2015年中考數(shù)學總復習概念資料

力75%中考裁埠總復習就念資料

代照部臺

第一章:實小

基礎(chǔ)知識點：

一、實數(shù)的分類:

‘正整數(shù)'

整數(shù)零

有理數(shù)4負整數(shù)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

實數(shù)'正分數(shù)

分數(shù)?

負分數(shù)

‘正無理數(shù),

無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)

負無理數(shù)

1、有理數(shù)：任何一個有理數(shù)總可以寫成￡的形式，其中p、q是互質(zhì)的整數(shù)，這是有理數(shù)

q

的重要特征。

2、無理數(shù)：初中遇到的無理數(shù)有三種：開不盡的方根，如、歷、V4；特定結(jié)構(gòu)的不限環(huán)

無限小數(shù),如1.101001000100001……；特定意義的數(shù)，如加、sin45°等。

3、判斷一個實數(shù)的數(shù)性不能僅憑表面上的感覺，往往要經(jīng)過整理化簡后才下結(jié)論。

二、實數(shù)中的幾個概念

1、相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。

(1)實數(shù)a的相反數(shù)是-a；(2)a和b互為相反數(shù)=a+b=0

2、倒數(shù)：

(1)實數(shù)a(aWO)的倒數(shù)是,；(2)a和b互為倒數(shù)U>=1；(3)注意0沒有倒數(shù)

a

3、絕對值：

(1)一個數(shù)a的絕對值有以下三種情況：

a,aA。

|a|=Jo,o=0

—a,aY0

(2)實數(shù)的絕對值是一個非負數(shù)，從數(shù)軸上看，一個實數(shù)的絕對值，就是數(shù)軸上表示這個

數(shù)的點到原點的距離。

(3)去掉絕對值符號(化簡)必須要對絕對值符號里面的實數(shù)進行數(shù)性(正、負)確認，

再去掉絕對值符號。

4、n次方根

(1)平方根，算術(shù)平方根：設(shè)a20,稱士叫a的平方根，&叫a的算術(shù)平方根。

(2)正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根。

(3)立方根：叫實數(shù)a的立方根。

(4)一個正數(shù)有一個正的立方根；。的立方根是0；一個負數(shù)有一個負的立方根。

三、實數(shù)與數(shù)軸

1、數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線稱為數(shù)軸。原點、正方向、單位長度是數(shù)

軸的三要素。

2、數(shù)軸上的點和實數(shù)的對應關(guān)系：數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)，而每一個實數(shù)都可

以用數(shù)軸上的唯一的點來表示。實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應的關(guān)系。

四、實數(shù)大小的比較

1、在數(shù)軸上表示兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

2、正數(shù)大于0；負數(shù)小于0；正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個負數(shù)絕對值大的反而小。

五、實數(shù)的運算

1、加法：

(1)同號兩數(shù)相加，取原來的符號，并把它們的絕對值相加；

(2)異號兩數(shù)相加，取絕對值大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值?？?/p>

使用加法交換律、結(jié)合律。

2、減法:

減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。

3、乘法：

(1)兩數(shù)相乘，同號取正，異號取負，并把絕對值相乘。

(2)n個實數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0,積就為0；若n個非0的實數(shù)相乘，積的符號由負因

數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正；當負因數(shù)為奇數(shù)個時，積為負。

(3)乘法可使用乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律。

4、除法:

(1)兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。

(2)除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。

(3)0除以任何數(shù)都等于0,0不能做被除數(shù)。

5、乘方與開方：乘方與開方互為逆運算。

6、實數(shù)的運算順序：乘方、開方為三級運算，乘、除為二級運算，力口、減是一級運算，如

果沒有括號，在同?級運算中要從左到右依次運算，不同級的運算，先算高級的運算再算

低級的運算，有括號的先算括號里的運算。無論何種運算，都要注意先定符號后運算。

六、有效數(shù)字和科學記數(shù)法

1、科學記數(shù)法：設(shè)N>0,則N=aX10"(其中iWaVlO,n為整數(shù))。

2、有效數(shù)字：一個近似數(shù)，從左邊第一個不是0的數(shù)，到精確到的數(shù)位為止，所有的數(shù)字,

叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。精確度的形式有兩種：(1)精確到那一位；(2)保留幾個有效數(shù)

