奧賽典型例題分析(振動(dòng)和波)

奧賽典型例題分析(振動(dòng)和波)11.如圖1所示的振動(dòng)系統(tǒng)，輕彈簧的勁度系數(shù)為k，滑輪的質(zhì)量為M，細(xì)線與滑輪之間無(wú)摩擦，兩個(gè)小物塊的質(zhì)量分別為m1和m2，m1>m2，試求滑輪的振動(dòng)周期.

Mm1m2k圖12例1解:m1m2k圖1??Mm圖2aa先看圖2的情況，設(shè)輕繩的拉力大小為T(mén)，則由上一兩個(gè)方程可解得天花板所受的拉力為這表明原來(lái)系統(tǒng)對(duì)天花板的作用與圖3物體M′對(duì)天花板的作用等效，只要M′取值為3圖3m1m2k圖1圖4k因此，只要在上式中令就可用圖4等效于圖1,此時(shí)有所以，系統(tǒng)的振動(dòng)圓頻率為系統(tǒng)的振動(dòng)周期為42.如圖2所示，物體的質(zhì)量為m，用彈簧懸掛吊于水平輕桿上，桿的一端與光滑鉸鏈相連，另一端用彈簧懸掛，已知k1、k2、m及尺寸a、b，試求物體m的振動(dòng)周期.

圖2Oabk1k2m5設(shè)當(dāng)m處于平衡位置時(shí)，彈簧1、2的伸長(zhǎng)量分別為?l10和?l20,則例2解:圖1Oabk1k2moxxθ對(duì)m有對(duì)桿有建立ox軸，如圖所示，當(dāng)桿轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)微小的角θ時(shí)，對(duì)m有對(duì)桿有由以上方程可得6由(5)、(6)式可得由(5)、(7)式消去θ可得由這方程可知m的振動(dòng)圓頻率為故m的微振動(dòng)周期為73.如圖3所示，質(zhì)量為m的小球C由細(xì)繩AC和BC共同懸掛，已知AC＝l，BC＝2l，∠ACO＝∠BCO＝30o,試求小球C在垂直紙面方向上的微振動(dòng)周期.圖3CABml2lO30°30°8

方法1：以A為等效懸掛點(diǎn)圖1CABml2lO例3解：30°30°ggcos30°于是小球C在垂直屏幕面方向上的微小擺動(dòng)的周期為O'方法2：以AB線與CO線的交點(diǎn)O'為等效懸掛點(diǎn)則等效擺長(zhǎng)l'為CO'，根據(jù)幾何關(guān)系可求得那么小球m的微振動(dòng)周期為把重力加速度沿AC方向和AB方向分解，可得在AC方向的分量值為gcos30°.94.半徑為R的輕圓環(huán)上固定兩個(gè)質(zhì)量相同的小重物，在環(huán)上與兩個(gè)小重物距離相等的O處鉆一小孔，將這小孔穿過(guò)墻壁上的光滑小釘而把圓環(huán)掛起來(lái)，使圓環(huán)可以在豎直平面上作微振動(dòng)，兩小重物的位置關(guān)系可以用它們之間的角距離2α表示，如圖4所示，試求圓環(huán)微振動(dòng)的周期.αO圖4R●●αR10例4解：圖1αOR●●αR

用能量法求周期●●設(shè)每個(gè)重物的質(zhì)量為m，它作微振動(dòng)時(shí)的最大角振幅為,如圖所示，那么它通過(guò)平衡位置時(shí)的最大速度為其中故于是擺的最大動(dòng)能為設(shè)擺的質(zhì)心C能上升的最大高度為hCm，則據(jù)機(jī)械能守恒定律有C11C●●圖1αOR●●αR在平衡位置時(shí)，質(zhì)心C據(jù)懸掛點(diǎn)O的距離為因最大偏角為，故質(zhì)心上升的最大高度為于是由可得解得因?yàn)樗詧A環(huán)微振動(dòng)周期為125.如圖5所示，在水平光滑桌面的中心有一個(gè)光滑小孔O，一條勁度系數(shù)為k的細(xì)彈性繩穿過(guò)小孔O，繩的一端系于小孔O正下方地面的A處，另一端系一質(zhì)量為m的小物塊，彈性繩的自然長(zhǎng)度等于OA，現(xiàn)將小物塊沿桌面拉至B點(diǎn)處，OB＝L，并給小物塊一個(gè)與OB垂直的初速度v0沿桌面射出，試求：(1)小物塊繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)90°到達(dá)C點(diǎn)所需要的時(shí)間;(2)小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度及CO的長(zhǎng)度.