初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)下冊(cè)第三章圓2圓的對(duì)稱性“百校聯(lián)賽”一等獎(jiǎng)

北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第3章圓的對(duì)稱性同步練習(xí)一、選擇題1.圓內(nèi)接四邊形ABCD，∠A，∠B，∠C的度數(shù)之比為3：4：6，則∠D的度數(shù)為（）A．60 B．80 C．100 D．120答案：C解析：解答：∵內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，∴∠A：∠B：∠C：∠D＝3：4：6：5設(shè)∠A的度數(shù)為3x，則∠B，∠C，∠D的度數(shù)分別為4x，6x，5x∴3x＋4x＋6x＋5x＝360°∴x＝20°∴∠D＝100°故選：C．分析：根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)和四邊形的內(nèi)角和為360度進(jìn)行求解．2.如圖，AB是⊙O的直徑，，∠COD=34°，則∠AEO的度數(shù)是（）A．51°B．56°C．68°D．78°答案：A解析：解答：如圖，∵，∠COD＝34°，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°－∠EOD－∠COD－∠BOC＝78°．又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO＝×（180°－78°）＝51°．故選：A．分析：由，可知∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，可求得∠AOE的度數(shù)；再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)可求∠AEO的度數(shù)．3.如圖所示，在⊙O中，，∠A＝30°，則∠B＝（）A．150°B．75°C．60°D．15°答案：B解析：解答：∵在⊙O中，，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C；又∠A＝30°，∴∠B＝＝75°．故選：B．分析：先根據(jù)等弧所對(duì)的弦相等可知AB＝AC，然后得出∠B＝∠C；求∠B的度數(shù)即可．4.如圖，半圓O的直徑AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，則AD的長為（）A．cmB．cmC．cmD．4cm答案：A解析：解答：連接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD＝∠BAD，∴，∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE＝AF＝AC＝3（cm），在Rt△DOE中，DE＝＝4（cm），在Rt△ADE中，AD＝＝4（cm）．故選：A．分析：連接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根據(jù)圓周角定理，可證得∠DOB＝∠OAC，即證△AOF≌△OED，所以O(shè)E＝AF＝3cm，由勾股定理，得DE＝4cm，在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股定理，可求AD的長．5.若圓的一條弦把圓分成度數(shù)比為1：3的兩條弧，則優(yōu)弧所對(duì)的圓周角為（）A．45°B．90°C．l35°D．270°答案：A解析：解答：∵圓的一條弦把圓分成度數(shù)比為1：3的兩條弧，∴∠AOB：大角∠AOB＝1：3，∴大角∠AOB＝360°×＝270°．∴優(yōu)弧所對(duì)的圓周角為：270÷2＝135°，故選：C．分析：因?yàn)榛〉亩葦?shù)就是它所對(duì)圓心角的度數(shù)，所以弧的比就是圓心角的比，據(jù)由此即可求出圓周角的度數(shù)．6.如圖，△ABC的外接圓上，AB，BC，CA三弧的度數(shù)比為12：13：11．自劣弧BC上取一點(diǎn)D，過D分別作直線AC，直線AB的平行線，且交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則∠EDF的度數(shù)為（）A．55°B．60°C．65°D．70°答案：C解析：解答：∵AB，BC，CA三弧的度數(shù)比為12：13：11，∴＝×360°＝120°，＝×360°＝110°，∴∠ACB＝×120°＝60°，∠ABC＝×110°＝55°，∵AC∥ED，AB∥DF，∴∠FED＝∠ACB＝60°，∠EFD＝∠ABC＝55°，∴∠EDF＝180°－60°－55°＝65°．故選：C．