初中數(shù)學(xué)北師大版七年級(jí)下冊(cè)第二章相交線與平行線“十校聯(lián)賽”一等獎(jiǎng)

專(zhuān)訓(xùn)1平行線的判定和性質(zhì)中幾種常用作輔助線的方法名師點(diǎn)金：在解決平行線的問(wèn)題時(shí)，當(dāng)無(wú)法直接得到角的關(guān)系或兩條直線之間的位置關(guān)系時(shí)，通常借助輔助線來(lái)幫助解答，如何作輔助線需根據(jù)已知條件確定，輔助線的添加既可以產(chǎn)生新的條件，又能將題目中原有的條件聯(lián)系在一起．加截線(連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)線段相交)(第1題)1．(2023·河北)如圖，AB∥EF，CD⊥EF，∠BAC＝50°，則∠ACD等于()A．120°B．130°C．140°D．150°過(guò)“拐點(diǎn)”作平行線a．“”形圖2．如圖，已知AB∥CD，P為AB，CD之間的一點(diǎn)，∠2＝28°，∠BPC＝58°，求∠1的度數(shù)．(第2題)b．“”形圖3．(1)如圖①，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°.求∠BCD的度數(shù)．(2)如圖①，在AB∥DE的條件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之間的數(shù)量關(guān)系嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖②，AB∥EF，根據(jù)(2)中的結(jié)論，直接寫(xiě)出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度數(shù)．(第3題)c．“”形圖4．如圖，AB∥DE，則∠BCD，∠B，∠D有何關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．(第4題)d．“”形圖5．如圖，AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°，求∠ABC的度數(shù)．【導(dǎo)學(xué)號(hào)：60052023】(第5題)平行線間多折點(diǎn)角度問(wèn)題探究6．(1)如圖①，AB∥CD，則∠E＋∠G與∠B＋∠F＋∠D有何關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)在圖②中，若AB∥CD，又能得到什么結(jié)論？直接寫(xiě)出．(第6題)專(zhuān)訓(xùn)2與相交線、平行線相關(guān)的四類(lèi)角的計(jì)算名師點(diǎn)金：與相交線、平行線有關(guān)的角的計(jì)算大致有兩類(lèi)呈現(xiàn)形式，一類(lèi)是利用余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角、角平分線等進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算，另一類(lèi)則是利用平行線的性質(zhì)和判定進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算．利用余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角轉(zhuǎn)換求角1．如圖，直線l1與l2相交于點(diǎn)O，OM⊥l1.若α＝44°，則β等于()A．56°B．46°C．45°D．44°(第1題)(第2題)2．如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOD.若∠BOD＝100°，則∠AOE＝________.利用垂直求角3．如圖，已知FE⊥AB于點(diǎn)E，CD是過(guò)點(diǎn)E的直線，且∠AEC＝120°，則∠DEF＝________.(第3題)(第4題)4．如圖，MO⊥NO于點(diǎn)O，OG平分∠MOP，∠PON＝3∠MOG，則∠GOP的度數(shù)為_(kāi)_______．5．如圖，兩直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠BOD，∠AOC∶∠AOD＝7∶11.(1)求∠COE的度數(shù)；(2)若OF⊥OE，求∠COF的度數(shù)．(第5題)直接利用平行線的性質(zhì)求角6．如圖，已知AB∥CD，∠AMP＝150°，∠PND＝60°.試說(shuō)明：MP⊥PN.(第6題)綜合應(yīng)用平行線的性質(zhì)與判定求角7．如圖，∠1與∠2互補(bǔ)，∠3＝135°，則∠4的度數(shù)是()(第7題)A．45°B．55°C．65°D．75°8．如圖，∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝60°，求∠4的度數(shù)．(第8題)答案eq\a\vs4\al(專(zhuān)訓(xùn)1)1．C(第2題)2．解：方法一：過(guò)點(diǎn)P作射線PN∥AB，如圖①.因?yàn)锳B∥CD，所以PN∥CD.所以∠4＝∠2＝28°.