幾種重要的分布

第四章幾種重要的分布在這一章，我們要介紹幾種重要的分布首先介紹離散型隨機(jī)變量的分布§4.1常用的離散型隨機(jī)變量的分布一、退化分布在所有分布中，最簡(jiǎn)單的分布是退化分布，即一個(gè)隨機(jī)變量X以概率1取一常數(shù)，即P(X=a)=1則稱X服從a處的退化分布。EX=Ea=a,DX=Da=0二、0-1分布前面我們學(xué)習(xí)了貝努力試驗(yàn)。對(duì)于貝努力試驗(yàn)，只有兩個(gè)結(jié)果：成功或失敗帀和A)，如拋一枚銀幣(正、反)；檢查一件產(chǎn)品(合格、不合格)；一次射擊(命中、不命中)，都可看做一個(gè)貝努力試驗(yàn)。在一次試驗(yàn)中，設(shè)成功的概率為p，PA)=p，P(A)=4p=q，不同的p表示不同的貝努力試驗(yàn)。如檢查一批產(chǎn)品中，P(合格品)=0.9，P(不合格品)=0.1。用來(lái)描述貝努力試驗(yàn)的隨機(jī)變量分布為0-1分布，0，1代表將試驗(yàn)的兩個(gè)結(jié)果定義為0，1.即隨機(jī)變量X只可能取0，1兩個(gè)值，它的分布律為P(X=i)=4pi(1p)14i(i0=,1)P(X==0)(14p) P(X=1)=p稱X服從(0-1)分布。X01P1-ppEX=p DX=p(14p)三、二項(xiàng)分布由n個(gè)相同的獨(dú)立的貝努力試驗(yàn)組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重貝努力試驗(yàn)。如拋硬幣3次，檢查7個(gè)產(chǎn)品，打100次靶等都屬于多重貝努力試驗(yàn)。1?定義：在n重貝努力試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率都為p(0<p<1)，設(shè)X為n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的可能取值為0，1，2， ,nP(X=k)=Ckpk(14p)n4k,k=0,1,,nn￡P(guān)(X=k)=1不難驗(yàn)證(1)P(X=k)-0 (2)k=o稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記作X?B(np)PX=k)的值恰好是二項(xiàng)式(px+q)n展開式中第k+1項(xiàng)xk的系數(shù)。因此我們稱該分布為二項(xiàng)分布。其中，當(dāng)n=1時(shí)，P(X=i)=-pi(1p)i(0=,1)稱X服從(0-1)兩點(diǎn)分布事件A至多出現(xiàn)m次的概率是P{0<X<m}=區(qū)CkPkqn-knk=0事件A出現(xiàn)次數(shù)不小于l不大于m的概率是P{l<X<m}=￡CkPkqn-knk=l例已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個(gè)，求在所取的3個(gè)中恰有2個(gè)次品的概率.解:因?yàn)檫@是有放回地取3次，因此這3次試驗(yàn)的條件完全相同且獨(dú)立，它是貝努里試驗(yàn).依題意，每次試驗(yàn)取到次品的概率為0.05.設(shè)X為所取的3個(gè)中的次品數(shù)，則X?(B3,0.05)于是，所求概率為：P(X=2)=C2(0.05)2(0.95)=0.0071253例：一個(gè)袋子中裝有N個(gè)球，其中N個(gè)白球，N個(gè)黑球(N+N=N)，每次從中任取1212一個(gè)球，查看完顏色后再放回去，一共取了n次，求取到白球數(shù)X的分布。解：由于是放回試驗(yàn)，每次取球?yàn)?次試驗(yàn)，n次取球可視為n重貝努力試驗(yàn)，每次取到白NN球的概率為P=，故X?B(n,^1)分布為P(X=k)=Ck(■(1-竹)n-k k=0,1,,nnNN貝努里概型對(duì)試驗(yàn)結(jié)果沒(méi)有等可能的要求，但有下述要求：每次試驗(yàn)條件相同；每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果A或A,PA)=p，P(A)=-p=q各次試驗(yàn)相互獨(dú)立簡(jiǎn)單的說(shuō)：二項(xiàng)分布描述的是n重貝努里試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”次數(shù)X的概率分布.例：某類燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率是0.2，求三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)以后最多只有一個(gè)壞了的概率.解：設(shè)X為三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)已壞的燈泡數(shù)x?B(3,0.8)

