2018屆數(shù)學大復習第七章立體幾何第五節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE21-學必求其心得，業(yè)必貴于專精第五節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆考綱要求真題舉例命題角度1。以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線、面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題。2016，全國卷Ⅰ，18（1），6分(證明面面垂直)2016，全國卷Ⅱ，19（1），6分(證明線面垂直)2015,全國卷Ⅰ,18（1),6分（證明面面垂直）2013，全國卷Ⅰ，18(1)，6分（證明線線垂直）1。直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)是高考中的重點考查內(nèi)容，涉及線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定及其應用等內(nèi)容;2.題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，解題要求有較強的推理論證能力，廣泛應用轉(zhuǎn)化與化歸的思想.微知識小題練自|主|排|查1．直線與平面垂直(1）直線和平面垂直的定義：直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,就說直線l與平面α互相垂直。（2）直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理：文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（a⊥αb⊥α)）?a∥b2．平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1(l?βl⊥α））?α⊥β性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直微點提醒1．在空間中垂直于同一直線的兩條直線不一定平行，還有可能異面、相交等。2．使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，就垂直于這個平面”。3．判斷線面關(guān)系時最容易漏掉線在面內(nèi)的情況。小|題｜快｜練一、走進教材1．(必修2P73A組T1A．如果平面α⊥平面β,且直線l∥平面α，則直線l⊥平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βD．如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β＝l,那么l⊥γ【解析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì),知A不正確，直線l可能平行平面β，也可能在平面β內(nèi)。故選A.【答案】A2．（必修2P69練習題)如圖,正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2,G2G3的中點,D是EF的中點，現(xiàn)在沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G1，G2，G3三點重合，重合后的點記為G，則在四面體A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF【解析】解法一:在正方形SG1G2G3中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，在四面體SEFG中，SG⊥GE，SG⊥GF,GE∩GF＝G,所以SG解法二：GF即G3F不垂直于SF，所以可以排除C；在△GSD中，GS＝a（正方形邊長），GD＝eq\f(\r（2）,4）a，SD＝eq\f（3\r(2）,4）a，所以SG2≠SD2＋GD2,∠SDG≠90°,從而排除B和D。故選A.【答案】A二、雙基查驗1．（2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m,n滿足m∥α，n⊥β,則()A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n【解析】因為α∩β＝l，所以l?β,又n⊥β，所以n⊥l。故選C?！敬鸢浮緾2．（2015·浙江高考）設(shè)α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β()A．若l⊥β，則α⊥βB．若α⊥β，則l⊥mC．若l∥β，則α∥βD．若α∥β,則l∥m【解析】選項A中，由平面與平面垂直的判定，故正確;選項B中，當α⊥β時，l，m可以垂直，也可以平行，也可以異面；選項C中,l∥β時，α，β可以相交;選項D中，α∥β時，l，m也可以異面。故選A.【答案】A3。(2016·葫蘆島模擬)已知如圖，六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABCDEF。則下列結(jié)論不正確的是（）A．CD∥平面PAFB．DF⊥平面PAFC．CF∥平面PABD．CF⊥平面PAD【解析】A中，因為CD∥AF，AF?平面PAF,CD?平面PAF,所以CD∥平面PAF成立；B中，因為ABCDEF為正六邊形,所以DF⊥AF.又因為PA⊥平面ABCDEF，所以PA⊥DF，又因為PA∩AF＝A，所以DF⊥平面PAF成立;C中，因為CF∥AB，AB?平面PAB,CF?平面PAB，所以CF∥平面PAB；而D中CF與AD不垂直，故D結(jié)論不正確。故選D.【答案】D4．已知P為△ABC所在平面外一點,且PA、PB、PC兩兩垂直，則下列命題：①PA⊥BC;②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC。其中正確的個數(shù)是________.【解析】如圖所示.