廣東省汕頭市第四中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

廣東省汕頭市第四中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.定義運(yùn)算為執(zhí)行如圖所示的程序框圖輸出的s值，則的值為（

）A．4

B．3

C．2

D．―1參考答案：A易知，所以。2.將某正方體工件進(jìn)行切削，把它加工成一個(gè)體積盡可能大的新工件，新工件的三視圖如圖1所示，則原工件材料的利用率為〔材料的利用率

A、

B、

C、

D、參考答案：C如圖1，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則切削部分為三棱錐，其體積為，又正方體的體積1，則剩余部分（新工件）的體積為，故選C.3.若點(diǎn)在直線上，則的最小值是 （

）A．2 B． C．4 D．參考答案：A4.直線的傾斜角的取值范圍是（

）A.

B.C.

D.

參考答案：B5.對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù),定義某種運(yùn)算“※”如下:當(dāng)都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時(shí),※;當(dāng)中一個(gè)為正偶數(shù),另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí),※．則在此定義下,集合※中的元素個(gè)數(shù)是

(

)A．10個(gè) B．15個(gè) C．16個(gè) D．18個(gè)參考答案：B6.在△ABC中，A，B，C成等差數(shù)列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的（）A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點(diǎn)】29：充要條件．【分析】由A，B，C成等差數(shù)列即可得到B=60°，而根據(jù)余弦定理即可得到a2+c2﹣b2=ac，這樣即可求得（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac，這就說(shuō)明A，B，C成等差數(shù)列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的充分條件；而由（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac，便可得到a2+c2﹣b2=ac，從而根據(jù)余弦定理求出B=60°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°即可說(shuō)明B﹣A=C﹣B，即得到A，B，C成等差數(shù)列，這樣即可找出正確選項(xiàng)．【解答】解：（1）如圖，若A，B，C成等差數(shù)列：2B=A+C，所以3B=180°，B=60°；∴由余弦定理得，b2=a2+c2﹣ac；∴a2+c2﹣b2=ac；∴（b+a﹣c）（b﹣a+c）=b2﹣（a﹣c）2=b2﹣a2﹣c2+2ac=﹣ac+2ac=ac；即（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac；∴A，B，C成等差數(shù)列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的充分條件；（2）若（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac，則：b2﹣（a﹣c）2=b2﹣a2﹣c2+2ac=ac；∴a2+c2﹣b2=ac；由余弦定理：a2+c2﹣b2=2ac?cosB；∴；∴B=60°；∴60°﹣A=180°﹣（A+60°）﹣60°；即B﹣A=C﹣B；∴A，B，C成等差數(shù)列；∴A，B，C成等差數(shù)列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的必要條件；∴綜上得，A，B，C成等差數(shù)列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的充要條件．故選：C．7.已知圓（x－1）2＋（y－3）2＝r2（r>0）的一條切線y＝kx＋與直線x＝5的夾角為，則半徑r的值為

A．

B．

C．

或

D．或參考答案：C8.若P（2，﹣1）為圓（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程是（） A．x﹣y﹣3=0 B． 2x+y﹣3=0 C． x+y﹣1=0 D． 2x﹣y﹣5=0參考答案：A略9.函數(shù)f(x)＝x2－3x－4的零點(diǎn)是 ()A．(1，－4) B．(4，－1)C．1，－4

D．4，－1參考答案：D10.兩條平行直線和圓的位置關(guān)系定義為：若兩條平行直線和圓有四個(gè)不同的公共點(diǎn)，則稱兩條平行線和圓“相交”；若兩平行直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱兩條平行線和圓“相離”；若兩平行直線和圓有一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)不同的公共點(diǎn)，則稱兩條平行線和圓“相切”．已知直線相切，則a的取值范圍是（

） A． B．C．-3≤a≤一或≤a≤7

D．a(chǎn)≥7或a≤—3參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，已知，，則

參考答案：10。由得到。所以（舍）或。又，從而。12.設(shè)

則=

參考答案：13.在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且，當(dāng)tan(A-B)取最大值時(shí)，角B的值為

參考答案：14.的展開(kāi)式中的系數(shù)為12，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)____參考答案：1

略15.若a，b∈R+，4a+b=1，則的最小值為．參考答案：9【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】根據(jù)題意，分析可得=（4a+b）（）=5++，由基本不等式分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，=（4a+b）（）=5++≥5+2=9，即的最小值為9；故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的應(yīng)用，解題時(shí)要注意等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題．16.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式

．參考答案：17.在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若，則△ABC周長(zhǎng)的最大值為

.參考答案：6三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖4，是平行四邊形，已知，,平面平面.（Ⅰ）證明：（Ⅱ）若，求平面與平面所成二面角的平面角的余弦值.參考答案：（Ⅰ）∵是平行四邊形，且∴，故，即