字。

例題：

例1、已知實數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，且同下例。

化簡：時——

分析：從數(shù)軸上a、b兩點的位置可以看到：a<0,b>0且14AMi

所以可得：解：原式=-a+a+b-8+a=a

例2、若a=(—3尸,b=-(-)3,c=(：)-3,比較a、b、c的大小。

a<b<Co解：略

例3、若-2|與M+2|互為相反數(shù)，求a+b的值

分析：由絕對值非負特性,可知一2|20,|/?+2|>0,又由題意可知：—2|+卜+2|=0

所以只能是：a-2=O,b+2=0,即a=2,b=-2,所以a+b=0解：略

例4、已知a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，m的絕對值是1,求竺-cd+機2的值。

解：原式=0—1+1=0

(1

e+一

例5、計算：⑴81994x0.125.(2)e

解：(1)原式=(8義0.125)1994=11994

e+—e-e+—e-

(2)原式=--------1--------

2222

代照部今

第二考.?代藪式

基礎(chǔ)知識點：

一、代數(shù)式

1、代數(shù)式：用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子，叫代數(shù)式?單獨一個數(shù)

或者?個字母也是代數(shù)式。

2、代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)里的字母，計算后得到的結(jié)果叫做代數(shù)式的值。

3、代數(shù)式的分類：

單項式

整式

有理式多項式

代數(shù)式4

【分式

無理式

二、整式的有關(guān)概念及運算

1、概念

(1)單項式：像X、7、lx*2y,這種數(shù)與字母的積叫做單項式。單獨一個數(shù)或字母也

是單項式。

單項式的次數(shù)：-個單項式中，所有字母的指數(shù)叫做這個單項式的次數(shù)。

單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫單項式的系數(shù)。

(2)多項式：幾個單項式的和叫做多項式。

多項式的項：多項式中每一個單項式都叫多項式的項。一個多項式含有幾項，就叫幾

項式。

多項式的次數(shù)：多項式里，次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)。不含字母

的項叫常數(shù)項。

升(降)幕排列：把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小(大)到大(小)的順序排

列起來，叫做把多項式按這個字母升(降)帚排列。

(3)同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項。

2、運算

(1)整式的加減：

合并同類項：把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母及字母的指數(shù)不變。

去括號法則：括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項都不

變；括號前面是“-”號，把括號和它前血的“-”號去掉，括號里的各項都變號。

添括號法則：括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變；括號前面是號，

括到括號里的各項都變號。

整式的加減實際上就是合并同類項，在運算時，如果遇到括號，先去括號，再合并同

類項。

(?)整式的奏除.

累的運算法則：葺中m、n都是正整數(shù)

同底數(shù)暴相乘：am-an=am+n；同底數(shù)幕相除：幕的乘方：

(〃")"=amn積的乘方：(。8)"=anb"。

單項式乘以單項式：用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對于相同的字母，用它們的指數(shù)

的和作為這個字母的指數(shù)；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的

一個因式。

單項式乘以多項式：就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。

多項式乘以多項式：先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得

的積相加。

單項除單項式：把系數(shù)，同底數(shù)幕分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有

字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。

多項式除以單項式：把這個多項式的每一項除以這個單項，再把所得的商相加。

乘法公式：

平方差公式：(a+b)(a—6)=/—〃；

完全平方公式：S+與2+2帥+〃，伍一匕)2=。2-2"+/

三、因式分解

1、因式分解概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解。

2、常用的因式分解方法：

(1)提取公因式法：ma+mb+me-tn(a+b+c)

(2)運用公式法：

平方差公式：a2-h2^(a+b^a-b)；完全平方公式：a2±2ab+b2(a±b)2

(3)十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

(4)分組分解法：將多項式的項適當分組后能提公因式或運用公式分解。

(5)運用求根公式法：若a/+bx+c=O(awO)的兩個根是M、x2,則有：

2

ax+bx+c-a(x-xt)(x-x2)

3、因式分解的一般步驟：

(1)如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；

(2)提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法；

(3)對二次三項式，應先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

(4)最后考慮用分組分解法。

四、分式

I、分式定義：形如？的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。

B

(1)分式無意義：B=0時，分式無意義；Br0時，分式有意義。

(2)分式的值為0：A=0,BW0時，分式的值等于0。

(3)分式的約分：把-個分式的分子與分母的公因式約去叫做分式的約分。方法是把

分子、分母因式分解，再約去公因式。

(4)最簡分式：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫做最簡分式。分式運算的最

終結(jié)果若是分式，一定要化為最簡分式。

(5)通分：把幾個異分母的分式分別化成與原來分式相等的同分母分式的過程，叫做

分式的通分。

(6)最簡公分母：各分式的分母所有因式的最高次幕的積。

(7)有理式：整式和分式統(tǒng)稱有理式。

2、分式的基本性質(zhì)：

(1)4=4辿("是工0的整式)；(2)4=幺1絲("是/0的整式)

