映射與函數(shù)課程學(xué)習(xí)

高等數(shù)學(xué)聯(lián)系地點(diǎn)長春工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)學(xué)院電子郵件qinxiwen@第1頁/共49頁第一頁，共50頁。

初等數(shù)學(xué)研究對象：常量初等方法：有限的方法初等數(shù)學(xué)是用有限的方法研究常量的數(shù)學(xué)

高等數(shù)學(xué)

研究對象：變量（函數(shù)）

研究方法：極限的方法

高等數(shù)學(xué)是用極限的方法研究變量的數(shù)學(xué)緒第2頁/共49頁第二頁，共50頁。一元微分學(xué)一元積分學(xué)多元微分學(xué)空間解析幾何多元積分學(xué)級數(shù)常微分方程高等數(shù)學(xué)第3頁/共49頁第三頁，共50頁。第一章函數(shù)與極限第一節(jié)映射與函數(shù)第二節(jié)數(shù)列的極限第三節(jié)函數(shù)的極限第四節(jié)無窮小與無窮大第五節(jié)極限運(yùn)算法則第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限第4頁/共49頁第四頁，共50頁。第七節(jié)無窮小的比較第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第九節(jié)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性第十節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第5頁/共49頁第五頁，共50頁。第一節(jié)映射與函數(shù)一、集合二、映射三、函數(shù)第6頁/共49頁第六頁，共50頁。

一、集合集合與元素之間的關(guān)系a∈M：若x是集合的元素；1.集合概念(1)集合：具有某種特定性質(zhì)的事物的總體，集合的元素通常用A，B，S，T

等表示.元素:

組成這個集合的事物集合的元素通常用a，b，x，y等表示.集合分為有限集和無限集.a

M:若x不是集合的元素.(2)集合的表示法列舉法:將集合的元素一一列舉出來,描述法:如:第7頁/共49頁第七頁，共50頁。N={全體自然數(shù)}，Z={全體整數(shù)}，Q={全體有理數(shù)}，R={全體實數(shù)}.(3)常用的集合記號

如果，必有,則稱A是B的子集，記為

不含任何元素的集合，則稱為空集記為Φ.Φ是任何集合的子集.(4)集合的關(guān)系集合:集合A內(nèi)排除0的集.集合:集合B內(nèi)排除0與負(fù)數(shù)的集.

若，且,則稱A是B的真子集,記為

.

若，且,則稱A與B相等,記為

.第8頁/共49頁第八頁，共50頁。2.集合的運(yùn)算設(shè)A、B是二個集合，定義(A與B的并集)(A與B的交集)(A與B的差集)

設(shè)I表示我們研究某個問題的全體,則其他集合A都是I的子集,稱I為全集或基本集.A的余集或補(bǔ)集記為:例如:在實數(shù)集R中則有第9頁/共49頁第九頁，共50頁。設(shè)A、B、C為任意三個集合，則有下列法則成立：（1）交換律（2）結(jié)合律（3）分配律（4）對偶律以上這些法則都可以根據(jù)集合相等的定義驗證.集合的運(yùn)算法則第10頁/共49頁第十頁，共50頁。3.區(qū)間和鄰域設(shè)a,b∈R,且a<b,開區(qū)間閉區(qū)間半開區(qū)間稱a,b為區(qū)間的端點(diǎn)，稱b－a為這些區(qū)間的長度.以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間.第11頁/共49頁第十一頁，共50頁。無限區(qū)間用數(shù)軸可以表示區(qū)間,區(qū)間常用I表示.引進(jìn)記號：

+∞

－∞

∞（讀作正無窮大）(讀作負(fù)無窮大）（讀作無窮大）第12頁/共49頁第十二頁，共50頁。(2)點(diǎn)a的去心鄰域：注若不強(qiáng)調(diào)δ的大小，點(diǎn)a的去心鄰域記為U(a)鄰域點(diǎn)a的左δ鄰域:開區(qū)間(a-δ,a)點(diǎn)a的右δ鄰域:開區(qū)間(a,a+δ)(1)設(shè)δ是任一正數(shù)，稱開區(qū)間(a-δ,a+δ)為點(diǎn)a的δ鄰域，記為U(a,δ)，即點(diǎn)a稱為該鄰域的中心，稱δ為該鄰域的半徑.a第13頁/共49頁第十三頁，共50頁。二、映射1、映射的概念

定義

設(shè)X、Y是二個非空集合，如果存在一個法則f,使得對X中每個元素x,按法則f,在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng),則稱f為從X到Y(jié)的映射,記為

