線性代數(shù)知識點全面總結

矩陣

矩陣是線性代數(shù)的核心，矩陣的概念、運算及理論貫穿線性代數(shù)的始終，對矩陣的理解與掌握要扎實深入。

理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣，以及它們的性質(zhì)。掌握矩陣的線性運算、乘法、轉(zhuǎn)置，以及它們的運算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式。正確理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)，以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣。掌握矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價的概念，正確理解矩陣的秩的概念，熟練掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。了解分塊矩陣及其運算。必須會解矩陣方程。總復習線性代數(shù)知識點全面總結概念特殊矩陣

m×n個數(shù)aij

(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)

構成的數(shù)表單位矩陣:主對角線元素都是1,其余元素都是零的n階方陣E對角矩陣:主對角元素是其余元素都是零的n階方陣Λ對稱矩陣:一、矩陣主要知識網(wǎng)絡圖AT=A反對稱矩陣:AT=－A矩陣線性代數(shù)知識點全面總結運算A+B=

(aij+bij)kA=(kaij)AB=C其中A與B同型的第i行是A的第i列.|A|=detA,A必須是方陣.伴隨矩陣

n階行列式的|A|所有元素的代數(shù)余子式構成的矩陣AT:AT線性代數(shù)知識點全面總結逆矩陣概念求法證法如果AB=BA=E,則A可逆，B是A的逆矩陣.用定義用伴隨矩陣分塊對角矩陣|A|

≠0,A可逆.|A|=0,A不可逆.AB=E,A與B互逆.反證法.線性代數(shù)知識點全面總結二、重要定理1、設A、B是n階矩陣，則|AB|=|A||B|。2、若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣惟一。3、n階矩陣A可逆?|A|≠0?R(A)=n

?A為滿秩矩陣。4、若AB

=E(或BA

=E

),則B=A-1

。5、若A為對稱矩陣，則AT＝A

。6、若A為反對稱矩陣，則AT＝－A

。線性代數(shù)知識點全面總結三、重要公式、法則。1、矩陣的加法與數(shù)乘

A+B=B+A;(A+B)+

C

=A

+(B+C);

A

+O

=O+A=A;

A

+(－A)=O;

k(lA)=(kl)A

;(k+l)A

=kA+lA

;

k(A+B)=kA

+kB

;1A

=A,OA

=O

。2、矩陣的乘法(AB)C

=A

(BC

);(2)A

(B

+C

)=AB+AC;(A

+B

)C

=AC

+BC;(3)(kA)(lB)=(kl)AB;(4)AO=OA=O.線性代數(shù)知識點全面總結3、矩陣的轉(zhuǎn)置(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(kA)T=kAT;(4)(AB)T=BTAT.4、矩陣的逆(A-1)-1=A

;(2)(kA)-1=k-1A-1;(3)(AB)-1=B-1A-1;(4)(AT)-1=(A-1)T.5、伴隨矩陣

AA*=A*A

=|A|E;(2)(kA)*=kn-1A*;(3)(A*)-1=(A-1)*=|A|-1A;(4)(AT)*=(A*)T.6、n階方陣的行列式|AT|=|A|;(2)|kA|=kn|A|;(3)|AB|=|A||B|;(4)|A-1|=|A|-1;(5)|A*|=|A|n-1.線性代數(shù)知識點全面總結四、典型例題1、方陣的冪運算2、求逆矩陣3、解矩陣方程4、A*題線性代數(shù)知識點全面總結方陣的行列式

行列式是一個重要的數(shù)學工具，在代數(shù)學中有較多的應用。

應當在正確理解n階行列式的概念，掌握行列式性質(zhì)的基礎上，熟練地計算3階、4階行列式，也要會計算簡單的n階行列式。還要會運用行列式求解n個方程n個未知數(shù)的n元一次線性方程組。