BBMBB+M

(3)分式的變號法則：分式的分子，分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分

式的值不變。

3、分式的運算：

(1)力口、減：同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減；異分母的分式相加減，

先把它們通分成同分母的分式再相加減。

(2)乘：先對各分式的分子、分母因式分解，約分后再分子乘以分子，分母乘以分母。

(3)除：除以一個分式等于乘上它的倒數(shù)式。

(4)乘方：分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。

五、二次根式

1、二次根式的概念：式子JZ(aNO)叫做二次根式。

(1)最簡二次根式：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，被開方數(shù)中不含能開得盡

方的因式的二次根式叫最簡二次根式。

(2)同類二次根式：化為最簡二次根式之后，被開方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二

次根式。

(3)分母有理化：把分母中的根號化去叫做分母有理化。

(4)有理化因式：把兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式,

我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式(常用的有理化因式有：&與a4b+c4d

a4h-c4d)

2、二次根式的性質(zhì)：

(1)(V^)2=20)；(2)=同=v"(°)；(3)yfab=8?&(a

11［-a(a<0)

20,b^O)：(4)=^(a>0,b>0)

3、運算：

(1)二次根式的加減：將各二次根式化為最簡二次根式后，合并同類二次根式。

(2)二次根式的乘法：y［a-y［b^y［ab(a20,bNO)。

(3)二次根式的除法：型=、口92。力20)

4b\b

二次根式運算的最終結(jié)果如果是根式，要化成最簡二次根式。

例題：

一、因式分解：

1、提公因式法：

例1、24a\x-y)+6b\y-x)

分析：先提公因式，后用平方差公式解：略

［規(guī)律總結(jié)］因式分解本著先提取，后公式等，但應把第一個因式都分解到不能再分解為

止，往往需要對分解后的每一個因式進行最后的審查，如果還能分解，應繼續(xù)分解。

2、十字相乘法：

例2、(1)x4-5x2-36；(2)(x+y)2-4(x+y)-12

分析：可看成是-和(x+y)的二次三項式，先用十字相乘法，初步分解。解：略

［規(guī)律總結(jié)］應用十字相乘法時，注意某?項可是單項的一字母，也可是某個多項式或整

式，有時還需要連續(xù)用十字相乘法。

3、分組分解法：

例3、x3+2x"—x—2,

分析：先分組，第一項和第二項一組，第三、第四項一組，后提取，再公式。解：略

［規(guī)律總結(jié)］對多項式適當分組轉(zhuǎn)化成基本方法因式分組，分組的目的是為了用提公因

式，十字相乘法或公式法解題。

4、求根公式法：

例4、x?+5x+5解：略

二、式的運算

巧用公式

例5、計算：(1一一匚/一(1+」一產(chǎn)

a-ba-b

分析：運用平方差公式因式分解，使分式運算簡單化。解：略

［規(guī)律總結(jié)］抓住三個乘法公式的特征，靈活運用，特別要掌握公式的幾種變形，公式的

逆用，掌握運用公式的技巧，使運算簡便準確。

2、化簡求值：

例6、先化簡，再求值：5x2-(3x2+5x2)+(4y2+7xy),其中x=-1y=1-V2

I規(guī)律總結(jié)］一定要先化到最簡再代入求值，注意去括號的法則。

3、分式的計算：

“II、pa—5.16—、

例7、化間------+（-------。-3）

2a-6。-3

a2—9

分析：-。-3可看成------^解：略

。—3

［規(guī)律總結(jié)］分式計算過程中：（1）除法轉(zhuǎn)化為乘法時，要倒轉(zhuǎn)分子、分母；（2）注意負號

4、根式計算

例8、已知最簡二次根式瘍XI和J7與是同類二次根式，求b的值。

分析：根據(jù)同類二次根式定義可得：2b+l=7-b。解：略

［規(guī)律總結(jié)］二次根式的性質(zhì)和運算是中考必考內(nèi)容，特別是二次根式的化簡、求值及性

質(zhì)的運用是中考的主要考查內(nèi)容。

代照都臺

第三本方程和方程做

基礎(chǔ)知識點：

一、方程有關(guān)概念

1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫方程的解，含有一個未知數(shù)的

方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判斷方程無解的過程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程變形時，產(chǎn)生的不適合原方程的根叫做原方程的增根。