●OBAv0圖513例5解：●OBAv0圖1xy圖2(1)據(jù)胡克定律，質(zhì)點(diǎn)在其運(yùn)動(dòng)軌跡上任一位置處所受彈力的大小為F＝kr,其中r為質(zhì)點(diǎn)所在位置與原點(diǎn)O的距離,也是彈性繩的伸長(zhǎng)量.由圖2得可見(jiàn)，質(zhì)點(diǎn)在x方向和y方向都作簡(jiǎn)諧振動(dòng).平衡位置都在原點(diǎn)，振動(dòng)圓頻率都是周期都是14質(zhì)點(diǎn)從起始位置B繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，對(duì)于x方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)來(lái)說(shuō)，質(zhì)點(diǎn)是從最大位移的位置運(yùn)動(dòng)到平衡位置的，恰好經(jīng)歷了1/4T,所以xy圖2(2)在x方向上，質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，利用如圖3所示的參考圓，可確定其振幅和初相:圖4于是其在x方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程為速度為15可求得利用公式及初始條件因質(zhì)點(diǎn)經(jīng)t=T/4時(shí)間到達(dá)C點(diǎn)，故在C點(diǎn)處，有于是166.三根長(zhǎng)為l＝2.00m的質(zhì)量均勻的直桿構(gòu)成一個(gè)等邊三角形框架ABC，C點(diǎn)懸掛在一光滑水平轉(zhuǎn)軸上，整個(gè)框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，桿AB是一導(dǎo)軌，一電動(dòng)玩具松鼠可在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)，如圖6所示，現(xiàn)觀測(cè)到松鼠正在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)而框架卻靜止不動(dòng)，試證明松鼠的運(yùn)動(dòng)應(yīng)是一種什么樣的運(yùn)動(dòng).ABCl圖6ll(96年13屆預(yù)賽題)17例6解：ABCl圖1ll建立如圖所示ox軸.因?yàn)轭}設(shè)玩具松鼠在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)，框架都靜止不動(dòng).那么以框架作為研究對(duì)象，對(duì)C軸力矩平衡，因此當(dāng)玩具松鼠運(yùn)動(dòng)到圖中位置時(shí)，它除了受到玩具松鼠給以的向下的、大小為mg的壓力外，必然受到玩具松鼠給以的大小為F的向左的力作用.于是有得那么，玩具松鼠也必然受到一個(gè)向右的大小等于F的力F'的作用.18由此可見(jiàn)，玩具松鼠的運(yùn)動(dòng)必然是簡(jiǎn)諧振動(dòng).其振動(dòng)周期為因玩具松鼠到達(dá)AB導(dǎo)軌兩端時(shí)應(yīng)反向它的，所以其振幅不能大于1/2l,即由以上論證可知，玩具松鼠在導(dǎo)軌AB上的運(yùn)動(dòng)是以AB中點(diǎn)為平衡位置，振幅不大于1米，周期約為2.64s的簡(jiǎn)諧振動(dòng).197.A是某種材料制成的小球，B是某種材料制成的均勻剛性薄球殼，假設(shè)A與B的碰撞是完全彈性的，B與桌面的碰撞是完全非彈性的.