分析：先根據(jù)AB，BC，CA三弧的度數(shù)比為12：13：11求出的度數(shù)，再根據(jù)其度數(shù)即可求出∠ACB及∠ABC的度數(shù)，由平行線的性質(zhì)即可求出∠FED及∠EFD的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理即可求出∠EDF的度數(shù)．7.如圖，弧是以等邊三角形ABC一邊AB為半徑的四分之一圓周，P為弧上任意一點(diǎn)，若AC＝5，則四邊形ACBP周長的最大值是（）A．15B．20C．15＋5D．15＋5答案：C解析：解答：由于AC和BC值固定，點(diǎn)P在弧AD上，而B是圓心，所以PB的長也是定值，因此，只要AP的長為最大值，∴當(dāng)P的運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，AP最長為5，所以周長為5×3＋5＝15＋5．故選：C．分析：因?yàn)镻在半徑為5的圓周上，若使四邊形周長最大，只要AP最長即可8.如圖，在⊙O中，∠AOB的度數(shù)為m，C是弧ACB上一點(diǎn)，D、E是弧AB上不同的兩點(diǎn)（不與A、B兩點(diǎn)重合），則∠D＋∠E的度數(shù)為（）A．mB．180°－C．90°＋D．答案：B解析：解答：∵∠AOB的度數(shù)為m，∴弧AB的度數(shù)為m，∴弧ACB的度數(shù)為360°－m，∴∠D＋∠E＝（360°－m）＝180°－．故選：B．分析：根據(jù)圓心角與弧的關(guān)系及圓周角定理可求得∠D＋∠E的度數(shù)9.如圖，MN為⊙O的弦，∠M＝50°，則∠MON等于（）A．50°B．55°C．65°D．80°答案：D解析：解答：∵OM＝ON，∴∠N＝∠M＝50°．再根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°，得：∠MON＝180°－50°×2＝80°．故選：D．分析：先運(yùn)用了等腰三角形的性質(zhì)求出∠N，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°即可得．10.如圖，已知：AB是⊙O的直徑，C、D是上的三等分點(diǎn)，∠AOE=60°，∠COE是（）A．40°B．60°C．80°D．120°答案：C解析：解答：∵∠AOE＝60°，∴∠BOE＝180－∠AOE＝120°，∴的度數(shù)是120°，∵C、D是上的三等分點(diǎn)，∴與的度數(shù)都是40度，∴∠COE＝80°．故選：C．分析：先求出∠BOE＝120°，再運(yùn)用“等弧對(duì)等角”即可解．11.如圖，弧BE是半徑為6的圓D的圓周，C點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，△ABD是等邊三角形，則四邊形ABCD的周長P的取值范圍是（）A．12＜P≤18B．18＜P≤24C．18＜P≤18＋6D．12＜P≤12＋6答案：C解析：解答：∵△ABD是等邊三角形∴AB＋AD＋CD＝18，得P＞18∵BC的最大值為當(dāng)點(diǎn)C與E重合的時(shí)刻，BE＝6∴P≤18＋6∴p的取值范圍是18＜P≤18＋6．故選：C．分析：四邊形ABCD的周長P就是四邊形的四邊的和，四邊中AB，AD，CD的長是BD長度確定，因而本題就是確定BC的范圍，BC一定大于0，且小于或等于BE，只要求出BE的長就可以．12.如圖，已知AB，CD是⊙O的兩條直徑，且∠AOC＝50°，作AE∥CD，交⊙O于E，則弧AE的度數(shù)為（）A．65°B．70°C．75°D．80°答案：D解析：解答：連接BE，OE，∵AE∥CD∴∠A＝∠AOC＝50°，∵AB是直徑，∴∠E＝90°，∠B＝40°，∴∠AOE＝80°，即弧AE的度數(shù)為80°．故選：D．分析：先用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等和圓周角定理求出∠A和∠B，再運(yùn)用在同圓工等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．即可得．13.如圖，AB是⊙O的直徑，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，則∠BCD＝（）A．105°B．120°C．135°D．150°答案：B解析：解答：由題意知，弦BC、CD、DA三等分半圓，∴弦BC和CD和DA對(duì)的圓心角均為60°，∴∠BCD＝120°．故選：B．分析：由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圓，從而不難求得∠BCD的度數(shù)．14.如圖是中國共產(chǎn)主義青年團(tuán)團(tuán)旗上的圖案，點(diǎn)A、B、C、D、E五等分圓，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度數(shù)是（）A．180°B．150°C．135°D．