0，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝ex－exx≥1，關(guān)于x<1且x≠0部分，函數(shù)g(x)＝－