二、一元方程

1、一元一次方程

（1）一元一次方程的標準形式：ax+b=O（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，aWO）

（2）一玩?次方程的最簡形式：ax=b（其中x是未知數(shù)，a、b是已知數(shù)，aWO）

（3）解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項和系數(shù)化為1。

（4）一元一次方程有唯一的一個解。

2、一元二次方程

（1）一元二次方程的??般形式：ax2+bx+c=0（其中x是未知數(shù)，a、b、c是已知

數(shù)，aWO）

（2）一元二次方程的解法：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法

（3）一元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后一般，如沒有要求，一般不用配方法。

（4）一元二次方程的根的判別式：A=&2-4ac

當△>0時=方程有兩個不相等的實數(shù)根；

當△=（）時=方程有兩個相等的實數(shù)根；

當△<（）時o方程沒有實數(shù)根，無解；

當△20時=方程有兩個實數(shù)根

（5）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：

1b

若再,工2是一元二次方程。廠+云+C=0的兩個根，那么：x1+x2=——，

x{-x2=—

a

（6）以兩個數(shù)卬/為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是：

2

X-(X］+x2)x+x1x2=0

三、分委方程

(1)定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

(2)分式方程的解法：

?般解法：去分母法，方程兩邊都乘以最簡公分母。

特殊方法：換元法。

(3)檢驗方法：一般把求得的未知數(shù)的值代入最簡公分母，使最簡公分母不為0的就

是原方程的根；使得最簡公分母為0的就是原方程的增根，增根必須舍去，也可以把求得

的未知數(shù)的值代入原方程檢驗。

四、方程組

1、方程組的解：方程組中各方程的公共解叫做方程組的解。

2、解方程組：求方程組的解或判斷方程組無解的過程叫做解方程組

3、一次方程組：

(1)二元一次方程組：

,,［a.x+b.y=c.

一般形式：＜'(%,42，4,仇,。1，。2不全為0)

［a.,x+b2y=c2

解法：代入消遠法和加減消元法

解的個數(shù)：有唯?的解，或無解，當兩個方程相同時有無數(shù)的解。

(2)三元一次方程組：

解法：代入消元法和加減消元法

4、二元二次方程組：

(1)定義：由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組以及由兩個二元二

次方程組成的方程組叫做二元二次方程組。

(2)解法：消元，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程，或者降次，轉(zhuǎn)化為二元一次方程組。

考點與命題趨向分析

例題：

一、一元二次方程的解法

例1、解下列方程：

(1)|(x+3)2=2；(2)2x2+3x=1；(3)4(x+3產(chǎn)=25(x-2/

分析：(1)用直接開方法解；(2)用公式法；(3)用因式分解法解：略

［規(guī)律總結(jié)］如果一元二次方程形如(x+m)2=〃(〃20),就可以用直接開方法來解；利用公

式法可以解任何一個有解的一元二次方程，運用公式法解一元二次方程時，一定要把方程

化成一般形式。

例2、解下列方程:

(1)X?-a(3x-2。+匕)=0(x為未知數(shù))；(2)x2+2ax-8a2=0

分析：(1)先化為?般形式，再用公式法解；(2)直接可以十字相乘法因式分解后可求解。

［規(guī)律總結(jié)］對于帶字母系數(shù)的方程解法和一般的方程沒有什么區(qū)別，在用公式法時要注意

判斷△的正負。

二、分式方程的解法：

例3、解下列方程：

=

----7:T；⑵十二-二

1—x~x+1xx~+2

分析：（1）用去分母的方法；（2）用換元法解：暗

［規(guī)律總結(jié)］一般的分式方程用去分母法來解，一些具有特殊關(guān)系如：有平方關(guān)系，倒數(shù)關(guān)系

等的分式方程，可采用換元法來解。

例4、已知關(guān)于x的方程：（p—l）x2+2px+p+3=0有兩個相等的實數(shù)根，求p的值。

分析：由題意可得△=（）,把各系數(shù)代入A=0中就可求出p,但要先化為一般形式。

［規(guī)律總結(jié)］對于根的判別式的三種情況要很熟練，還有要特別留意二次項系數(shù)不能為0

例5、已知a、b是方程--岳-1=0的兩個根，求下列各式的值：

2211

（1）a2+/?2；（2）一+一

ab

分析：先算出a+b和ab的值，再代入把（1）（2）變形后的式子就可求出解。

［規(guī)律總結(jié)］此類題目都是先算出兩根之和和兩根之積，再把要求的式子變形成含有兩根之和

和兩根之積的形式，再代入計算。但要注意檢驗一下方程是否有解。

例6、求作一個一元二次方程，使它的兩個根分別比方程1-x-5=0的兩個根小3

分析：先出求原方程的兩根之和為+馬和兩根之積匹馬再代入求出（七一3）+（匕-2）和

（王-3）（馬-3）的值，所求的方程也就容易寫出來。解：略

［規(guī)律總結(jié)］此類題目可以先解出第一方程的兩個解，但有時這樣又太復雜，用根與系數(shù)的關(guān)