120°答案：A解析：解答：∵點(diǎn)A、B、C、D、E五等分圓，∴＝72°，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，∵∠ADB＝×72°＝36°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝5×36°＝180°．故選：A．分析：根據(jù)點(diǎn)A、B、C、D、E五等分圓可求出每條弧的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理即可得出答案．15.如圖，在⊙O中，弦AB＝CD，圖中的線段、角、弧分別具有相等關(guān)系的量共有（不包括AB＝CD）（）A．10組B．7組C．6組D．5組答案：A解析：解答：線段OA，OB，OC，OD每兩條都相等，因而有6對(duì)；∠AOB＝∠COD，∠AOC＝∠BOD，，．故選：A．分析：先找到4條半徑，得到6組相等的量，再運(yùn)用“同圓中相等的弧所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等”可得4組相等的量．二、填空題16.如圖，圓心角∠AOB＝20°，將旋轉(zhuǎn)n°得到，則的度數(shù)是度．答案：20解析：解答：∵將旋轉(zhuǎn)n°得到，∴＝，∴∠DOC＝∠AOB＝20°，∴的度數(shù)為20度．故答案為20．分析：先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得＝，則根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到∠DOC＝∠AOB＝20°，然后根據(jù)圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)即可得到的度數(shù)．17.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以點(diǎn)C為圓心，BC為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則的度數(shù)為．答案：50°解析：解答：連接CD，∵∠A＝25°，∴∠B＝65°，∵CB＝CD，∴∠B＝∠CDB＝65°，∴∠BCD＝50°，∴的度數(shù)為50°．故答案為：50°．分析：連接CD，求出∠B＝65°，再根據(jù)CB＝CD，求出∠BCD的度數(shù)即可．18.一條弧所對(duì)的圓心角為135°弧長等于半徑為5cm的圓的周長的3倍，則這條弧的半徑為cm．答案：40解析：解答：設(shè)弧所在圓的半徑為r，由題意得，＝2π×5×3，解得，r＝40cm．故應(yīng)填40．分析：設(shè)出弧所在圓的半徑，由于弧長等于半徑為5cm的圓的周長的3倍，所以根據(jù)原題所給出的等量關(guān)系，列出方程，解方程即可．19.已知：如圖，在⊙O中，C在圓周上，∠ACB＝45°，則∠AOB＝____答案：90°解析：解答：∵在⊙O中，C在圓周上，∠ACB＝45°，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×45°＝90°．故答案為：90°．分析：由在⊙O中，C在圓周上，∠ACB＝45°，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，即可求得∠AOB的度數(shù).20.如圖，A、B、C是⊙O上的三個(gè)點(diǎn)，∠ABC＝25°，則∠AOC的度數(shù)是____答案：50°解析：解答：∵圓心角∠AOC與圓周角∠ABC都對(duì)，∴∠AOC＝2∠ABC，又∠ABC＝25°，則∠AOC＝50°．故答案為：50°分析：根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角等于所對(duì)圓周角的2倍，由已知圓周角的度數(shù)，即可求出所求圓心角的度數(shù)．三、解答題21.如圖，AB是⊙O的直徑，＝，∠COD＝60°．（1）△AOC是等邊三角形嗎？請(qǐng)說明理由；答案：是等邊三角形（2）求證：OC∥BD．答案：見解析解析：解答：（1）△AOC是等邊三角形.證明：∵＝，∴∠1＝∠COD＝60°∵OA＝OC幾何∴△AOC是等邊三角形；（2）∵＝，∴OC⊥AD又∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AD∴OC∥BD.分析：（1）由等弧所對(duì)的圓心角相等推知∠1＝∠COD＝60°；圓的半徑知OA＝OC，從而證得△AOC是等邊三角形；（2）利用同垂直于一條直線的兩條直線互相平行來證明OC∥BD；22.如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于點(diǎn)D、E，且點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)．