八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第19章矩形菱形與正方形19.3正方形第2課時(shí)正方形的判定學(xué)案新版華東師大版

Page419.3.2正方形的判定【教學(xué)目標(biāo)】能進(jìn)一步理解掌握正方形的判定定理．2．進(jìn)一步體會(huì)證明的必要性以及計(jì)算與證明在解決問(wèn)題中的作用．【教學(xué)重難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)特殊四邊形——正方形的判定定理的靈活應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)特殊四邊形——正方形的判定定理的靈活應(yīng)用．【導(dǎo)學(xué)過(guò)程】【創(chuàng)設(shè)情景，引入新課】回顧正方形有哪些性質(zhì)【自主探究】自學(xué)，明確正方形的性質(zhì)定理和判定定理的靈活應(yīng)用．解決問(wèn)題：下面大家來(lái)猜一猜，想一想依次連接任意四邊形各邊的中點(diǎn)可以得到一個(gè)平行四邊形．那么，依次連接正方形各邊的中點(diǎn)．(如圖)能得到—個(gè)怎樣的圖形呢?先猜一猜，再證明．依次連結(jié)正方形各邊的中點(diǎn)得到的四邊形是正方形．證明：∵四邊形ABCD是正方形．∴∠A＝∠B=∠C=∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA．又∵A1、B1、C1、D1分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)。∴AA1＝BA＝BB1＝B1C＝CC1＝C1D＝DD1＝D1A．∴△AD1A1≌△BA1B1≌△CB1C1≌△DC1D1．∴A1B1＝B1C1＝C1D1＝D1A1．∵∠A＝∠B＝90°，AA1＝AD1，A1B=BB1，∴∠AA1D1=∠BA1B1=45°．∴∠D1A1B1＝90°．∴四邊形A1B1C1D1是正方形．這個(gè)題是先證明了四邊形A1B1C1D1的四條邊相等，即是菱形，然后又證明了這個(gè)四邊形的一個(gè)角是直角，即有一個(gè)角為直角的菱形是正方形，從而得證四邊形A1B1C1D1是正方形．【課堂探究】已知:如圖,點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，并且AF=BG=CH=DE。求證：四邊形EFGH是正方形．證明：∵四邊形ABCD是正方形．∴∠A＝∠B=∠C=∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA．又∵AF=BG=CH=DE，∴AE＝DH＝CG＝BF．∴△AEF≌△BFG≌△CGH≌△DHE．∴EF＝FG＝GH=HE，∠AEF=∠BFG．∵∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠AFE+∠BFG=90°．∴∠EFG＝90°．∴四邊形EFGH是正方形．接下來(lái)我們來(lái)做一做：在下圖中，ABCDXA表示一條環(huán)形高速公路，X表示一座水庫(kù)，B、C表示兩個(gè)大市鎮(zhèn)．已知ABCD是一個(gè)正方形，XAD是一個(gè)等邊三角形，假設(shè)政府要鋪沒(méi)兩條輸水管XB和XC，從水庫(kù)向B、C兩個(gè)市鎮(zhèn)供水，那么這兩條水管的夾角(即∠BXC)是多少度?可以利用等邊三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)去解決．解：∵△XAD是等邊三角形，∴∠AXD＝∠XAD＝∠XDA＝60°，XA=AD=XD．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝DC．∴∠XAB=∠XDC＝150°，XA=AB，XD＝CD．∴∠AXB＝15°，∠CXD＝15°．∴∠BXC=60°-∠AXB-∠CXD＝30°．【當(dāng)堂訓(xùn)練】如圖1、圖2、圖3，已知直線EF⊥MN，且與正方形ABCD的對(duì)邊或其延長(zhǎng)線分別交于E、F、M、N．求證：EF＝MN，圖3證明：只給出圖2情況下的證明，圖1、圖3情況下的證明同理．過(guò)A作MN的平行線，交BC于點(diǎn)P，過(guò)B作EF的平行線，交CD于點(diǎn)Q．由平行四邊形的性質(zhì)，得AP＝MN，BQ＝EF．[∵M(jìn)N//AP，EF//BQ，MN⊥EF，∴AP⊥BQ．∴∠QBC+∠APB=90°．∠BAP+