系就比較簡單。

三、方程組

例7、解下列方程組：

x+y-2z=1

2x+3y=3

2x-y-z=5

x-2y-5

x+y+3z=4

分析：（1）用加減消元法消x較簡單：（2）應該先用加減消元法消去y,變成二元一次方程

組，較易求解。解：略

［規(guī)律總結(jié)］加減消元法是最常用的消元方法，消元時那個未知數(shù)的系數(shù)最簡單就先消那個未

知數(shù)。

例8、解下列方程組：

\x-\-y-l小2_盯—4y2—3x+4y=0

（1）<；（2）■

xy=\2［x2+y2=25

分析：（1）可用代入消遠法，也可用根與系數(shù)的關(guān)系來求解；（2）要先把第一個方程因式

分解化成兩個二元一次方程，再與第二個方程分別組成兩個方程組來解。解：略

［規(guī)律總結(jié)］對于一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組一般用代入消元法，對

于兩個二元二次方程組成的方程組，一定要先把其中一個方程因式分解化為兩個一次方程

再和第二個方程組成兩個方程組來求解。

代感梆令

第四幸；列方在（做）解應用題

知識點：

一、列方程（組）解應用題的一般步驟

1、審題：

2、設(shè)未知數(shù)；

3、找出相等關(guān)系，列方程（組）；

4、解方程（組）；

5、檢驗，作答；

二、列方程（組）解應用題常見類型題及其等量關(guān)系；

1、工程問題

（1）基本工作量的關(guān)系：工作量=工作效率X工作時間

（2）常見的等量關(guān)系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作總量

（3）注意：工程問題常把總工程看作“1”，水池注水問題屬于工程問題

2、行程問題

（1）基本量之間的關(guān)系：路程=速度義時間

（2）常見等量關(guān)系：

相遇問題：甲走的路程+乙走的路程=全路程

追及問題（設(shè)甲速度快）：

同時不同地：甲的時間=乙的時間；甲走的路程-乙走的路程=原來甲、乙相距路程

同地不同時：甲的時間=乙的時間-時間差；甲的路程=乙的路程

3、水中航行問題：

順流速度=船在靜水中的速度+水流速度；

逆流速度=船在靜水中的速度-水流速度

4、增長率問題：

常見等量關(guān)系：增長后的量=原來的量+增長的量；增長的量=原來的量X（1+增長率）;

5、數(shù)字問題:

基本量之間的關(guān)系：三位數(shù)=個位上的數(shù)+十位上的數(shù)X10+百位上的數(shù)X100

三、列方程解應用題的常用方法

1、譯式法：就是將題目中的關(guān)鍵性語言或數(shù)量及各數(shù)量間的關(guān)系譯成代數(shù)式，然后根

據(jù)代數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系找出等量關(guān)系。

2、線示法：就是用同一直線上的線段表示應用題中的數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)線段長度的

內(nèi)在聯(lián)系，找出等量關(guān)系。

3、列表法：就是把已知條件和所求的未知量納入表格，從而找出各種量之間的關(guān)系。

4、圖示法：就是利用圖表示題中的數(shù)量關(guān)系，它可以使量與量之間的關(guān)系更為直觀，

這種方法能幫助我們更好地理解題意。

例題：

例1、甲、乙兩組工人合作完成一項工程，合作5天后，甲組另有任務，由乙組再

單獨工作1天就可完成，若單獨完成這項工程乙組比甲組多用2天，求甲、乙兩組單獨完

成這項工程各需幾天？

分析：設(shè)工作總量為1,設(shè)甲組單獨完成工程需要x天，則乙組完成工程需要（x+2）天,

等量關(guān)系是甲組5天的工作量+乙組6天的工作量=工作總量解：略

例2、某部隊奉命派甲連跑步前往90千米外的A地，1小時45分后，因任務需要，又

增派乙連乘車前往支援，已知乙連比甲連每小時快28千米，恰好在全程的，處追上甲連。

3

求乙連的行進速度及追上甲連的時間

分析：設(shè)乙連的速度為V千米/小時，追上甲連的時間為t小時，則甲連的速度為（V-28）

7

千米/小時，這時乙連行了（f+—）小時，其等量關(guān)系為：甲走的路程=乙走的路程=30

4

例3、某工廠原計劃在規(guī)定期限內(nèi)生產(chǎn)通訊設(shè)備60臺支援抗洪，由于改進了操作技術(shù);