P(X=kC)=k(0.8)k(0.2),3-k3P(X<1)=P(X=)+P(X=1)=0.104把觀察一個(gè)燈泡的使用時(shí)數(shù)看作一次試驗(yàn),“使用到1000小時(shí)已壞”視為“成功”.每次試驗(yàn),“成功”的概率為0.82.二項(xiàng)分布的期望和方差期望：E(X)=及k?P{X期望：E(X)=及k?P{Xk}=k=0gnk?Ckp(k1-p)n-knk=0=及k?M)fk(1恥k=0np(n-1)!pqk-1(n-1)-(k-1)k1=(k-1)![(n-1)-(k-1)]!k1=np(n-1)!pqk1=np(n-1)!pqi(n-i)-(k-i)(k-1)![(n-1)-(k-1)]!=np氏k=1=np氏k=1(n-1)!(k-1)![(n-Pk-iq(n-l)-(k-1)1)-(k-1)]廣4=np=npgCpk-1k-1(1-n-1k-1=0p)(n-1)-(k-1)=np(pq+)n-1=np.方差：E(X方差：E(X2)=工k2k0n! pk(1-p)n-k=Hkn!(k-)!kn!pk(1—p)n-「(k-1)!(n-k)!rhk1丄耳希嚴(yán)（1丄耳希嚴(yán)（1一p）"一k1丄耳希嚴(yán)（1一p）"一k1(1-)n!n!pk(1—p)n(1-)n!n!pk(1—p)n-k+ pk(1—p)n-kk,(1--)!(nk)!" "k,(1--)!(nk)!“ "k1 k1n!n!=2 n! Dk(1-p)n-k+ pk(1—p)n-kk2(2-)!(n-ky.P pk,(1--)!(nk)!^ "k2 k1=藝n(nC1)ipi+2(1一p)n—2-i+藝nCjpj+1(1-p)n-1-jn-2 n-1i0 j02n(n-1)Cipi+2(1-p)ni-2-+2nCjpj+1(1-p)n-1-jn-2 n-1j0i=o=n(np-C1)22ipi(1-p)n-2-i+np2Cjpj(1-p)n-1-j n(n-1)p2+npn-2 n-1j0l=0D()=n(n-1)p2+np-np2=np(1-p)3.二項(xiàng)分布最可能的值二項(xiàng)分布中X可以取值0,1,2, ,n。使概率PX=k)取最大值的k，記作k，稱k為00二項(xiàng)分布的最可能值。[P憶=k)、,⑴(2) 0—>⑴(2)P(g=k-1)0P憶=k)>,P(g=k+1)k>k>np+p-1oP憶=k)>[P憶=k-1)0Ck0Pk0qnk0 (n-k+1)P>1n =0 >1Ck0-1Pk0-q 1 kqn0(nJ— +1)p>kq00npl—pp~>kq .??k<np+p000P憶=k)>[0 >1P憶=k+1)0CkcP?n—0 (k+1)q>[n =0 >1Ck0+1Pk0+1qn—0-1 (n-k)pn0(k+1)q(>n-k)p00np+p-1<^k-nppoJnppn和p+p-1當(dāng)np+p為整數(shù)時(shí)…％j[np+p] 其他而且從二項(xiàng)分布的圖形特點(diǎn)也可以看出來(lái)：對(duì)于固定n及p,當(dāng)k增加時(shí)，概率P(X=k)先是隨之增加直至達(dá)到最大值,隨后單調(diào)減少.例：某批產(chǎn)品中有80%的一等品，對(duì)它們進(jìn)行重復(fù)抽樣檢驗(yàn)，共取出4個(gè)樣品，求其中一???等品數(shù)F的最可能值，并用貝努里公式驗(yàn)證。解X服從二項(xiàng)分布，X~B(4,0.8)np+p=3.2+0.8=4是整數(shù)，所以k=4和k=3時(shí)PX=k)為最大。即取出4個(gè)樣000品時(shí)，一等品個(gè)數(shù)最可能是3或4。用貝努公式計(jì)算X的分布律下X01234P0.00160.02560.15360.40960.4096例：某人進(jìn)行射擊，命中率為0.02，射擊400次，至少擊中2次的概率。解：由題意。設(shè)擊中次數(shù)為X，XB(400,0.02)P(X=k)=Ck(0.02)k(0.98)400—k,0=,1,2,,400400