其中y稱為元素x(在映射f

下)的像,記作f(x),即y=f(x),元素x稱為元素y(在映射f

下)的一個原像;集合X稱為映射f

的定義域,記作D

f,即D

f=X;X中所有元素的像所組成的集合稱為映射f

的值域,記作Rf或f(X),即第14頁/共49頁第十四頁，共50頁。注意:(1)

一個映射必須具備以下三個要素:集合X,即定義域D

f=X集合Y,即值域的范圍:對應(yīng)法則f,使對每個有唯一確定的y=f(x)與之對應(yīng).(2)對每個,元素x的像y是唯一的;對每個,元素y的原像不一定是唯一的;

映射f

的值域是Y的一個子集,即,不一定.第15頁/共49頁第十五頁，共50頁。例1

設(shè),對每個,.顯然,f是一個映射,f的定義域,值域

它是R的一個真子集.對于Rf

中的元素y,除y=0外,它的原像不是唯一的.如y=4的原像就有x=2和x=-2兩個.例2

設(shè)對每個,有唯一確定的

與之對應(yīng).顯然,f是一個映射,f的定義域,值域Oxy-11這個映射表示將平面上一個圓心在原點(diǎn)的單位圓周上的點(diǎn)投影到x軸的區(qū)間[-1,1]上.第16頁/共49頁第十六頁，共50頁。例3

設(shè)對每個

,這里f是一個映射,其定義域

,值域

f稱為X到Y(jié)上的滿射：若Rf=Y.即Y中任一元素y

f為X到Y(jié)上的單射:若對X中任意兩個不同元素滿射單射一一映射都是X中某元素的像.f為一一映射(或雙射):若映射f既是單射又是滿射.如:例1既非單射,又非滿射;例2不是單射,是滿射;例3既是單射,又是滿射,因此是一一映射.它們的像第17頁/共49頁第十七頁，共50頁。映射又稱為算子.

根據(jù)集合X、Y的不同情形,在不同的數(shù)學(xué)分支中,映射又有不同的慣用名稱.如:從非空集合X到數(shù)集Y的映射又稱為X上的泛函.從非空集合X到它自身的映射又稱為X上的變換.

從實數(shù)集(或其子集)X到實數(shù)集Y的映射稱為定義在X上的函數(shù).第18頁/共49頁第十八頁，共50頁。2.逆映射與復(fù)合映射設(shè)f是X到Y(jié)上的單射,定義一個從Rf到X的新映射g即對每個規(guī)定g(y)=x,這x滿足f(x)=y.這個映射g稱為f的逆映射,記作其定義域值域注意:只有單射才存在逆映射.例1,2,3中,只有例3有逆映射:第19頁/共49頁第十九頁，共50頁。設(shè)有兩個映射其中則可以確定一個從X到Z的映射,稱為復(fù)合映射記作即注意:(1)映射g

和f構(gòu)成復(fù)合映射的條件:兩者也不同時有意義.第20頁/共49頁第二十頁，共50頁。例4

設(shè)有映射對每個對每個第21頁/共49頁第二十一頁，共50頁。三、函數(shù)1.函數(shù)概念因變量自變量對每個,按對應(yīng)法則f,總有唯一確定的值y與之對應(yīng),這個值稱為函數(shù)f

在x處的函數(shù)值,記作f(x),即y=函數(shù)值f(x)的全體所構(gòu)成的集合稱為函數(shù)f

的值域,定義設(shè)數(shù)集,則稱映射為定義D上的函數(shù)，通常簡記為f(x).D稱為定義域,記作,即

記作或f(D),即第22頁/共49頁第二十二頁，共50頁。函數(shù)是從實數(shù)集到實數(shù)集的映射,其值域總在R內(nèi).函數(shù)的兩要素:定義域與對應(yīng)法則f.

如果兩個函數(shù)的定義域相同,對應(yīng)法則也相同,那么這兩個函數(shù)就是相同的,否則就是不同的.

約定:定義域是自變量所能取的使算式有(實際)意義的一切實數(shù)值.