已知球殼質(zhì)量為m，內(nèi)半徑為r，放置在水平無(wú)彈性的桌面上，小球A的質(zhì)量也為m，通過(guò)一自然長(zhǎng)度為r的柔軟彈性繩懸掛在球殼內(nèi)壁的最高處，且有kr=9mg/2，k為彈性繩的彈性系數(shù).起初將小球A拉到球殼的最低點(diǎn)，如圖7所示，然后輕輕釋放，試詳細(xì)地、定量地討論小球A以后的運(yùn)動(dòng).(92年第9屆預(yù)賽題)AB圖7●20例7解：AB圖1●小球A的平衡位置O'與球心O的距離為?l，且有以O(shè)'為原點(diǎn)建立如圖所示的x軸.設(shè)任一時(shí)刻，小球A偏離平衡位置，其坐標(biāo)為x，那么它所受的回復(fù)力為令，則小球的運(yùn)動(dòng)方程為因?yàn)閠=0時(shí)，21所以小球的振幅為初相為故小球運(yùn)動(dòng)方程為運(yùn)動(dòng)速度為加速度為當(dāng)時(shí)，即小球A回到球心O處，由(1)式可得AB圖1●22所以由(2)得此時(shí)小球的速度為由(3)得此時(shí)小球的加速度為此后，小球向上運(yùn)動(dòng)，繩子不再拉緊小球，小球A作豎直上拋運(yùn)動(dòng).小球上升的最大高度不能超過(guò)r，故當(dāng)小球A上升高度為r時(shí)，其速度大小為v，有23這表明小球A將與球殼相碰，由于兩者質(zhì)量相等，且碰撞為彈性碰撞，所以，A與B交換速度，B豎直上拋，而小球A則自由下落.B能上升的最大高度為所用時(shí)間為此后，B自由下落.而當(dāng)B上升到最大高度時(shí)，小球A的下落高度為由于這表明此時(shí)繩子仍未拉緊.24令，其中由這三式可解得：這表明經(jīng)歷時(shí)間t，繩子將被拉直，此時(shí)小球A回到球殼的球心O點(diǎn)，球殼B則經(jīng)歷一升一降，又回到原來(lái)位置，并與桌面作完全非彈性碰撞而靜止.此時(shí)小球A的速度為此后在繩子作用下又作簡(jiǎn)諧振動(dòng).其振動(dòng)方程為由初始條件：可求得25故于是由于所以小球A向下運(yùn)動(dòng)時(shí)不可能與球殼相碰，這是預(yù)料中的事，因球殼B與桌面的碰撞是完全非彈性碰撞，能量有所損失.故球殼B將一直靜止下去.小球A的振動(dòng)周期仍為26由圖2所示的參考圓可知，小球A從O點(diǎn)下落再回到O點(diǎn)需時(shí)間為圖2接著，小球A又做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，上拋的初速度大小為其上拋的最大高度為到最高點(diǎn)時(shí)速度為零，故小球A只是與球殼輕輕接觸而不發(fā)生碰撞，然后又落回，球殼B則保持靜止.小球A從上拋到回到O點(diǎn)需時(shí)間為27此后，球殼B一直保持靜止，而小球A則作簡(jiǎn)諧振動(dòng)→豎直上拋運(yùn)動(dòng)→簡(jiǎn)諧振動(dòng)→豎直上拋運(yùn)動(dòng)→簡(jiǎn)諧振動(dòng)…這樣的周期性運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)周期為小球A與球殼B的運(yùn)動(dòng)情況可以用下圖來(lái)表示.●●●●●●重復(fù)A●B288.如圖8所示，一只狼沿半徑為R的圓形島邊緣按逆時(shí)針?lè)较騽蛩倥軇?dòng)，當(dāng)狼經(jīng)過(guò)島邊緣某點(diǎn)時(shí)，一只獵犬以相同速率v從島中心O出發(fā)追趕狼，設(shè)在追趕過(guò)程中狼、獵犬、中心O三者始終在同一直線上，問(wèn)獵犬應(yīng)沿何種曲線追趕？它在何處可以追上狼？O·圖829例8解：方法一（解析法）：建立極坐標(biāo)系，如圖1所示.設(shè)t=0時(shí)，犬和狼分別位于圖中的O點(diǎn)和A點(diǎn)，經(jīng)歷一段時(shí)間，在時(shí)刻t，狼到達(dá)C點(diǎn)，犬到達(dá)距圓心O為r的D點(diǎn).依題意，O、D、C三點(diǎn)在同一直線上.