每天生產(chǎn)的臺數(shù)比原計劃多50%,結(jié)果提前2天完成任務，求改進操作技術(shù)后每天生產(chǎn)通

訊設(shè)備多少臺？

分析：設(shè)原計劃每天生產(chǎn)通訊設(shè)備x臺，則改進操作技術(shù)后每天生產(chǎn)x（1+0.5）臺，

等量關(guān)系為：原計劃所用時間-改進技術(shù)后所用時間=2天解：略

例4、某商廈今年一月份銷售額為60萬元，二月份由于種種原因，經(jīng)營不善，銷售額

下降10%,以后經(jīng)加強管理，又使月銷售額上升，到四月份銷售額增加到96萬元，求三、

四月份平均每月增長的百分率是多少？

分析：設(shè)三、四月份平均每月增長率為x%,二月份的銷售額為60（1-10%）萬元，三

月份的銷售額為二月份的（1+x）倍，四月份的銷售額又是三月份的（1+x）倍，所以四月

份的銷售額為二月份的（1+x）2倍，等量關(guān)系為：四月份銷售額為=96萬元。解：略

例5、一年期定期儲蓄年利率為2.25%,所得利息要交納20%的利息稅，例如存入一年

期100元，到期儲戶納稅后所得到利息的計算公式為：

稅后利息=100x2.25%-100x2.25%x20%=100x2.25%（l-20%）

已知某儲戶存下一筆一年期定期儲蓄到期納稅后得到利息是450元，問該儲戶存入了

多少本金？

分器：設(shè)存入x元本金，則一年期定期儲蓄到期納稅后利息為2.25%（l-20%）x元，方

程容易得出o

例6、某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售,

增加盈利，減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕档统杀敬胧?，?jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每

降價1元，商場平均每天可多售出2件。若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價

多少元？

分析：設(shè)每件襯衫應該降價x元，則每件襯衫的利潤為（40-x）元，平均每天的銷售量

為（20+2x）件，由關(guān)系式：

總利潤=每件的利潤X售出商品的叫量，可列出方程解：略

代弒郡今

第五本塔式4系等式做

知識點：

——不箋譚左不等忒口<1枇所

1、'不W式：表示不等關(guān)系正式子。（表示不等關(guān)系的常用符號：#,<,>）。

2、不等式的性質(zhì)：

（1）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)，不等號方向不改變，如a>b,c為

實數(shù)=a+c>b+c

（2）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號方向不變，如a>b,c>O=ac

>bc.,

（3）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號方向改變，如a>b,c<0nac

<bc.

注：在不等式的兩邊都乘以（或除以）一個實數(shù)時，?定要養(yǎng)成好的習慣、就是先確

定該數(shù)的數(shù)性（正數(shù)，零，負數(shù)）再確定不等號方向是否改變，不能像應用等式的性質(zhì)那

樣隨便，以防出錯。

3、任意兩個實數(shù)a,b的大小關(guān)系（三種）：

（1）a-b>00a>b

（2）a-b=0oa=b

（3）a-bV0OaVb

4、（1）a>b>0=y/a>-Jb

（2）a>b>0=a2<b2

二、不等式（組）的解、解集、解不等式

I、能使一個不等式（組）成立的未知數(shù)的一個值叫做這個不等式（組）的一個解。

不等式的所有解的集合，叫做這個不等式的解集。

不等式組中各個不等式的解集的公共部分叫做不等式組的解集。

2.求不等式（組）的解集的過程叫做解不等式（組）。

三、不等式（組）的類型及解法

1、一元一次不等式：

（1）概念：含有一個未知數(shù)并且含未知數(shù)的項的次數(shù)是一次的不等式，叫做一元一次

不等式。

（2）解法：與解一元一次方程類似，但要特別注意當不等式的兩邊同乘以（或除以）

一個負數(shù)時，不等號方向要改變。

2、一元一次不等式組：

（1）概念：含有相同未知數(shù)的幾個一元一次不等式所組成的不等式組，叫做一元一次

不等式組。

（2）解法：先求出各不等式的解集，再確定解集的公共部分。

注：求不等式組的解集一般借助數(shù)軸求解較方便。

例題：

方法1：利用不等式的基本性質(zhì)

1、判斷正誤：

（1）若a>b,c為實數(shù)，貝1|4，>反2；

（2）若如2>兒2,則a>b

分析：在（1）中，若c=0,貝=在（2）中，因為">"，所以。CW0,否

則應有歐2=兒2故a>b解：略

［規(guī)律總結(jié)］將不等式正確變形的關(guān)鍵是牢記不等式的三條基本性質(zhì)，不等式的兩邊

都乘以或除以含有字母的式子時，要對字母進行討論。

方法2：特殊值法

例2、若a<b<0,那么下列各式成立的是（）

11r.八-4［

A、一<一B、ab<0C\一<1D、一>1

abhh

分析：使用直接解法解答常常費時間，又因為答案在一般情況下成立，當然特殊情況

也成立，因此采用特殊值法。

解：根據(jù)a〈b<0的條件，可取a=-2,b=-l,代入檢驗，易知q>1,所以選D

b

［規(guī)律總結(jié)］此種方法常用于解選擇題，學生知識有限，不能直接解答時使用特殊值法,

既快，又能找到符合條件的答案。

方法3.類比法

例3、解下列一元一次不等式，并把解集在數(shù)軸上表示出來。

r_1v_1

(1)8-2(x+2)<4x-2；(2)1----->2------

23

分析：解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程類似，主要步驟有去分母，去括號、

移項、合并同類項，把系數(shù)化成1,需要注意的是，不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負