計算行列式的基本方法是用按行（列）展開定理，通過降階來實現(xiàn)，但在展開之前往往先運用行列式的性質(zhì)，對行列式作恒等變形，以期有較多零或公因式，這樣可簡化計算。要熟練運用計算行列式的典型的計算方法和計算技巧。線性代數(shù)知識點全面總結一、行列式主要知識點網(wǎng)絡圖概念排列行列式逆序，奇排列，偶排列一般項是不同行不同列元素乘積的代數(shù)和.●D=DT●互換行列式的兩行(列)，行列式變號?！衲承杏泄蜃涌梢蕴岬叫辛惺降耐饷??！袢粜辛惺街心骋恍?列)的所有元素均為兩元素之和，則該行列式可拆成兩個行列式.●某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不變。行列式知識點性質(zhì)線性代數(shù)知識點全面總結展開計算●行展開●列展開●定義法●遞推法●加邊法●數(shù)學歸納法●公式法●拆項法●乘積法●齊次線性方程組有非零解的充要條件●克拉默法則應用線性代數(shù)知識點全面總結二、主要定理1、行列式的展開定理。=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin(i=1,2,…,n)=

a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj2、行列式展開定理的推論。ai1

Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(i≠j)a1jA1k+a2jA2k+…+anjAnk=0(j≠k)線性代數(shù)知識點全面總結3、非齊次線性方程組克拉默法則。其中Dj(j=1,2,…,n)是把系數(shù)行列式D中的第j列的元素用方程組的常數(shù)項替換后得到的n階行列式。的系數(shù)行列式D≠0，原方程組有惟一解線性代數(shù)知識點全面總結4、齊次線性方程組的克拉默法則。

若齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式必為零。線性代數(shù)知識點全面總結三、重要公式線性代數(shù)知識點全面總結線性代數(shù)知識點全面總結線性代數(shù)知識點全面總結四、典型例題1、3～4階的行列式2、簡單的n階行列式3、用公式線性代數(shù)知識點全面總結可逆矩陣與初等變換

矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運算，他在解線性方程組、求逆矩陣及矩陣理論的探討中都起到了十分重要的作用。

熟練掌握矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質(zhì)和等價矩陣的概念，理解矩陣秩的概念，熟練掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。理解齊次線性方程組有非零解充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。深刻理解線性方程組通解的概念，掌握用初等變換求解線性方程組的方法。線性代數(shù)知識點全面總結一、主要知識網(wǎng)絡圖

矩陣的初等變換與線性方程組

矩陣的初等變換初等方陣矩陣的秩線性方程組線性代數(shù)知識點全面總結

矩陣的初等變換概念1.對換矩陣的i,j兩行（列）.2.用k≠0乘矩陣的第i行（列）.3.把某i行（列）的k倍加到另一行（列）的對應元素上去.性質(zhì)1.初等變換不改變矩陣的秩.2.對A經(jīng)過有限次初等變換得到B，則A等價B.用途求逆，

求矩陣A的秩、最簡型、標準形.求線性方程組的解.線性代數(shù)知識點全面總結

初等方陣性質(zhì)初等方陣都是可逆矩陣，其逆仍然是同種的初等矩陣.對Am×n矩陣實施一次行初等變換，相當于對A左乘一個相應的m階初等方陣；對A實施一次列初等變換，相當于對A右乘一個相應的n階初等方陣.任何可逆矩陣都可以表為若干個初等方陣的乘積.概念對單位矩陣實施一次初等變換而得到的矩陣稱為初等方陣.三種初等變換對應三種初等方陣.線性代數(shù)知識點全面總結矩陣的秩

概念k階子式.秩：矩陣非零子式的最高階數(shù).

性質(zhì)零矩陣的秩為零.R(A)=R(AT)若B可逆，則R(AB)=R(A).R(A+B)≤R(A)+R(B)R(AB)≤min{R(A),R(B)}R(AB)≥R(A)+R(B)－n若AB=0,則R(A)+R(B)≤n線性代數(shù)知識點全面總結線性方程組

有非零解R(A)<n.求解1.化系數(shù)矩陣為最簡形.2.找等價的方程組.3.寫通解.

有解R(A)=R(B).求解1.把增廣矩陣B化為最簡形.2.找等價的方程組.3.寫通解.線性代數(shù)知識點全面總結二、重要定理1、若A

與B等價，則R(A)=R(B).2、初等矩陣左（右）乘矩陣A，其結果就相當于對A作相應的初等行（列）變換。3、初等方陣均可逆，且其逆仍是同種的初等方陣。4、若A

與B等價，則存在可逆矩陣P和Q,使PAQ

=B.5、若A可逆，則存在有限個初等方陣P1,P2,…,Pl,使

A

＝P1P2…Pl。6、n元齊次線性方程組Am×nx=0有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A)<n。7、n元非齊次線性方程組Am×nx=b有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A)等于增廣矩陣R(A，b)的秩。線性代數(shù)知識點全面總結三、重要公式1、矩陣的秩