P(X>2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0.98400-C10.02?0.98399沁0.9972400可以看出計(jì)算量非常大。因此必須尋求近似方法。說(shuō)明：盡管每一次射擊的命中率非常小，但如果射擊的次數(shù)很大，命中目標(biāo)的概率就非常大。四、普哇松分布在歷史上普哇松分布是作為二項(xiàng)分布的近似函數(shù)，于1837年有法國(guó)數(shù)學(xué)家普哇松(Poisson)首次提出。1.定義如果隨機(jī)變量X的概率函數(shù)為九kX?P{Xnk} e-九，k=0,1,2,...k!其中九〉0，則稱X服從普哇松(Poisson)分布。EXk=ex，

k!k=0藝冬e-九=e-九藝kEXk=ex，

k!k=0k! k!k=0 k=0近數(shù)十年來(lái)，泊松分布日益顯示其重要性,成為概率論中最重要的幾個(gè)分布之一。在實(shí)際中，許多隨機(jī)現(xiàn)象服從或近似服從普哇松分布。像某電話交換臺(tái)收到的電話呼叫數(shù)到某機(jī)場(chǎng)降落的飛機(jī)數(shù);一個(gè)售貨員接待的顧客數(shù);一臺(tái)紡紗機(jī)的斷頭數(shù);一匹布上的疵點(diǎn)個(gè)數(shù)；一本書中的錯(cuò)別字個(gè)數(shù)等等都可近似服從普哇松分布。由此普哇松分布總與計(jì)數(shù)過(guò)程有關(guān)，且在一定時(shí)間內(nèi)，一定區(qū)域內(nèi)或一定單位內(nèi)的前提下進(jìn)行的。普哇松分布的方便之處在于其概率的計(jì)算可以利用普哇松分布表。查表練習(xí)。2.普哇松定理：在n重貝努力試驗(yàn)中，事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為P(這里與n有關(guān))，如果nn時(shí)，npT九(九為常數(shù))，則對(duì)任意的k，有nlim(bkn;p,nT8定理的條件意味著當(dāng)n很大時(shí)，np必定很小.因此，泊松定理表明，當(dāng)n很大，p很XkeXke-X

k!其中X=np小時(shí)有以下近似式：Cpk(1-p)n-kn在實(shí)際中，當(dāng)n>20,p<0.05時(shí)，該近似公式適用。當(dāng)n>100,np<10效果比較好，可通過(guò)查表進(jìn)行計(jì)算。如例題中可用普哇松分布來(lái)計(jì)算：n=400,p=0.02,np=8X?X?P{X=卻肓e-8,k=0,1,2,...400P(X=0)=e-8,P(X=1)=8e-8P(X>2)=1-P(X=0)—P(X=1)=0.997(查表計(jì)算)可進(jìn)行比較，與精確計(jì)算很接近，說(shuō)明近似效果良好。3.期望和方差的計(jì)算期望E(X)=藝k入e-九=打-九藝人-1=打k! (k-1)!k=0 k=1方差：E&)=藝m2九宀藝m九"4+九m! (m—1)!m=0 m=1???D(?=九例1一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過(guò)去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)入=5的泊松分布來(lái)描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問(wèn)商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？解：設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為X,已知X服從參數(shù)入=5的泊松分布.設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)某種商品m件，求滿足P(Xm)>0.95的最小的m。P(X<m)=藝比e-5>0.95k!k=09e-55k 8e-55kTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"通過(guò)查表可得乙- ".96&乙- ".932\o"CurrentDocument"k! k!k=0 k=0因此，m=9例：設(shè)某城市每年因交通事故死亡的人數(shù)服從普哇松分布，據(jù)統(tǒng)計(jì)在一年中交通事故死亡一人的概率是死亡兩人概率的0.5倍，計(jì)算一年中因交通事故至少死亡3人的概率。