如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)．例如:第23頁/共49頁第二十三頁，共50頁。

對于多值函數(shù),往往只要附加一些條件,就可以將它化為單值函數(shù),這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支.例如,在由方程給出的對應(yīng)法則中,附加“”的條件,就可得到一個單值分支

表示函數(shù)的主要方法有三種:表格法、圖形法、解析法（公式法）.定義:點(diǎn)集稱為函數(shù)的圖形.第24頁/共49頁第二十四頁，共50頁。常見的幾種函數(shù)例5

函數(shù)y=2它的定義域值域它的圖形是一條平行于x軸的直線.Oxyy=2例6

函數(shù)定義域D=(－∞,+∞),值域=[0,+∞).這個函數(shù)稱為絕對值函數(shù).Oxy第25頁/共49頁第二十五頁，共50頁。1-1xyo例7

函數(shù)稱為符號函數(shù),定義域D=(－∞,+∞),值域={1,0,－1}.注:對任意的x,有第26頁/共49頁第二十六頁，共50頁。12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo階梯曲線[x]表示不超過x的最大整數(shù)例8

取整函數(shù)y=[x]如[-3.4]=-4,[－1]=－1,定義域D=(－∞,+∞),值域=Z.第27頁/共49頁第二十七頁，共50頁。例9

函數(shù)是一個分段函數(shù).它的定義域D=[0,+∞).如:yxO1第28頁/共49頁第二十八頁，共50頁。2.函數(shù)的幾種特性(1)函數(shù)的有界性:oyxM-My=f(x)X有界M-MyxoX無界則稱函數(shù)若有成立，f(x)在X上有界.否則稱為無界.(2)有界與否是和X有關(guān)的.(1)當(dāng)一個函數(shù)有界時，它的界是不唯一的.注意:使(3)證明無界的方法:對于任意正數(shù)M,總存在第29頁/共49頁第二十九頁，共50頁。(2)函數(shù)的單調(diào)性:xyo設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,區(qū)間如果對于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1和x2,當(dāng)x1<x2時,恒有則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的(單調(diào)減少的);xyo第30頁/共49頁第三十頁，共50頁。(3)函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D關(guān)于原點(diǎn)對稱,對于有f(-x)=f(x)恒成立,則稱f(x)為偶函數(shù);偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱.函數(shù)y=cosx是偶函數(shù).第31頁/共49頁第三十一頁，共50頁。奇函數(shù)yxox-x設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D關(guān)于原點(diǎn)對稱,對于有f(-x)=-f(x)恒成立,則稱f(x)為奇函數(shù).奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱.函數(shù)y=sinx是偶函數(shù).函數(shù)y=sinx+cosx既非奇函數(shù),又非偶函數(shù).第32頁/共49頁第三十二頁，共50頁。(4)函數(shù)的周期性:函數(shù)sinx,cosx的周期是函數(shù)tanx的周期是（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.則稱f(x)為周期函數(shù),l稱為f(x)的周期.有對于任一且恒成立,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,如果存在一個正數(shù)l,使得第33頁/共49頁第三十三頁，共50頁。有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)?1xyo例10

狄利克雷函數(shù)

它是一個周期函數(shù),任何有理數(shù)都是它的周期,但它沒有最小正周期.第34頁/共49頁第三十四頁，共50頁。3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)的定義:設(shè)函數(shù)是單射,則它存在如:函數(shù)是單射,其反函數(shù)為

若函數(shù)f(x)在D上是單調(diào)函數(shù),則f-1也是f(D)上的單調(diào)函數(shù).DD)(xfy=函數(shù)稱此映射為函數(shù)f

的反函數(shù).逆映射第35頁/共49頁第三十五頁，共50頁。直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線y=x對稱.相對于反函數(shù)原來的函數(shù)y=f(x)稱為直接函數(shù).第36頁/共49頁第三十六頁，共50頁。復(fù)合函數(shù)定義:設(shè)函數(shù)y=f(u)的定義域為D1,函數(shù)u=g(x)在D上有定義,且則由下式確定的函數(shù)稱為由函數(shù)u=g(x)和函數(shù)y=f(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù),它的定義域為D,變量u稱為中間變量.函數(shù)g與函數(shù)f

構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為函數(shù)g與函數(shù)f

構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件是:函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f

的定義域內(nèi),即第37頁/共49頁第三十七頁，共50頁。

注:1.不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的;2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.如:如:第38頁/共49頁第三十八頁，共50頁。4.函數(shù)的運(yùn)算設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域依次為則可以定義這兩個函數(shù)的下列運(yùn)算：和(差)

積商第39頁/共49頁第三十九頁，共50頁。

例11設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為(-l,l),證明必存在(-l,l)上的偶函數(shù)g(x)和奇函數(shù)h(x),使得證先分析如下:假若這樣的g(x)、h(x)存在,使得(1)且于是有(2)利用(1)、(2)式,就可作出g(x),h(x).作則證畢.第40頁/共49頁第四十頁，共50頁。5.初等函數(shù)(1)冪函數(shù)(是常數(shù))基本初等函數(shù)(2)指數(shù)函數(shù)(5)反三角函數(shù)y=arcsinx;y=arccosx;y=arctanx;y=arccotx;y=arcsecx;y=arccscx(3)對數(shù)函數(shù)