數(shù)，不等號要改變方向。解：略

［規(guī)律總結(jié)］解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟類似，但要注意當不等式的兩

邊都乘以或除以同一個負數(shù)時，不等號的方向必須改變，類比法解題，使學生容易理解新

知識和掌握新知識。

方法4：數(shù)形結(jié)合法

'2(x+8)<10-4(x-3)

例4、求不等式組：Jx+16X+7的非負整數(shù)解

------------<1

I23

分析：要求一個不等式組的非負整數(shù)解，就應先求出不等式組的解集，再從解集中找

出其中的非負整數(shù)解。解：略

方法5：逆向思考法

例5、已知關(guān)于x的不等式(a—2)x>10—a的解集是x>3,求a的值。

分析：因為關(guān)于x的不等式的解集為x>3,與原不等式的不等號同向，所以有a-2>0,

即原不等式的解集為x〉U匕吐幺=3解此方程求出a的值。解：略

CL—2a—2

［規(guī)律總結(jié)］此題先解字母不等式，后著眼已知的解集，探求成立的條件，此種類型題都

采用逆向思考法來解。

代檄郡臺

第以幸：匹照女玄圖假

知識點：

一、平面直角坐標系

1、平面內(nèi)有公共原點且互相垂直的兩條數(shù)軸，構(gòu)成平面直角坐標系。在平面直角坐標

系內(nèi)的點和有序?qū)崝?shù)對之間建立了一一對應的關(guān)系。

2、不同位置點的坐標的特征：

(1)各象限內(nèi)點的坐標有如下特征：

點P(x,y)在第一象限=x>0,y>0；

點P(x,y)在第二象限=x<0,y>0；

點P(x,y)在第三象限=x<0,y<0；

點P(x,y)在第四象限=x>0,y<0?

(2)坐標軸上的點有如下特征：

點P(x,y)在x軸上Oy為0,x為任意實數(shù)。

點P(x,y)在y軸上Ox為0,y為任意實數(shù)。

3.點P(x,y)坐標的幾何意義：

(1)點P(x,y)到x軸的距離是lyl；

(2)點P(x,y)到y(tǒng)袖的距離是Ixl；

(3)點P(x,y)到原點的距離是Jx2+y2

4.關(guān)于坐標軸、原點對稱的點的坐標的特征：

(1)點P(a,b)關(guān)于x軸的對稱點是匕3,-6)；

(2)點P(a,b)關(guān)于x軸的對稱點是g(-a,b)；

(3)點P(a,b)關(guān)于原點的對稱點是A(-。，—切；

二、函數(shù)的概念

1、常量和變應在某一變化過程中可以取不同數(shù)值的量叫做變量；保持數(shù)值不變的量

叫做常量。

2、函數(shù)：一般地，設(shè)在某一變化過程中有兩個變量x和y,如果對于x的每一個值，y

都有唯一的值與它對應，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)。

(1)自變量取值范圍的確是：

①解析式是只含有一個自變量的整式的函數(shù)，自變量取值范圍是全體實數(shù)。

②解析式是只含有一個自變量的分式的函數(shù)，自變量取值范圍是使分母不為0的實數(shù)。

③解析式是只含有一個自變量的偶次根式的函數(shù)，自變量取值范圍是使被開方數(shù)非負

的實數(shù)。

注意：在確定函數(shù)中自變量的取值范圍時，如果遇到實際問題，還必須使實際問題有

意義。

\(2)函數(shù)值：給自變量在取值范圍內(nèi)的一個值所求得的函數(shù)的對應值。

(3)函數(shù)的表示方法：①解析法；②列表法；③圖像法

(4)由函數(shù)的解析式作函數(shù)的圖像，一般步驟是：①列表；②描點；③連線

三、幾種特殊的函數(shù)

1、一次函數(shù)

自變量的

解析式圖像性質(zhì)

函數(shù)取值范圍

4

k

-A

正比例y=kx全體

函數(shù)(k#0)實數(shù)

r>0k<0①當k>0時y

隨x的增大而

增大

②當k<0時y

隨X的增大而

減小

體

全

次

一y=kx

■

數(shù)

數(shù)

實

函+b

(k#0)

k>00b<0

k<

直線位置與k,b的關(guān)系：

(1)k>0直線向上的方向與x軸的正方向所形成的夾角為銳角:

(2)k<0直線向上的方向與X軸的正方向所形成的夾角為鈍角；

(3)b>0直線與y軸交點在x軸的上方；

(4)b=0直線過原點；

(5)bVO直線與y軸交點在x軸的下方；

,、三次函數(shù)

函數(shù)；解析式導赳曹田像轆物周)

