2018屆數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題三平面向量、三角函數(shù)、三角形課時(shí)作業(yè)（八）三角變換與解三角形理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE13學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時(shí)作業(yè)(八）三角變換與解三角形1．（2017·陜西省高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（一))設(shè)角θ的終邊過(guò)點(diǎn)（2，3)，則taneq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（θ－\f(π，4)）)＝（）A.eq\f(1，5)B．－eq\f（1,5)C．5D．－5解析：由于角θ的終邊過(guò)點(diǎn)（2，3），因此tanθ＝eq\f(3,2），故taneq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ－\f（π，4)）)＝eq\f（tanθ－1,1＋tanθ）＝eq\f(\f（3,2）－1,1＋\f(3，2）)＝eq\f（1,5),選A。答案：A2．已知sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π，6)－α)）＝coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π，6）＋α)），則cos2α＝（）A．1B．－1C。eq\f(1,2)D．0解析：因?yàn)閟ineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π，6)－α））＝coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π,6）＋α）),所以eq\f（1,2）cosα－eq\f(\r(3）,2）sinα＝eq\f(\r（3），2）cosα－eq\f(1,2）sinα，即eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）－\f(\r（3），2））)sinα＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2)－\f（\r(3）,2)））cosα，所以tanα＝eq\f（sinα，cosα）＝－1,所以cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α）＝eq\f(1－tan2α,tan2α＋1）＝0.答案：D3．(2017·合肥市第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosC＝eq\f(2\r（2），3)，bcosA＋acosB＝2，則△ABC的外接圓面積為（)A．4πB．8πC．9πD．36π解析：c＝bcosA＋acosB＝2，由cosC＝eq\f（2\r（2)，3)得sinC＝eq\f（1，3)，再由正弦定理可得2R＝eq\f（c，sinC）＝6,所以△ABC的外接圓面積為πR2＝9π，故選C.答案：C4．△ABC中，a＝eq\r（5)，b＝eq\r（3)，sinB＝eq\f（\r（2），2)，則符合條件的三角形有(）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．0個(gè)解析：∵asinB＝eq\f(\r（10)，2），∴sinB〈b＝eq\r(3)〈a＝eq\r(5)，∴符合條件的三角形有2個(gè)．答案：B5．已知coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(θ－\f（π，6）)）＋sinθ＝eq\f(4\r(3）,5),則sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（θ＋\f（7π，6))）的值是（）A.eq\f（4,5）B。eq\f（4\r(3)，5)C．－eq\f(4,5)D．－eq\f（4\r（3）,5）解析：因?yàn)閏oseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(θ－\f(π，6）))＋sinθ＝eq\f(4\r(3),5),所以eq\f(\r(3），2）cosθ＋eq\f（3,2）sinθ＝eq\f(4\r(3），5），即eq\r(3)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）cosθ＋\f(\r（3),2）sinθ）)＝eq\f(4\r(3)，5），即eq\r（3)sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ＋\f(π，6）))＝eq\f（4\r(3),5），所以sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(θ＋\f（π，6)))＝eq\f(4，5)，所以sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(θ＋\f(7π,6））)＝－sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ＋\f(π，6）))＝－eq\f（4，5)。故選C。答案：C6．若sin2α＝eq\f（\r(5），5)，sin(β－α）＝eq\f(\r（10)，10)，且α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π，4）,π）)，β∈eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（π，\f(3π，2)))，則α＋β的值是（）A。eq\f(7π,4）B。eq\f(9π，4）C。eq\f（5π，4)或eq\f（7π，4）D.eq\f(5π，4）或eq\f（9π,4)解析：因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f（π，4），π))，所以2α∈eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（π，2）,2π）),又sin2α＝eq\f(\r(5）,5），故2α∈eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f（π,2)，π）)，α∈eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f（π,4），\f（π，2))),所以cos2α＝－eq\f(2\r（5），5）。