（1分）取BC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，∵，∴

（2分）又∵平面平面，∴平面

（3分）∵平面，∴

（4分）∵平面，∴平面，

（5分）∵平面，∴

（6分）（Ⅱ）∵,由（Ⅰ）得

（7分）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，則

∴

（8分）設(shè)平面的法向量為，則，即

得平面的一個(gè)法向量為

（10分）由（Ⅰ）知平面，所以可設(shè)平面的法向量為

（11分）設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，則

即平面與平面所成二面角的平面角的余弦值為.（12分）

19.（本小題滿分12分）已知向量,設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期;(2)已知分別為三角形ABC的內(nèi)角對(duì)應(yīng)的三邊長(zhǎng),A為銳角,,，且恰是函數(shù)在上的最大值,求A,b和三角形ABC的面積.參考答案：（1）

4分因?yàn)?，所以最小正周?

6分（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，.由正弦函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值，又為銳角所以.

8分由余弦定理得，所以或

經(jīng)檢驗(yàn)均符合題意.

10分從而當(dāng)時(shí)，△的面積；

11分當(dāng)時(shí)，.

12分20.為圓周率，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求，，，，，這6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)；參考答案：略21.已知復(fù)數(shù)，又，而u的實(shí)部和虛部相等，求u．參考答案：【考點(diǎn)】A7：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算；A2：復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】由條件求出u=i（a﹣bi）=b+ai，可得，解出a、b的值，即可得到u．【解答】解：∵，∴u=i（a﹣bi）=b+ai．∴，…（6分）∴a=b=1或a=b=﹣1，∴u=1+i或u=﹣1﹣i…（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．22.已知函數(shù)f（x）=（x2﹣3x+3）?ex，設(shè)t＞﹣2，f（﹣2）=m，f（t）=n．（1）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[﹣2，t]上為單調(diào)函數(shù)；（2）試判斷m，n的大小并說(shuō)明理由；（3）求證：對(duì)于任意的t＞﹣2，總存在x0∈（﹣2，t），滿足，并確定這樣的x0的個(gè)數(shù)．參考答案：解：（1）因?yàn)閒′（x）=（2x﹣3）ex+（x2﹣3x+3）ex，由f′（x）＞0?x＞1或x＜0，由f′（x）＜0?0＜x＜1，∴函數(shù)f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，要使函數(shù)f（x）在[﹣2，t]上為單調(diào)函數(shù)，則﹣2＜t≤0，（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，所以f（x）在x=1處取得極小值e，又f（﹣2）=13e﹣2＜e，所以f（x）在[2，+∞）上的最小值為f（﹣2），從而當(dāng)t＞﹣2時(shí)，f（﹣2）＜f（t），即m＜n，（3）證：∵，∴，即為x02﹣x0=，令g（x）=x2﹣x﹣，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明方程g（x）==0在（﹣2，t）上有解并討論解的個(gè)數(shù)，因?yàn)間（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t（t﹣1）﹣=，所以當(dāng)t＞4或﹣2＜t＜1時(shí)，g（﹣2）?g（t）＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，當(dāng)1＜t＜4時(shí)，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=﹣＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且有兩解，當(dāng)t=1時(shí)，g（x）=x2﹣x=0，解得x=0或1，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有且只有一解，當(dāng)t=4時(shí)，g（x）=x2﹣x﹣6=0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上也有且只有一解，綜上所述，對(duì)于任意的t＞﹣2，總存在x0∈（﹣2，t），滿足，且當(dāng)t≥4或﹣2＜t≤1時(shí)，有唯一的x0適合題意，當(dāng)1＜t＜4時(shí)，有兩個(gè)x0適合題意考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．專題：綜合題．分析：（Ⅰ）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定t的取值范圍，（Ⅱ）運(yùn)用函數(shù)的極小值進(jìn)行證明，（Ⅲ）首先對(duì)關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判定．解答：解：（1）因?yàn)閒′（x）=（2x﹣3）ex+（x2﹣3x+3）ex，由f′（x）＞0?x＞1或x＜0，由f′（x）＜0?0＜x＜1，∴函數(shù)f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，要使函數(shù)f（x）在[﹣2，t]上為單調(diào)函數(shù)，則﹣2＜t≤0，（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，所以f（x）在x=1處取得極小值e，又f（﹣2）=13e﹣2＜e，所以f（x）在[2，+∞）上的最小值為f（﹣2），從而當(dāng)t＞﹣2時(shí)，f（﹣2）＜f（t），即m＜n，（3）證：∵，∴，即為x02﹣x0=，令g（x）=x2﹣x﹣，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明方程g（x）==0在（﹣2，t）上有解并討論解的個(gè)數(shù)，因?yàn)間（﹣2）=6﹣（t﹣1）2=﹣，g（t）=t（t﹣1）﹣=，所以當(dāng)t＞4或﹣2＜t＜1時(shí)，g（﹣2）?g（t）＜0，所以g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，當(dāng)1＜t＜4時(shí)，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=﹣＜0，所以g（x）=0在（﹣2，