狼繞島做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度是恒量，為圖1設(shè)犬在D點(diǎn)處的徑向速度和橫向速度分別為和.為保證任何時(shí)候犬和狼都在同一直線上，則必須有即由于即因此有即有或因v、ω都是恒量，30圖1這表明在以ω轉(zhuǎn)動(dòng)的參考系來(lái)看，在r方向上，犬做簡(jiǎn)諧振動(dòng).設(shè)其方程為當(dāng)時(shí)，,，速度沿r軸正方向，而且最大，為所以且，于是在靜止參考系的固定坐標(biāo)系o-xy中，在t時(shí)刻犬的坐標(biāo)為31圖1由以上兩個(gè)方程消去t得犬的軌跡方程這是一個(gè)圓心在（0，R/2），半徑為R/2的半圓.這半圓與狼的軌跡圓的交點(diǎn)B就是犬可能追上狼的地方.犬沿這半圓從O點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)需時(shí)間為狼沿圓從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)需時(shí)間為因，這說(shuō)明B點(diǎn)就是犬追上狼的地方.32方法二：猜想和證明法開(kāi)始時(shí)，犬在O點(diǎn)，狼在A點(diǎn)，犬的速度應(yīng)該全是徑向速度，而無(wú)需橫向速度,速度方向應(yīng)與軌跡相切，所以，犬的軌跡圓的圓心應(yīng)在y軸上.當(dāng)犬在B點(diǎn)追上狼時(shí)，它們的速度方向應(yīng)相同都與y軸垂直，犬的速度應(yīng)該全是橫向速度.此時(shí)犬的速度方向也應(yīng)與其軌跡圓相切，故軌跡圓的圓心也應(yīng)在y軸上，由此可知犬的軌跡圓應(yīng)是以O(shè)B為直徑的圓.下面再證明這個(gè)圓滿(mǎn)足題目所給的條件.設(shè)狼位于A點(diǎn)時(shí)犬從O點(diǎn)出發(fā)追狼.當(dāng)犬未追上狼時(shí)，總可以把它的速度按徑向和橫向分解.徑向速度vr使犬與狼的距離縮短，而橫向速度vθ則使犬和狼以及O點(diǎn)保持在同一直線上.因?yàn)槔堑能壽E是圓，因此可猜想犬的軌跡也是圓，并且在B點(diǎn)追上狼.33設(shè)犬到達(dá)D點(diǎn)時(shí)狼到達(dá)C點(diǎn)，連接犬的軌跡圓的圓心O'和D點(diǎn)，因圓心角是對(duì)應(yīng)的弦切角的兩倍，所以，∠DO'O=2θ.則有犬在t時(shí)間內(nèi)通過(guò)的路程為延長(zhǎng)OD與圓O相交于C'點(diǎn)，則又因狼的速率與犬的速率都是v，所以它們?cè)谙嗤臅r(shí)間內(nèi)通過(guò)相同的路程，所以，應(yīng)有則表明C'與C點(diǎn)重合，實(shí)際上是同一個(gè)點(diǎn).也就表明任何時(shí)候，O點(diǎn)和犬、狼都在同一直線上.滿(mǎn)足了題目所給的條件.半圓O'確實(shí)是犬的軌跡.349.到了晚上，地面輻射降溫使空氣層中產(chǎn)生溫度梯度，溫度隨高度遞增，這導(dǎo)致聲速v隨高度y變化，假定變化規(guī)律為v=v0(1+a2y2)，其中v0是地面（y＝0）處的聲速，a為比例常數(shù)，今遠(yuǎn)方地面上某聲源發(fā)出一束聲波，發(fā)射方向與豎直方向成角，假定在波的傳播范圍內(nèi)ay<<1，試求該聲波在空間傳播的軌跡，并求地面上聽(tīng)得最清楚的地點(diǎn)與聲源的距離.

35例9解：本題要求的是聲波波線的軌跡，該波線與地面的交點(diǎn)就是地面上聽(tīng)得最清楚的地點(diǎn).圖1第i層第i+1層第1層如圖1所示，聲源在坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸沿地面，沿y軸將空氣分割成平行于x軸的n(n→∞)個(gè)薄層.每個(gè)薄層的厚度為?y(?y→0)，聲波從o點(diǎn)開(kāi)始進(jìn)入第一層，入射角為θ0,在各層空氣中的聲速依次為