又β∈eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（π，\f(3π,2））），故β－α∈eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（π，2），\f(5π,4)))，于是cos(β－α）＝－eq\f（3\r(10）,10)，所以cos(α＋β）＝cos[2α＋（β－α)］＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin（β－α）＝－eq\f(2\r（5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（3\r（10），10)）)－eq\f（\r(5)，5）×eq\f（\r(10),10)＝eq\f（\r(2)，2），且α＋β∈eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f（5π,4)，2π)），故α＋β＝eq\f（7π,4）。答案:A7．(2017·張掖市第一次診斷考試)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a，b，c，若c＝2a，bsinB－asinA＝eq\f(1，2)asinC，則sinB為()A。eq\f（\r(7)，4)B。eq\f（3，4)C.eq\f(\r(7)，3）D。eq\f(1，3）解析:由bsinB－asinA＝eq\f(1，2)asinC，且c＝2a，得b＝eq\r（2）a，∵cosB＝eq\f（a2＋c2－b2,2ac）＝eq\f（a2＋4a2－2a2，4a2）＝eq\f（3,4),∴sinB＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3,4）））2）＝eq\f(\r(7)，4).答案：A8．△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b,c，已知cos（A－C）＋cosB＝1，a＝2c。則C＝（）A.eq\f(π，6)或eq\f（5π,6)B。eq\f（π，6）C.eq\f（π，3)或eq\f（2π,3）D。eq\f(π，3）解析：cos(A－C）＋cosB＝1，故cos(A－C）－cos(A＋C)＝1,2sinAsinC＝1.又由已知a＝2c，根據(jù)正弦定理得，sinA＝2sinC，∴sinC＝eq\f(1，2）,∴C＝eq\f（π，6)或eq\f(5π，6).∵a>c，∴A>C，∴C＝eq\f(π,6).答案：B9．在△ABC中角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b,c，已知4sin2eq\f(A＋B，2)－cos2C＝eq\f（7，2）,且a＋b＝5，c＝eq\r(7)，則△ABC的面積為()A。eq\f(3\r(3），2)B.eq\f（\r（3），2)C.eq\f(\r(3）,4）D.eq\f（3\r(3）,4)解析：因?yàn)?sin2eq\f(A＋B，2）－cos2C＝eq\f（7,2)，所以2［1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1＝eq\f（7,2），2＋2cosC－2cos2C＋1＝eq\f(7,2)，cos2C－cosC＋eq\f（1,4）＝0，解得cosC＝eq\f(1，2),由于0〈C〈π,故sinC＝eq\f(\r（3），2).根據(jù)余弦定理有cosC＝eq\f(1，2)＝eq\f(a2＋b2－7,2ab）,ab＝a2＋b2－7，3ab＝a2＋b2＋2ab－7＝(a＋b）2－7＝25－7＝18，ab＝6。所以S＝eq\f(1，2）absinC＝eq\f（1,2）×6×eq\f(\r(3），2）＝eq\f（3\r(3），2)。答案:A10．（2017·咸陽(yáng)二模)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b,c，且eq\f（a2,sin2A)＋eq\f（b2,sin2B)＝2c2，sinA(1－cosC)＝sinBsinC，b＝6，AB邊上的點(diǎn)M滿足eq\o（AM,\s\up10（→））＝2eq\o(MB,\s\up10(→)），過(guò)點(diǎn)M的直線與射線CA,CB分別交于P，Q兩點(diǎn)，則MP2＋MQ2的最小值是（）A．36B．37C．38D．39解析：由正弦定理，知eq\f（a2，sin2A)＋eq\f（b2，sin2B）＝2c2，即2＝2sin2C,∴sinC＝1，C＝eq\f(π，2)，∴sinA（1－cosC）＝sinBsinC，即sinA＝sinB,∴A＝B＝eq\f（π，4）.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則M（2，4），設(shè)∠MPC＝θ，θ∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0,\f（π，2）)），則MP2＋MQ2＝eq\f(16,sin2θ）＋eq\f(4,cos2θ）＝（sin2θ＋cos2θ）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（16，sin2θ)＋\f(4,cos2θ））)＝20＋4tan2θ＋eq\f（16，tan2θ）≥36，當(dāng)且僅當(dāng)tanθ＝eq\r(2)時(shí)等號(hào)成立,即MP2＋MQ2的最小值為36.答案：A11．(2017·長(zhǎng)沙市統(tǒng)一模擬考試)化簡(jiǎn)：eq\f（2sinπ－α＋sin2α,cos2\f（α，2））＝________。解析：eq\f(2sinπ－α＋sin2α,cos2\f（α，2）)＝eq\f(2sinα＋2sinαcosα,\f（1，2)1＋cosα)＝eq\f（4sinα1＋cosα,1＋cosα)＝4sinα.答案：4sinα12．(2017·新疆第二次適應(yīng)性檢測(cè)）eq\f（cos10°1＋\r(3）tan10°,cos50°)的值是________．