解：X表示一年中因交通事故死亡的人數(shù)。由此X服從參數(shù)九的普哇松分布九kX?P{X==} e-九，k=0,1,2,...k!P(X=1)=-P(X=2) Xe-x=-蘭e-xX=4222P(X>3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=0.323323五、幾何分布例：某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率為p，求所需

射擊發(fā)數(shù)X的概率函數(shù)。解：顯然，X的可能取值為1,2,為計(jì)算PX=k)，設(shè)A=｛第k發(fā)命中｝,k=1,2,kP(X=1)=P(A)=p；P(X=2)=P(AA)=-p(1)p；112P(X=3)=P(AAA)=ppL-)2,…123P(X=k)=p(1—p)k-1,k=1,2,這就是所需射擊發(fā)數(shù)X的概率函數(shù)。若隨機(jī)變量的概率函數(shù)如上式，則稱X具有幾何分布。定義：在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為P，設(shè)X為直到A發(fā)生為止所進(jìn)行的試驗(yàn)的次數(shù)，(X的可能取值為全體正整)，P(X=k)==pqk—=p(1—p)k-1,k=1,2,則稱X服從參數(shù)為p的幾何分布.期望和方差EX=藝kqk-1p=p藝kqk-1k=1 k=1令S令S=藝kqk-1=1+2q+3q2+4q3+1k=1qS= kq-1薩硏2q+3q+4q+1k=1(1-q(1-q)S=1+-q q2+1S=1S 1p2EX=丄p同理驗(yàn)證EX2同理驗(yàn)證EX2= +—p2pp2例：設(shè)X服從幾何分布，則對(duì)任何兩個(gè)正整數(shù)m,n，有???P(X>m+nX>m)=P(X>n)證明：P(Xm>)證明：P(Xm>)=￡?qk-1p=pkm=+1qm1-q=qmr?/AZ AZ、P(X〉m+n)qm+nP(X〉m+〉《Xm)= = =qn=P(X〉n)P(X〉m) m該性質(zhì)稱為幾何分布的無(wú)記憶性，指幾何分布對(duì)過(guò)去的m次失敗的信息在后面的計(jì)算中被遺失了。六、超幾何分布例1某班有學(xué)生20名，其中有5名女同學(xué)，今從班上任選4名學(xué)生去參觀展覽，被選到的女同學(xué)數(shù)g是一個(gè)隨機(jī)變量，求g的分布。解g可以取0,1,2,3,4這5個(gè)值，CkC4kP(=k)=^4^ (k=0,l,2,3,4)C420計(jì)算結(jié)果列成概率分布表如下:g01234p0.28170.46960.21670.03100.0010例：一個(gè)袋子中裝有N個(gè)球，其中N個(gè)白球，N個(gè)黑球(N+N=N)，從中不放回的l 2 l2取了n個(gè)球，求取到白球數(shù)X的分布。解：CkCnkP(X=k)= ,k=0,1,,nCnN1?定義：設(shè)N個(gè)元素分為兩類，有N個(gè)屬于第一類，N個(gè)屬于第二類(N+N=N)。1212從中按不重復(fù)抽樣取n個(gè)，令X表示這n個(gè)中第一(或二)類元素的個(gè)數(shù)，則X的分布稱為超幾何分布。其概率函數(shù)是CkCnkP(X=k)=叫N,k=0,1, ,nCnN當(dāng)nN(即抽取個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于總數(shù)N)每次抽取后，總體中p=善改變很小，這時(shí)不放回抽樣等同于放回抽樣，?即超幾何分布可近似為二項(xiàng)分布。CCknkkP(X=k)=N1_TCkpkqn-kCn nN1+N2例3 —大批種子的發(fā)芽率為90%，今從中任取10粒，求播種后，(1)恰有8粒發(fā)芽的概率；(2)不少于8粒發(fā)芽的概率。解設(shè)10粒種子中發(fā)芽的種子數(shù)目為X。因10粒種子是由一大批種子中抽取的，這是一個(gè)N很大，n相對(duì)于N很小的情況下的超幾何分布問(wèn)題，可用二項(xiàng)分布公式近似計(jì)算。X~(B10,0.9)(1)P(X=8)=C8X0.98X0.12U0.193710