R(A)=R(AT);

R(A+B)≤R(A)+R(B)

R(AB)≤min{R(A)R(B)}

若P、

Q可逆，則R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)

R(A),k≠0,(5)R(kA)=0,k=0;

A0(6)R=R(A)+R(B)。

0B線性代數(shù)知識點全面總結2、用初等變換求逆3、用初等行變換求A-1B線性代數(shù)知識點全面總結四、典型例題1、用初等變換求逆和求秩。2、用初等變換求解線性方程組。3、用初等變換求A-1B。線性代數(shù)知識點全面總結向量組的線性相關性

向量組的線性相關性是代數(shù)學中一個十分重要的概念，對討論線性方程組解的存在性和解的結構起到了至關重要的作用。

本章要求理解向量的線性組合和線性表示的概念，深刻理解向量組的線性相關、線性無關的定義，會用向量組線性相關、線性無關的有關性質(zhì)及判別法。了解向量組的極大無關組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大無關組和秩。了解向量組等價的概念，以及向量組的秩與矩陣秩的關系。了解n維向量空間、子空間、基、維數(shù)、坐標等概念。掌握線性方程組解的性質(zhì)和結構，正確理解非齊次線性方程組和它所對應的齊次線性方程組的解之間的關系，深刻理解齊次線性方程組的基礎解系、通解、解空間的概念，熟練求解線性方程組的通解。線性代數(shù)知識點全面總結一、向量組的線性相關性主要知識網(wǎng)絡圖向量組的線性相關性n維向量運算線性表示概念判定線性相關概念判定線性無關概念判定充要條件充分條件充要條件充分條件極大無關組概念求法向量空間概念向量空間的基線性代數(shù)知識點全面總結線性方程組Ax=0初等行變換階梯形有解判定總有解R(A)≠R(B)無解R(A)=R(B)有解R(A)=n僅有零解R(A)<n有非零解解的結構基礎解系Ax=b線性代數(shù)知識點全面總結二、重要定理1、線性無關

（1）一個向量線性無關的充分必要條件是它不是零向量。

（2）兩個向量線性無關的充分必要條件是它們對應的分量不成比例。

（3）n個n維向量線性無關的充分必要條件是它們所構成n階行列式不為零。

（4）若整組向量線性無關，則它的任何部分組都線性無關。

（5）若r維的向量組線性無關，則在每個向量的后邊都添上一個分量而得的向量組仍線性無關。線性代數(shù)知識點全面總結2、線性相關

（1）一個向量線性相關的充分必要條件是它是零向量。

（2）兩個向量線性相關的充分必要條件是它們對應的分量成比例。

（3）n個n維向量線性相關的充分必要條件是它們構成的行列式等于零。

（4）向量組α1，α2，…，αm線性相關的充分必要條件是該向量組中至少有一個向量能由其余的m－1個向量線性表示。

（5）若向量組α1，α2，…，αr線性相關，則向量組α1，α2，…，αr，αr+1，…，αm

仍線性相關。線性代數(shù)知識點全面總結3、線性相關性與線性表示

（1）向量組α1，α2，…，αm線性相關的充分必要條件是它所構成的矩陣A

=(α1，α2，…，αm)的秩小于向量的個數(shù)m,向量組線性無關的充分必要條件是R(A)=m。

（2）若向量組α1，α2，…，αm線性無關，而向量組β，α1，α2，…，αm線性相關，則β能由α1，α2，…，αm線性表示，且表示法是惟一的。

（3）向量β能由向量組α1，α2，…，αm線性表示的充分必要條件是矩陣A

=(α1，α2，…，αm)的秩等于矩陣B=(α1，α2，…，αm,β)的秩。線性代數(shù)知識點全面總結4、向量組的秩

（1）矩陣的秩等于它的列向量組的秩（列秩），也等于它的行向量組的秩（行秩）。

（2）若向量組B能由向量組A線性表示，則向量組B的秩不大于向量組A的秩。

（3）等價的向量組的秩相同。5、解空間

（1）n元齊次線性方程組Am×nx=0的全體解所構成的集合S是一個向量空間，當系數(shù)矩陣的秩R(Am×n)=r時，解空間S的維數(shù)為n－r。線性代數(shù)知識點全面總結三、重要公式1、向量組線性相關性證明（1）公式