解析:依題意得eq\f（cos10°1＋\r(3)tan10°，cos50°)＝eq\f(cos10°＋\r(3)sin10°,cos50°)＝eq\f（2sin10°＋30°,cos50°）＝eq\f(2sin40°,sin40°)＝2.答案:213．（2017·課標(biāo)全國(guó)Ⅲ）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b，c.已知C＝60°,b＝eq\r(6),c＝3，則A＝________.解析：由正弦定理，得eq\f（3,sin60°）＝eq\f(\r（6),sinB)，∴sinB＝eq\f(\r（2)，2）。又∵c＞b，∴B＝45°，∴A＝180°－60°－45°＝75°。答案:75°14．如圖，一棟建筑物的高為(30－10eq\r（3))m,在該建筑物的正東方向有一個(gè)通信塔CD.在它們之間的地面點(diǎn)M(B，M，D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A,塔頂C的仰角分別為15°和60°，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°,則通信塔CD的高為_(kāi)_______m.解析：在Rt△ABM中，AM＝eq\f（AB，sin∠AMB）＝eq\f(30－10\r（3）,sin15°)＝eq\f(30－10\r(3)，sin45°－30°）＝eq\f(30－10\r(3），\f(\r(6)－\r(2），4））＝20eq\r(6）.易知∠MAC＝30°＋15°＝45°,又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，從而∠ACM＝30°。在△AMC中，由正弦定理得eq\f(MC,sin45°)＝eq\f（20\r（6)，sin30°）,解得MC＝40eq\r（3)。在Rt△CMD中，CD＝MC×sin60°＝60，故通信塔CD的高為60m答案：6015．（2017·北京卷）已知函數(shù)f(x)＝eq\r（3）coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2x－\f(π,3))）－2sinxcosx。（1）求f(x)的最小正周期;(2)求證:當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（－\f(π,4），\f（π，4)))時(shí)，f(x)≥－eq\f(1,2）。解析：(1)f（x）＝eq\f(\r(3)，2）cos2x＋eq\f(3，2）sin2x－sin2x＝eq\f（1，2)sin2x＋eq\f（\r(3)，2)cos2x＝sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2x＋\f(π,3)）)，所以f(x)的最小正周期T＝eq\f（2π,2）＝π.(2）證明:因?yàn)椋璭q\f（π,4）≤x≤eq\f(π，4），所以－eq\f（π，6）≤2x＋eq\f(π，3)≤eq\f（5π，6），所以sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2x＋\f（π,3）））≥sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（π,6）)）＝－eq\f(1,2),所以當(dāng)x∈eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(－\f（π，4)，\f（π,4）))時(shí)，f(x）≥－eq\f（1，2）.16．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知eq\f（a＋c,b)＝2sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(C＋\f(π，6）））。（1)求B；（2)若b＝2eq\r(7),△ABC的面積S＝3eq\r(3)，求a＋c的值．解析:(1）由已知得a＋c＝2bsineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（C＋\f(π,6）)),由正弦定理知sinA＋sinC＝2sinBeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（sinCcos\f(π,6)＋cosCsin\f(π，6)）)，即sin(B＋C)＋sinC＝sinB（eq\r(3）sinC＋cosC),整理得eq\r（3）sinBsinC－cosBsinC＝sinC，因?yàn)閟inC>0，所以eq\r（3)sinB－cosB＝1，即sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(B－\f（π，6)))＝eq\f(1，2)，因?yàn)锽∈(0，π）,所以B＝eq\f(π，3）.（2)由（1）知B＝eq\f（π,3），從而S＝eq\f(1,2）acsinB＝eq\f(1，2）acsineq\f（π，3）＝eq\f(\r(3),4)ac＝3eq\r（3)，所以ac＝12.由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac＝(a＋c）2－3ac＝(a＋c）2－3×12＝(a＋c)2－36，故（a＋c)2＝b2＋36＝(2eq\r（7)）2＋36＝64，所以a＋c＝8。17．（2017·全國(guó)卷Ⅲ）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c。已知sinA＋eq\r（3)cosA＝0，a＝2eq\r(7),b＝2.(1）求c；(2）設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC,求△ABD的面積．解析:（1）由已知可得tanA＝－eq\r（3），所以A＝eq\f（2π，3)。在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccoseq\f(2π,3），即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去),c＝4。(2)由題設(shè)可得∠CAD＝eq\f(π，2)，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝eq\f（π，6)。故△ABD面積與△ACD面積的比值為eq\f(\f(1,2）AB·AD·sin\f（π,6），\f（1，2）AC·AD)＝