(2)P(X>8)=C8x0.98x0.12+C9x09x0.11+O9o沁0.92981010期望和方差EgEg=nDg5蟲￡旦NNN-1§4.1常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布一、均勻分布例：某辦事員處理一份護(hù)照申請(qǐng)書，時(shí)間X(單位：分)是一連續(xù)型隨機(jī)變量，若X的概率密度有如下形式：f(f(x)=c,4<x<60,其他這表明，辦一份護(hù)照申請(qǐng)書的時(shí)間至少4分鐘，至多6分鐘，c為待定常數(shù)。解：由f(x)為X的概率密度，則有f(x)>0即c>0J+8f(x)dx=1即J6cdx=1c=^24見圖形：f(x0.50 4 6x現(xiàn)求4-4.5，5-5.5間處理一份護(hù)照申請(qǐng)書的概率，即為圖中這兩個(gè)區(qū)間的面積P(4<X<4.5)=0.5xA0.25 P(5<X<5.5)=0.X丄 0.2522由此，可知這兩個(gè)概率相等。從圖中可看出，底邊相等的矩形面積，即X在兩個(gè)相等區(qū)間上取值機(jī)會(huì)也相同，即體現(xiàn)了均勻的含義，且稱這樣的分布為均勻分布。1?定義：一個(gè)隨機(jī)變量X，如果其概率密度函數(shù)為

,a<x<b 「if(x)=sb-a ，稱X服從La,b」上的均勻分布，記為X?U(a,b)0,其他服從均勻分布的X,具有一種等可能性，即它落入[a,b」中任意等長(zhǎng)度的子區(qū)間的可能性相同，或者說(shuō)它落入等長(zhǎng)度區(qū)間內(nèi)的概率相同，與區(qū)間位置無(wú)關(guān)。即P(c<X<c+1)=Jc+lf(x)dx=Jc+l dx=-—c cb-a b-a0,x<ax—a分布函數(shù)：F(x)={ ,a<x<bb—ax>b2.期望和方差EXa+EXa+bDX=(b-a)2vT~學(xué)生練習(xí)證明)應(yīng)用和計(jì)算均勻分布的應(yīng)用如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五入，小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差；公交線路上兩輛公共汽車前后通過(guò)某汽車停車站的時(shí)間，即乘客的候車時(shí)間等.例1某公共汽車站從上午7時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班車，即7:00，7:15，7:30,7:45等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間X是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量,試求他候車時(shí)間少于5分鐘的概率。解：以7:00為起點(diǎn)0，以分為單位依題意，X?U(0,30)—,0<x<30f(x)=\30、0,其它從上午7時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班車，即7:00，7:15，7:30等時(shí)刻有汽車到達(dá)汽車站，為使候車時(shí)間X少于5分鐘，乘客必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達(dá)車站。所求概率為：P{10<X<15}+<°{25X<30}=卜丄dx+J30Xdx=-1030 2530 3即乘客候車時(shí)間少于5分鐘的概率是1/3。二、指數(shù)分布1.定義若隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=]0"人x"0，其中九〉0，貝y稱x服從參數(shù)為九的指數(shù)分布.I0x<0易知+f(X)d=Xdx=+易知+f(X)d=Xdx=+eXd(0X)=o=1它的分布函數(shù)為F(X)=P(XX)=1e0時(shí)0時(shí)對(duì)任何實(shí)數(shù)a,bF(X)=P(XX)=1e0時(shí)0時(shí)對(duì)任何實(shí)數(shù)a,b(0<a〈b)有P(a〈X〈b)=baeXdX=eb=e期望和方差E(X)XeXdXxdexeE(X)XeXdXxdexedx應(yīng)用指數(shù)分布常用來(lái)作為各種“壽命”分布的近似。如隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間，某些消耗性產(chǎn)品(電子元件等)的壽命等等，都常被假定服從指數(shù)分布。假若產(chǎn)品的失效率為久，則產(chǎn)品在t(t〉0肘間失效的分布函數(shù)：F(t)=P(Xt)=1et而產(chǎn)品的可靠度為：R(t)二P(X>t)=lF(t)二et例：某元件壽命X服從參數(shù)為(1=1000)的指數(shù)分布。3個(gè)這樣的元件使用1000小時(shí)后，都沒(méi)有損壞的概率是多少？解：參數(shù)為的指數(shù)分布的分布函數(shù)為F(X)=P(XX)=1e1000P(X>1000)=1P(X1000)=1F(1000)=e1各元件壽命相互獨(dú)立，因此3個(gè)這樣的元件使用1000小時(shí)都未損壞的概率為[P(X1000)]3=[e1]3=e03 .05例?電子元件的壽命F(年)服從參數(shù)為3的指數(shù)分布求該電子元件壽命超過(guò)2年的概率。已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩年的概率為多少？解：(X)3e3XX0解：(X)3e3XX00X0,(1)p{X 2}3e3XdX2e3Xd(3X)e3x=e6,.23e-3xdxp{X>3.5,X>3e-3xdx(2)p{X>3.51X>1.5}= =^5 =e-6p{X>1.5} f3力3e-3xdx1.5由這個(gè)例子，可以看出P(X>a+1X>a)=P(X>t)這表明，已知壽命長(zhǎng)于a年，則再活t年的概率與年齡無(wú)關(guān)，故又可將指數(shù)分布稱為“永遠(yuǎn)年青”的分布。實(shí)際應(yīng)用與保險(xiǎn)中。三、正態(tài)分布正態(tài)分布是實(shí)踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計(jì)中占有特別重要的地位。它是由十九世紀(jì)前葉數(shù)學(xué)家高斯加以推廣，所以也稱為高斯分布。許多事件問(wèn)題中的變量，如年降雨量,在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度和張力；某地區(qū)成年男子的身高、體重；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長(zhǎng)、株高；測(cè)量誤差，射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號(hào)噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布.即具有“中間大、兩頭小”的特點(diǎn)。正態(tài)分布的定義及圖形特點(diǎn)m 1-(x-m 1-(x-P)2叭X=冇e-2^2，—g<<X g其中卩和b2都是常數(shù)，卩任意，b>0，則稱X服從參數(shù)為卩和b2的正態(tài)分布。記作X?N(P,b2)9(x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.f 1 _(x-卩)2可以證明f e2b2dx=h-gbj2兀證明思路：x-u做變量替換證明思路：x-u做變量替換t=b即證I=fge-2dt=、：'2兀-gtt=rcos0

u=rsin02.圖形特點(diǎn)：先證12=fge-2dtfge-2du=ffgge-(t2+u2)/2dtdu=2兀-g -g -gg-轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)：12=f2兀d0fge-2rdr=2兀00正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于也對(duì)稱世鐘形形曲線，特點(diǎn)是“兩頭小，中間大，左右對(duì)稱”。1)對(duì)任意的h，P(—h<XA)(= <X<+h)2)當(dāng)x=.時(shí)，?(x)取最大值P(⑴二馬X距卩越遠(yuǎn)，f(x)值越小，這表明，對(duì)同樣的長(zhǎng)度區(qū)間，當(dāng)區(qū)間離卩越遠(yuǎn)，X落在該區(qū)間上的概率越小卩決定了圖形的中心位置，b決定了圖形中峰的陡峭程度。Q越大，曲線越平坦，b越小，曲線越陡峻,。