因?yàn)镻N∥AB，所以∠3＝∠1.又因?yàn)椤?＝∠BPC－∠4＝58°－28°＝30°，所以∠1＝30°.方法二：過(guò)點(diǎn)P作射線PM∥AB，如圖②.因?yàn)锳B∥CD，所以PM∥CD.所以∠4＝180°－∠2＝180°－28°＝152°.因?yàn)椤?＋∠BPC＋∠3＝360°，所以∠3＝360°－∠BPC－∠4＝360°－58°－152°＝150°.因?yàn)锳B∥PM，所以∠1＝180°－∠3＝180°－150°＝30°.(第3題)3．解：(1)如圖，過(guò)C作CF∥AB，所以∠B＋∠BCF＝180°.又因?yàn)锳B∥DE，所以CF∥DE.所以∠FCD＋∠D＝180°.所以∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°，即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.所以∠BCD＝360°－∠B－∠D＝360°－135°－145°＝80°.(2)∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.理由如下：因?yàn)镃F∥AB，所以∠B＋∠BCF＝180°.又因?yàn)锳B∥DE，所以CF∥DE.所以∠FCD＋∠D＝180°.所以∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°，即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°.(3)∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°.4．解：∠BCD＝∠B－∠D.(第4題)理由：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB.因?yàn)镃F∥AB，所以∠B＝∠BCF(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．因?yàn)锳B∥DE，CF∥AB，所以CF∥DE(平行于同一條直線的兩條直線平行)．所以∠DCF＝∠D(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)．所以∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF.因?yàn)椤螧CD＝∠BCF－∠DCF，所以∠BCD＝∠B－∠D.點(diǎn)撥：圖形中有平行線和折線或拐角時(shí)，常過(guò)折點(diǎn)或拐點(diǎn)作平行線，構(gòu)造出同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁?xún)?nèi)角，這樣就可利用角之間的關(guān)系求解了．5．解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB.因?yàn)锳B∥DE，所以DE∥CF.所以∠DCF＝180°－∠CDE＝180°－138°＝42°.所以∠BCF＝∠BCD＋∠DCF＝30°＋42°＝72°.又因?yàn)锳B∥CF，所以∠ABC＝∠BCF＝72°.(第5題)(第6題)6．解：(1)∠E＋∠G＝∠B＋∠F＋∠D.理由：過(guò)折點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別作EM∥AB，F(xiàn)N∥AB，GH∥AB，如圖所示，由AB∥CD，得AB∥EM∥FN∥GH∥CD，所以∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D.因此∠BEF＋∠FGD＝∠1＋∠2＋∠5＋∠6＝∠B＋∠3＋∠4＋∠D＝∠B＋∠EFG＋∠D.(2)在題圖②中有∠E1＋∠E2＋∠E3＋…＋∠En＝∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠D.eq\a\vs4\al(專(zhuān)訓(xùn)2)1．B點(diǎn)撥：由題意知OM⊥l1，所以α＋β＝90°.所以β＝90°－α＝90°－44°＝46°.2．40°°4．54°點(diǎn)撥：設(shè)∠GOP＝x°，則∠MOG＝x°，∠PON＝3x°，由題意得x＋x＋3x＝360－90，解得x＝54.所以∠GOP＝54°.5．解：(1)因?yàn)椤螦OC∶∠AOD＝7∶11，∠AOC＋∠AOD＝180°，所以∠AOC＝70°，∠AOD＝110°.又因?yàn)镺E平分∠BOD，所以∠DOE＝eq\f(1,2)∠DOB＝eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)×70°＝35°.所以∠COE＝180°－∠DOE＝180°－35°＝145°.(2)因?yàn)镺F⊥OE，所以∠FOE＝90°.由(1)知∠DOE＝35°，所以∠FOD＝90°－∠DOE＝90°－35°＝55°.所以∠COF＝180°－∠FOD＝180°－55°＝125°.(第6題)6．解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB.因?yàn)镻E∥AB，所以∠AMP＋∠MPE＝180°.所以∠MPE＝180°－∠AMP＝180°－15