（1）求證：△ABC為等邊三角形；答案：見解析（2）求DE的長；答案：1；（3）在線段AB的延長線上是否存在一點(diǎn)P，使△PBD≌△AED？若存在，請(qǐng)求出PB的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．答案：存在，只需PB＝1解析：解答：（1）證明：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°．∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD是線段BC的垂直平分線，∴AB＝AC，∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC為等邊三角形．（2）解：連接BE．∵AB是直徑，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC，∵△ABC是等邊三角形，∴AE＝EC，即E為AC的中點(diǎn)，∵D是BC的中點(diǎn)，故DE為△ABC的中位線，∴DE＝AB＝×2＝1．（3）解：存在點(diǎn)P使△PBD≌△AED，由（1）（2）知，BD＝ED，∵∠BAC＝60°，DE∥AB，∴∠AED＝120°，∵∠ABC＝60°，∴∠PBD＝120°，∴∠PBD＝∠AED，要使△PBD≌△AED；只需PB＝AE＝1．分析：（1）連接AD，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角及垂直平分線的性質(zhì)得到相等的線段AB＝AC，聯(lián)立已知的AB＝BC，即可證得△ABC是等邊三角形；（2）連接BE，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到BE⊥AC，然后利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出E為AC的中點(diǎn)，繼而利用三角形中位線的數(shù)量關(guān)系求得DE的長度；（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可以證得△PBD和△AED有一組邊DE＝BD和一對(duì)角∠PBD＝∠AED對(duì)應(yīng)相等，所以只要再滿足這組角的另一夾邊對(duì)應(yīng)相等就可以了．23.如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點(diǎn)，且AC＝CD．（1）求證：OC∥BD；答案：見解析；（2）若BC將四邊形OBDC分成面積相等的兩個(gè)三角形，試確定四邊形OBDC的形狀．答案：菱形解析：解答：（1）證明：∵AC＝CD，∴∴∠ABC＝∠CBD，又∵OC＝OB（⊙O的半徑），∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OCB＝∠CBD，∴OC∥BD；（2）解：∵OC∥BD，不妨設(shè)平行線OC與BD間的距離為h，又S△OBC＝OC×h，S△DBC＝BD×h，因?yàn)锽C將四邊形OBDC分成面積相等的兩個(gè)三角形，即S△OBC＝S△DBC，∴OC＝BD，∴四邊形OBDC為平行四邊形，又∵OC＝OB，∴四邊形OBDC為菱形．分析：（1）首先由AC＝CD得到弧AC與弧CD相等，然后得到∠ABC＝∠CBD，而OC＝OB，所以得到∠OCB＝∠OBC，接著得到∠OCB＝∠CBD，由此即可證明結(jié)論；（2）首先由BC將四邊形OBDC分成面積相等的兩個(gè)三角形根據(jù)三角形的面積公式可以推出OC＝BD，而后利用（1）的結(jié)論可以證明四邊形OBDC為平行四邊形，再利用OC＝OB即可證明四邊形OBDC為菱形．24.如圖△ABC中，BC＝3，以BC為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，若D是AC中點(diǎn)，∠ABC＝120°．（1）求∠ACB的大??；答案：∠ACB＝30°（2）求點(diǎn)A到直線BC的距離．答案：解析：解答：（1）連接BD，∵以BC為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，∴∠BDC＝90°，∵D是AC中點(diǎn)，∴BD是AC的垂直平分線，∴AB＝BC，∴∠A＝∠C，∵∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，即∠ACB＝30°；（2）過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，∵BC＝3，∠ACB＝30°，∠BDC＝90°，∴cos30°＝，∴CD＝，∵AD＝CD，∴AC＝3，∵在Rt△AEC中，∠ACE＝30°，∴AE＝×3＝．分析：（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出AB＝BC，進(jìn)而得出∠A＝