分布函數(shù)設(shè)X?N(P,b2)，它的分布函數(shù)為:1-_(―卩)2①& Jxe_2b2dt,_8<<xgb\/廠一g期望和方差EX=HDX=b2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布卩=0,b=1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用P(x)和①(x)表示00x2申x2申(X= e2,-g<x<go 2兀①(x)=^=Jxe-2dt0 2兀-g記作X?N(0,1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。它的依據(jù)是下面的定理：書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。它的依據(jù)是下面的定理：書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表.①⑴=(D.8413, (1.64)=09495, (0)=0.5000表中給出x>0的概率值，當(dāng)x<0,該如何查表？由圖形可知，①(一=)1—①(>00①(—1)=1—①⑴=1—0.8413=0.158700例1：設(shè)X?N(0,1),求(l)P(X<1.96),P(XX-1.96),P(I|<1.96),P(-1 X<2)(2)已知PX<a)=0.7019,P()X|<b=0.9242,P(X<c)=0.2981，求a,b,c解：(1)P(X<1.96)=O(1.96)=0.9750P(X<—1.96)=O(—1.96)=1—①(1.96)=1—0.975=0.02500P(IX<1.96)=P(—1.96<X<1.96)=O(1.96)—①(—1.96)=2①(1.96)—1=0.951000P(—1<X<2)=O(2)—①(—1)=O(2)+①(1)—1=0.81850000

(2)杳表得①(a)=0.7019a=0.530P()X|<b=P(—b<X<b)=O(b)—①(_b)=2①(b)-1=0.9242000①(b)=0.9621,b=1.780①(c)=1—①(—c)=(D.2981, (—c)=0.7019c=—0.53000總結(jié)：若X?N(0,1)P(a<X<b)=O(b)一①(a)00P(|XI<b)=P(—b<X<b)=2%(b)—1一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系定理如果LN(H°2q,?N(0,12)其概率密度分別記為g)及營(yíng))，分布函數(shù)分別記為%(x及①0(x(2)%(x)=%0證明：(1)2G證明：(1)2G21 1 —1古町2= e2Jo丿◎*2兀1=—9o09(x)詁90(2)①x)R?<x)=Jx丄1e-需2dt令尸空J(rèn)才Je—；7y-C2兀 Z&⑴=①(泄)???①(x))0o 0ox—u定理：設(shè)X?N(y,◎2)，則Y=—— ?N(0,1)o稱隨機(jī)變量函數(shù)Y=(X^為標(biāo)準(zhǔn)化變換。o根據(jù)定理1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題.證：F(x)=P(Y<x)=P(X-U<x)=P(X<ox+y)=%(◎x+U)Yoox+UP=%(—— )=%(x)0o 0Y?N(0,12)例：X?N(8,0.52),求P(|X—8| 1)及P(X<0)解：P(解：P(lX—81)=PII晉2=2①(2)—1=2x0.97725-1=0.95450X—8X?N(8,0.52) .??-05?N(o,12)IX—8 1o—8、P(X10)=PI 二①(4)=0.99996833Q*(0.* 0.5丿0Q*ERE t 求及例：?N(,2),P(<—5)=0.045,P(<3)=0.618,求卩及◎。解：P(E<-5)=0(三芒)=0.045①(空)=0(-土^)=1O(土^)=0.045解：0。 0Q0Q 0O0(50卩0(50卩)=1-0.0450=.955P(E<3)=O13-門0〔F=0.618pp=0.8Q=4Q上上=0.3、QX—u總結(jié):VX?N(U,Q2),Y=-Q?N(0,1)P(a<X<b)=P(畔<Y<)=O(畔)—O(畔)Q Q 0Q 0Q3Q準(zhǔn)則由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得當(dāng)X?N(0,1)P(|X|<1)2①°(1)—1