λ1α1+λ2α2+…+λmαm=0,（2）方法

①定義法；②反證法；③用等價說法。2、求向量組的秩及其極大無關組

（1）若求向量組的秩和向量組的極大無關組，將其向量組寫成矩陣的形式，行向量組作初等列變換；列向量組作初等行變換，使之變成階梯形矩陣，非零的列（行）的數(shù)即是向量組的秩，而非零的列（行）的非零首元所在的行（列）向量組即是該向量組的一個極大無關組。線性代數(shù)知識點全面總結3、方程組的通解（1）齊次線性方程組Ax=O的通解：x=k1α1+k2α2+…+kn-rαn-r

k1,k2,…kn-r為任意常數(shù)。（2）非齊次線性方程組Ax=b的通解：x=k1α1+k2α2+…+kn-rαn-r+η*

k1,k2,…kn-r為任意常數(shù)。其中

α1，α2，…，

αn-r為Ax=O的基礎解系；

η*是Ax=b的一個特解。線性代數(shù)知識點全面總結四、典型例題2、求解線性方程組、特別是帶有參數(shù)的方程組。3、驗證一組向量是某向量空間的基，把空間中的某個向量用該組基線性表示。1、求向量組的秩和其極大無關組,把不是無關組的向量用極大無關組線性表示。線性代數(shù)知識點全面總結相似矩陣及二次型

特征值的問題在代數(shù)學中占有十分重要的位置。用它可以討論方陣相似對角化。進而將二次型化成標準形。

理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)，會求矩陣的特征值和特征向量。理解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣可相似對角化的充分必要條件。掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法。了解實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)。掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型秩的概念，了解合同變換和合同矩陣的概念，了解二次型的標準形、規(guī)范形的概念以及慣性定理。掌握用正交變換化二次型為標準的方法，會用配方法化二次型為標準形。了解正定二次型和所對應的正定矩陣的性質(zhì)及判別法。線性代數(shù)知識點全面總結相似矩陣及二次型向量的內(nèi)積特征值與特征向量二次型一、主要知識網(wǎng)絡圖線性代數(shù)知識點全面總結向量的內(nèi)積定義：(x,y)=∑xiyi性質(zhì)范數(shù):||x||=正交:(x,y)=01.(x,y)=(y,x)2.(x,y)=(x,y)3.(x+y,z)=(x,z)+(y,z)向量的內(nèi)積線性代數(shù)知識點全面總結特征值與特征向量特征值與特征向量定義：Ax=x,x≠0求法：特征值特征向量相似實對稱矩陣隱含的信息性質(zhì)1.定義法；2.特征多項式法|

E-A|.1.定義法；2.(

E-A)x=0的基礎解系法.線性代數(shù)知識點全面總結性質(zhì)性質(zhì)不同特征值的特征向量線性無關k重特征值至多有k個線性無關的特征向量線性代數(shù)知識點全面總結相似相似定義：P-1AP=B可對角化1.A有n個線性無關的特征向量；2.R(A-kE)=n-k,k是A的k重特征值.1.A有n個不同的特征值；2.A是實對稱矩陣.應用線性代數(shù)知識點全面總結實對稱矩陣隱含的信息實對稱矩陣隱含的信息必可以對角化，且可用正交變換不同的特征值所對應的特征向量正交特征值全為實數(shù)k重特征值必有k個線性無關的特征向量與對角矩陣合同線性代數(shù)知識點全面總結二次型二次型矩陣表示f=xTAx標準形正定二次型化標準形正定矩陣線性代數(shù)知識點全面總結正定二次型及正定陣正定二次型及正定陣慣性定律定義充要條件必要條件線性代數(shù)知識點全面總結二、重要方法1、求特征值與特征向量

（1）由特征方程|A－λE|＝0，求出A的特征值λi（共n個），再解齊次線性方程組（A－λiE）x＝O,其基礎解系就是λi所對應的特征向量。（2）用定義法Ax=λx（適用于抽象的矩陣）。2、判斷A能否對角化

若A是實對稱矩陣，則A必能對角化，這是充分條件。對于一般的n階方陣A，判斷步驟如下：

（1）由特征方程|A－λE|＝0，求出A的特征值λ（共n個），若A的n個特征值各不相同，則A必能對角化。線性代數(shù)知識點全面總結

（2）對于A的k重特征值λk,求秩R(A－λkE)，若其秩等于n－k，則A可對角化。若秩R(A－λkE)≠n－k，則A不可對角化。

3、求相似標準形的方法（可對角化的矩陣）

（1）求A的全部特征值λ1，λ2，…，λn;