∵PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P,∴PA⊥平面PBC又∵BC?平面PBC,∴PA⊥BC.同理PB⊥AC，PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC?！敬鸢浮?5．（2016·天津模擬)已知不同直線m，n與不同平面α，β,給出下列三個命題：①若m∥α，n∥α，則m∥n；②若m∥α,n⊥α，則n⊥m;③若m⊥α，m∥β,則α⊥β。其中真命題的個數(shù)是________個.【解析】①平行于同一平面的兩直線不一定平行,所以①錯誤。②根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知②正確。③根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和判定定理可知③正確,所以真命題的個數(shù)是2個.【答案】2微考點大課堂考點一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)……多維探究角度一：證明直線與平面垂直【典例1】如圖所示，直角△ABC所在的平面外一點S，SA＝SB＝SC，點D為斜邊AC的中點。求證：直線SD⊥平面ABC.【證明】因為SA＝SC，點D為斜邊AC的中點，所以SD⊥AC，連接BD，在Rt△ABC中，則AD＝DC＝BD,所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD。又因為AC∩BD＝D,所以SD⊥平面ABC?！灸割}變式】在本典例中，若AB＝BC,其他條件不變,則BD與平面SAC的位置關(guān)系是什么?【解析】因為AB＝BC,點D為斜邊AC的中點，所以BD⊥AC，又由例題知SD⊥BD,于是BD垂直于平面SAC內(nèi)的兩條相交直線，故BD⊥平面SAC?！敬鸢浮緽D⊥平面SAC角度二：利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直【典例2】如圖,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,已知AC⊥BC，BC＝CC1。設(shè)AB1的中點為D，B1C∩BC1＝E求證:(1)DE∥平面AA1C（2)BC1⊥AB1?！咀C明】（1）由題意知，點E是B1C的中點。在三角形AB1C中，點D是AB1的中點，所以DE是三角形AB1C的中位線，所以DE∥AC。又因為AC?平面AA1C1C，DE?平面AA1C(2)因為ABC－A1B1C1是直三棱柱，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BB1C1C，所以AC⊥BC1.又因為BC＝CC1，所以四邊形BB1C1C是正方形，所以BC1⊥B1C。又因為B1C∩AC＝C，所以BC1⊥平面反思歸納1。證明直線和平面垂直的常用方法：(1)判定定理；(2)垂直于平面的傳遞性（a∥b,a⊥α?b⊥α）；（3）面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β);(4）面面垂直的性質(zhì).2．證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想。3．線面垂直的性質(zhì)，常用來證明線線垂直?？键c二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)【典例3】(2016·江蘇高考)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為AB,BC的中點,點F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B求證：(1）直線DE∥平面A1C(2）平面B1DE⊥平面A1C【證明】(1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥在△ABC中，因為D,E分別為AB，BC的中點，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1又DE?平面A1C1F，A1C1?所以直線DE∥平面A1C（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1因為A1C1?平面A1B1C1,所以A1A⊥A又A1C1⊥A1B1，A1A?平面ABB1A1，A1B1?平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1,所以A1C1因為B1D?平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1又B1D⊥A1F，A1C1?平面A1C1F，A1F?平面A1C1F,A所以B1D⊥平面A1C因為直線B1D?平面B1DE,所以平面B1DE⊥平面A1C反思歸納1。判定面面垂直的方法：（1)面面垂直的定義；(2）面面垂直的判定定理（a⊥β，a?α?α⊥β）。2．在已知平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化.在一個平面內(nèi)找或作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直?！咀兪接柧殹咳鐖D,在三棱錐V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝eq\r(2)，O,M分別為AB,VA的中點.(1）求證：VB∥平面MOC；（2）求證：平面MOC⊥平面VAB;（3）求三棱錐V－ABC的體積.【解析】(1）證明：因為O，M分別為AB,VA的中點，所以O(shè)M∥VB.又因為VB?平面MOC,OM?平面MOC，所以VB∥平面MOC.（2)證明：因為AC＝BC，O為AB的中點，所以O(shè)C⊥AB.又因為平面VAB⊥平面ABC,且OC?平面ABC，所以O(shè)C⊥平面VAB。又OC?平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB。（3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝eq\r(2）,所以AB＝2，OC＝1。所以等邊三角形VAB的面積S△VAB＝eq\r(3）。又因為OC⊥平面VAB，所以三棱錐C－VAB的體積等于eq\f（1，3）OC·S△VAB＝eq\f(\r(3)，3）。又因為三棱錐V－ABC的體積與三棱錐C－VAB的體積相等，所以三棱錐V－ABC的體積為eq\f(\r（3),3)?！敬鸢浮浚?）(2)見解析(3）eq\f(\r（3），3)考點三垂直關(guān)系中的探索性問題【典例4】如圖,在三棱臺ABC－DEF中,CF⊥平面DEF，AB⊥BC。（1)設(shè)平面ACE∩平面DEF＝a，求證:DF∥a；（2）若EF＝CF＝2BC，試問在線段BE上是否存在點G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，請確定G點的位置;若不存在，請說明理由.【解析】（1)證明:在三棱臺ABC－DEF中，AC∥DF，AC?平面ACE，DF?平面ACE,∴DF∥平面ACE.又∵DF?平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a。(2)線段BE上存在點G，且BG＝eq\f(1，3）BE，使得平面DFG⊥平面CDE.證明如下：取CE的中點O，連接FO并延長交BE于點G，連接GD，∵CF＝EF，∴GF⊥CE。在三棱臺ABC－DEF中，AB⊥BC?DE⊥EF.由CF⊥平面DEF?CF⊥DE。又CF∩EF＝F,∴DE⊥平面CBEF，∴DE⊥GF。eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1(GF⊥CE,GF⊥DE,CE∩DE＝E)）?GF⊥平面CDE。又GF?平面DFG，∴平面DFG⊥平面CDE。此時，如平面圖所示，∵O為CE的中點，EF＝CF＝2BC，由平面幾何知識易證△HOC≌△FOE，∴HB＝BC＝eq\f（1,2）EF.由△HGB∽△FGE可知eq\f（BG,GE）＝eq\f（1,2)，即BG＝eq\f(1,3)BE.【答案】(1)見解析（2）線段BE上存在點G，且BG＝eq\f(1，3)BE反思歸納同“平行關(guān)系中的探索性問題”的規(guī)律方法一樣，一般是先探求點的位置,多為線段的中點或某個三等分點,然后給出符合要求的證明?！咀兪接柧殹?2017·鄭州模擬）如圖,已知三棱柱ABC－A′B′C′的側(cè)棱垂直于底面,AB＝AC，∠BAC＝90°，點M,N分別為A′B和B′C′的中點。（1）證明：MN∥平面AA′C′C；（2)設(shè)AB＝λAA′，當λ為何值時,CN⊥平面A′MN，試證明你的結(jié)論?！窘馕觥浚?)證明:如圖,取A′B′的中點E,連接ME，NE.因為M，N分別為A′B和B′C′的中點，所以NE∥A′C′，ME∥AA′.又A′C′?平面AA′C′C,A′A?平面AA′C′C，所以ME∥平面AA′C′C，NE∥平面AA′C′C，因為NE∩ME＝E，所以平面MNE∥平面AA′C′C，因為MN?平面MNE，所以MN∥平面AA′C′C。(2)連接BN,設(shè)AA′＝a，則AB＝λAA′＝λa,由題意知BC＝eq\r（2)λa，CN＝BN＝eq\r(a2＋\f（1，2）λ2a2)，因為三棱柱ABC－A′B′C′的側(cè)棱垂直于底面,所以平面A′B′C′⊥平面BB′C′C，因為AB＝AC，點N是B′C′的中點，∠BAC＝90°,所以A′N⊥平面BB′C′C，所以CN⊥A′N,要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可,所以CN2＋BN2＝BC2，即2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（a2＋\f(1，2)λ2a2）)＝2λ2a2，解得λ＝eq\r(2)，故當λ＝eq\r（2）時，CN⊥平面A′MN?！敬鸢浮浚?）見解析（2)λ＝eq\r（2），證明見解析微考場新提升1．設(shè)a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面,則a⊥b的一個充分不必要條件是()A．a(chǎn)⊥c，b⊥c B．α⊥β，a?α，b?βC．a(chǎn)⊥α,b∥α D．a(chǎn)⊥α,b⊥α解析對于C,在平面α內(nèi)存在c∥b，因為a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A,B中，直線a，b可能是平行直線，相交直線，也可能是異面直線;D中一定推出a∥b。故選C。答案C2．（2016·成都一診)設(shè)α，β是兩個不同的平面，a，b是兩條不同的直線，給出下列四個命題，其中真命題是()A．若a∥α，b∥α，則a∥bB．若a∥α,b∥β，a∥b,則α∥βC．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，則α⊥βD．若a,b在平面α內(nèi)的射影互相垂直，則a⊥b解析與同一平面平行的兩條直線不一定平行，所以A錯誤；與兩條平行直線分別平行的兩個平面未必平行，所以B錯誤；如圖(1），設(shè)OA∥a,OB∥b，直線OA，OB確定的平面分別交α，β于AC,BC，則OA⊥AC，OB⊥BC，所以四邊形OACB為矩形,∠ACB為二面角α－l－β的平面角,所以α⊥β，C正確;如圖（2),直線a，b在平面α內(nèi)的射影分別為m，n，顯然m⊥n,但a，b不垂直，所以D錯誤。故選C。答案C3。如圖，O是正方體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD的中心,則下列直線中與B1O垂直的是（)A．A1D B．AA1C．A1D1 D．A1C解析連接B1D1，則A1C1⊥B1D1可得BB1⊥A1C1，故A1C1⊥平面BB1D1D,B1O?平面BB1D1D，所以B1O⊥A1答案D4.如圖所示，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E，F(xiàn)分別是點A在PB，PC