初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)下冊(cè)第三章圓2圓的對(duì)稱性 精品獲獎(jiǎng)

圓的對(duì)稱性1．理解圓的旋轉(zhuǎn)不變性；(重點(diǎn))2．掌握?qǐng)A心角、弧、弦之間相等關(guān)系的定理；(重點(diǎn))3．能應(yīng)用圓心角、弧、弦之間的關(guān)系解決問(wèn)題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入我們知道圓是一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，無(wú)論繞圓心旋轉(zhuǎn)多少度，它都能與自身重合，對(duì)稱中心即為其圓心．將圖中的扇形AOB(陰影部分)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度，畫出旋轉(zhuǎn)之后的圖形，比較前后兩個(gè)圖形，你能發(fā)現(xiàn)什么？二、合作探究探究點(diǎn)：圓心角、弧、弦之間的關(guān)系【類型一】利用圓心角、弧、弦之間的關(guān)系證明線段相等如圖，M為⊙O上一點(diǎn)，eq\o(MA,\s\up8(︵))＝eq\o(MB,\s\up8(︵))，MD⊥OA于D，ME⊥OB于E，求證：MD＝ME.解析：連接MO，根據(jù)等弧對(duì)等圓心角，則∠MOD＝∠MOE，再由角平分線的性質(zhì)，得出MD＝ME.證明：連接MO，∵eq\o(MA,\s\up8(︵))＝eq\o(MB,\s\up8(︵))，∴∠MOD＝∠MOE，又∵M(jìn)D⊥OA于D，ME⊥OB于E，∴MD＝ME.方法總結(jié)：圓心角、弧、弦之間相等關(guān)系的定理可以用來(lái)證明線段相等．本題考查了等弧對(duì)等圓心角，以及角平分線的性質(zhì)．變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第7題【類型二】利用圓心角、弧、弦之間的關(guān)系證明弧相等如圖，在⊙O中，AB、CD是直徑，CE∥AB且交圓于E，求證：eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(BE,\s\up8(︵)).解析：首先連接OE，由CE∥AB，可證得∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E，然后由OC＝OE，可得∠C＝∠E，繼而證得∠DOB＝∠BOE，則可證得eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(BE,\s\up8(︵)).證明：連接OE，∵CE∥AB，∴∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E.∵OC＝OE，∴∠C＝∠E，∴∠DOB＝∠BOE，∴eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(BE,\s\up8(︵)).方法總結(jié)：此類題主要運(yùn)用了圓心角與弧的關(guān)系以及平行線的性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第8題【類型三】綜合運(yùn)用圓心角、弧、弦之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝36°，以C為圓心，CA為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E.求eq\o(AD,\s\up8(︵))、eq\o(DE,\s\up8(︵))的度數(shù)．解析：連接CD，由直角三角形的性質(zhì)求出∠A的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形及三角形內(nèi)角和定理分別求出∠ACD及∠DCE的度數(shù)，由圓心角、弧、弦的關(guān)系即可得出eq\o(AD,\s\up8(︵))、eq\o(DE,\s\up8(︵))的度數(shù)．解：連接CD，∵△ABC是直角三角形，∠B＝36°，∴∠A＝90°－36°＝54°.∵AC＝DC，∴∠ADC＝∠A＝54°，∴∠ACD＝180°－∠A－∠ADC＝180°－54°－54°＝72°，∴∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝90°－72°＝18°.∵∠ACD、∠BCD分別是eq\o(AD,\s\up8(︵))，eq\o(DE,\s\up8(︵))所對(duì)的圓心角，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))的度數(shù)為72°，eq\o(DE,\s\up8(︵))的度數(shù)為18°.方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等腰三角形．變式訓(xùn)練：見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第8題【類型四】有關(guān)圓心角、弧、弦之間關(guān)系的探究性問(wèn)題如圖，直線l經(jīng)過(guò)⊙O的圓心O，且與⊙O交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，且∠AOC＝30°，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與圓心O不重合)，直線CP與⊙O相交于點(diǎn)Q.是否存在點(diǎn)P，使得QP＝QO？若存在，求出相應(yīng)的∠OCP的大??；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．解析：點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，因而點(diǎn)P與線段OA有三種位置關(guān)系：點(diǎn)P在線段OA上，點(diǎn)P在OA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在OA的反向延長(zhǎng)線上．分這三種情況進(jìn)行討論即可．解：當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上(如圖①)，在△QOC中，OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCP.在△OPQ中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO.又∵∠AOC＝30°.∴∠QPO＝∠OCP＋∠AOC＝∠OCP＋30°.在△OPQ中，∠QOP＋∠QPO＋∠OQC＝180°，即(∠OCP＋30°)＋(∠OCP＋30°)＋∠OCP＝180°，整理得3∠OCP＝120°，∴∠OCP＝40°；當(dāng)P在線段OA的延長(zhǎng)線上(如圖②)，∵OC＝OQ，∴∠OQP＝(180°－∠QOC)×eq\f(1,2)＝90°－eq\f(1,2)∠QOC.∵OQ＝PQ，∴∠OPQ＝(180°－∠OQP)×eq\f(1,2)＝45°＋eq\f(1,4)∠QOC.在△OQP中，30°＋∠QOC＋∠OQP＋∠OPQ＝180°，∴30°＋∠QOC＋90°－eq\f(1,2)∠QOC＋45°＋eq\f(1,4)∠QOC＝180°，∴∠QOC＝20°，則∠OQP＝80°，∴∠OCP＝100°；當(dāng)P在線段OA的反向延長(zhǎng)線上(如圖③)，∵OC＝OQ，∴∠OCP＝∠OQC＝(180°－∠COQ)×eq\f(1,2)＝90°－eq\f(1,2)∠COQ.∵OQ＝PQ，∴∠OPQ＝∠POQ＝eq\f(1,2)∠OQC＝45°－eq\f(1,4)∠COQ.∵∠AOC＝30°，∴∠COQ＋∠POQ＝150°，∴∠COQ＋45°－eq\f(1,4)∠COQ＝150°，∴∠COQ＝140°，∴∠OCP＝(180°－140°)×eq\f(1,2)＝20°.方法總結(jié)：本題通過(guò)同圓的半徑相等，將圓的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等腰三角形的問(wèn)題，是一種常見(jiàn)的解題方法，還要注意分類討論思想的運(yùn)用．三、板書設(shè)計(jì)圓的對(duì)稱性1．圓心角、弧、弦之間的關(guān)系2．應(yīng)用圓心角、弧、弦之間的關(guān)系解決問(wèn)題本節(jié)課的教學(xué)策略是通過(guò)學(xué)生自己動(dòng)手畫圖疊合、觀察思