（2）對每個特征值λi

求（A－λiE）x＝0的基礎解系，得出特征值λi

所對應特征向量pi;

（3）將求得的n個線性無關的特征向量構造可逆矩陣p,令p=(p1,p2,

…,pn)則p-1Ap=Λ。線性代數(shù)知識點全面總結4、用對角化求An

若A能對角化，則求出A的特征值與特征向量，由p-1Ap=Λ得A=PΛP-1,從而An=PΛnP-1。其中，對角矩陣Λ是由A的特征值所構成，可逆矩陣P由相應的特征向量所構成。5、用正交變換化二次型為標準形

（1）寫出二次型的矩陣A；（2）求A的特征值、特征向量；（3）對于A的各不相同的特征值所對應的特征向量已經(jīng)正交，只需單位化；對于A的k重特征值所對應的特征向量是線性無關的，需用施密特正交化方法將這k個線性無關的特征向量化成兩兩正交的單位向量；（4）用所求得的n個兩兩正交的單位向量構造正交矩陣

P=(P1,P2,…,Pn)

（5）令x=Py，則得標準形f=λ1y1+λ2y2+…+λnyn。線性代數(shù)知識點全面總結6、二次型及矩陣正定的判別法（1）用定義，?x≠0,總有xTAx>0

（2）用順序主子式全大于零；

（3）用n個特征值全大于零；

（4）用正慣性指數(shù)p=n；

（5）存在可逆矩陣C，使A=CTC。線性代數(shù)知識點全面總結三、典型例題1、求方陣的特征值、特征向量。2、方陣對角化。3、化二次型為標準形。4、二次型及矩陣正定性的判定。線性代數(shù)知識點全面總結線性空間

線性空間是線性代數(shù)中比較抽象的部分。概念的抽象性、理論的概括性固然增加了學習的難度，但是，只要掌握了抽象思維與論證的規(guī)律，我們就可以在更高的視點上觀察并解決某些理論與實際方面的問題。

它研究的內(nèi)容包括數(shù)及其運算、多項式及其運算、矩陣（向量）及其運算等。研究的方法是針對每一種具體對象探索它們運算所滿足的各種性質(zhì)，并用以解決本系統(tǒng)內(nèi)的相應問題。線性代數(shù)知識點全面總結線性空間基本性質(zhì)子空間一、主要知識網(wǎng)絡圖集合、數(shù)域、運算律常用結論基底維數(shù)基向量的個數(shù)基不惟一n維空間中任意n個線性無關向量。L(α1，α2，···,αs)=定義線性代數(shù)知識點全面總結坐標與坐標變換坐標定義向量與其坐標過渡矩陣坐標變換公式保持加法數(shù)乘關系保持線性相關（或無關）的一致性線性代數(shù)知識點全面總結

設V是一個非空集合,F是一個數(shù)域.如果能定義一種V的元素間的運算,叫做加法:對于V中任意兩個元素α,β,都有V中惟一的元素γ之對應;γ

稱為α

與β

的和,記為γ=α+β.另外,還能定義一種數(shù)域F的數(shù)與集合V的元素間的運算,叫做數(shù)乘:對于數(shù)域F中任一數(shù)k及集合V中任一元素α,都有V中惟一的元素δ與之對應;δ

稱為k與α的數(shù)積,記為δ=kα.并且,集合V在以上兩種運算下具有如下性質(zhì):對于任意α,β,γ∈V及k,l∈F,1)α+β

=β

+α;2)(α+β)+γ=α+(β+γ);3)V中存在零元素,通常記為0,對于任何,恒有α+0=α;4)對于α∈V,都有α的負元素α′∈V,使α+α′=0;5)lα=α;6)k(lα)=(kl)α(式中是通常的數(shù)的乘法);7)(k+l)α=k

α+lα(式中是通常的數(shù)的乘法);8)k(α+β)=k

α+kβ;則稱V為數(shù)域F上的一個線性空間.機動目錄上頁下頁返回結束線性代數(shù)知識點全面總結線性空間的基本性質(zhì)性質(zhì)1線性空間的零元素惟一。

性質(zhì)2線性空間中任一元素的負元素惟一。

性質(zhì)3設V是數(shù)域F上的線性空間，則對任何α

∈V及k∈F

，總有：（i）0α=0