(1)一般式:丫=?+bx+c

(a#0)

(2)lO、4:y=a(x-m)2+n

二次

11點為(m,n)

(3)兩根式：

y=a(x-x|)(x-x2)^

?x軸兩交點:(X[.O)(X2,O)

拋物線位置與a,b,c的關(guān)系:

a〉00開口向上

(1)a決定拋物線的開口方向<

a<0=開口向下

(2)c決定拋物線與y軸交點的位置：

c>0<=>圖像與y軸交點在x軸上方；c=O=圖像過原點；c<0o圖像與y軸交點在x

軸下方;

(3)a,b決定拋物線對稱軸的位置：a,b同號，對稱軸在y軸左側(cè)；b=O,對稱軸是

y軸：a,b異號。對稱軸在y軸右側(cè);

3、反比例函數(shù):

函數(shù)解析式llo性質(zhì)

①k>0時，圖像的兩個分支

分別在一、三象限,在每一

象限內(nèi)，y隨X的增大而減

反比kx#0

?。?/p>

例y=T的

②時，圖像的兩個分支

函數(shù)(k#0)實數(shù)k<0

分別在二、四象聚，在每一

象限內(nèi)，y隨X的增大而增

大

4、正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的對照表:

函數(shù)正比例函數(shù)反比例函數(shù)

解析式y(tǒng)=kx(k#O)

ys-X(kjtO)

困像直線，經(jīng)過原點雙曲線，與坐標軸沒有交點

自變量取值范圍全體實數(shù)工W0的一切實數(shù)

圖像的位置當/>0時，在一、三象限；當A>0時，在一、三象限；

當人<0時，在二、四象限。當左<0時，在二、四象限。

性質(zhì)當A>0時,y隨X增大而增大；當A>0時,y隨力增大而減小；

當A<0時,y隨工的增大而減小。當k<0曲,y隨力增大而增失。

例題：

例1、正比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象都經(jīng)過點P(m,4),已知點P到x軸的距離是到

y軸的距離2倍.

⑴求點P的坐標.；

⑵求正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式。

分析：由點P到x軸的距離是到y(tǒng)軸的距離2倍可知：21ml=4,易求出點P的坐標，

再利用待定系數(shù)法可求出這正、反比例函數(shù)的解析式。解：略

例2、已知a,b是常數(shù)，且y+b與x+a成正比例.求證：y是x的一次函數(shù).

分析：應寫出y+b與x+a成正比例的表達式，然后判斷所得結(jié)果是否符合一次函數(shù)定義.

證明：由已知,有y+b=k(x+a),其中k#0.

整理，得y=kx+(ka—b).①

因為k#0且ka—b是常數(shù)，故尸kx+(ka—b)是x的一次函數(shù)式.

例3、填空：如果直線方程ax+by+c=O中，a<0,b<0且bc<0,則此直線經(jīng)過第

象限.

分析：先把ax+by+c=O化為---x.因為a<0,bVO,所以一)0,---(0?又bc<0,

bbbb

即上<0,故一上>0.相當于在一次函數(shù)y=kx+l中，k=--<0,1=-->0,此直線與y

hhbb

軸的交點(0，-￡)在*軸上方.且此直線的向上方向與x軸正方向所成角是鈍角，所以此

b

直線過第一、二、四象限.

例4、把反比例函數(shù)y=—與二次函數(shù)y=kx2(k^0)畫在同一個坐標系里，正確的是().

x

答：選(D).這兩個函數(shù)式中的k的正、負號應相同(圖

(A)(B)(C)(D)

圖13-110

例5、畫出二次函數(shù)y=x?-6x+7的圖象，根據(jù)圖象回答下列問題：

(1)當x=T,1,3時y的值是多少？

(2)當y=2時，對應的x值是多少？

(3)當x>3時，隨x值的增大y的值怎樣變化？

(4)當x的值由3增加1時，對應的y值增加多少？

分析：要畫出這個二次函數(shù)的圖象，首先用配方法把y=x?-6x+7變形為y=(x-3)J2,

確定拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標，然后列表、描點、畫圖.解：圖象略.

例6、拖拉機開始工作時,油箱有油45升,如果每小時耗油6升.

(1)求油箱中的余油量Q(升)與工作時間t(時)之間的函數(shù)關(guān)系式：

(2)畫出函數(shù)的圖象.

答：(1)Q=45-6t.

(2)圖象略.注意：這是實際問題，圖象只能由自變量t的取值范圍0WtW7.5決定

是一條線段，而不是直線.

代秋部今

第七幸,貌什初步

知識點：

一、總體和樣本：

在統(tǒng)計時，我們把所要考察的對象的全體叫做總體，其中每一考察對象叫做個體。從

總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本，樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量。