北大微觀經(jīng)濟學16現(xiàn)代數(shù)學工具基本知識課件

現(xiàn)代數(shù)學工具基本知識（自修內(nèi)容）

商品空間上的拓撲映射與函數(shù)

連續(xù)性原理隱函數(shù)存在定理

集值映射二元關(guān)系1課件閉球B(x,r)點集：商品空間

中的向量也叫做點，

的子集叫做點集。開球：閉球：開集：能夠表示成若干個開球的并的點集，叫做開集。易證：空集和全空間都是開集，任意個開集的并是開集，有限個開集的交是開集。拓撲：由

的一切開集組成的集族，叫做空間

上的拓撲。閉集：能夠表示成某個開集的余集的點集，叫做閉集。易證：空集和全空間都是閉集，任意個閉集的交是閉集，有限個閉集的并是閉集。一、商品空間上的拓撲開球B(x,r)開集

X任何兩個開球的交都是開集2課件內(nèi)點：點x叫做集合

X的內(nèi)點，是指存在實數(shù)

r

>

0

使得以x

為中心、r為半徑的開球B(x,r)包含在X中。內(nèi)部：集合

X

的內(nèi)點的全體叫做

X

的內(nèi)部，記作

int

X

或

X

o。可以證明：X

o是包含在X中的最大開集；

X是開集

當且僅當

X=Xo。鄰域：我們把以x為內(nèi)點的集合叫做x的鄰域?？梢宰C明：

x

的任何兩個鄰域的交仍然是

x

的鄰域。(一)

內(nèi)點與鄰域內(nèi)點一、商品空間上的拓撲鄰域U鄰域V3課件(三)拓撲子空間一、商品空間上的拓撲子空間：賦予相對拓撲的點集X，叫做的拓撲子空間。所謂子空間

X

上的相對拓撲，是指由

X與的開集之交所構(gòu)成的集族

(X

)

=

{X

U:U

是

的開集}。

(X

)中的集合就叫做

X

的開集，也叫做相對開集。相對開集在

X中的余集，叫做X的閉集，或稱相對閉集。顯然，X的子集M是相對閉集當且僅當

M

是

X

與的某個閉集的交集。例：半開半閉區(qū)間(1,2]既不是實數(shù)直線

R

中的閉集，也不是R

中的開集。

但在子空間(0,2]中，(1,2]是相對開集，這是因為(1,2]

=

(0,2](1,3)。M5課件(四)連通集(連通空間)一、商品空間上的拓撲連通集：賦予相對拓撲后，不能表示成為兩個非空且不相交的相對開集之并的子空間，叫做連通子空間或連通集?？梢宰C明：對于點集X來說，X

連通當且僅當X不能表示成兩個非空且不相交的相對閉集之并。X連通當且僅當不存在滿足下述條件的集合

A

與B：X=AB，A

，B，AB=，AB=ABX

不連通CDX

連通6課件(五)有界集與緊集一、商品空間上的拓撲X

下有界：

(aR

)(xX

)(

x

a

)。X

上有界：

(bR

)(xX

)(

x

b

)。X

有界：

X既下有界，又上有界。X

的開覆蓋{Ut}tT：{Ut}tT

是的開集族，并且

X

tT

Ut。緊集

X：是指

X

的任何開覆蓋都有有限子覆蓋。定理

設(shè)。X

是緊集當且僅當

X

是有界閉集。X

下有界X

上有界X

的開覆蓋7課件(七)一些重要事實一、商品空間上的拓撲定理

設(shè)。int

X

X

cl

X

。X

是開集

X

=int

X

。X

是閉集

X

=

cl

X

。int

X

是包含在X中的最大開集，cl

X

是包含X

的最小閉集。X

是閉集

X中任何收斂點列的極限都仍在

X

中。X

連通不存在滿足下述條件的集合

A

與B：X

是緊集X

是有界閉集。X

是緊集X

是閉集且

X

中的任何序列都有收斂子序列。X是緊集X的任何具有有限交性質(zhì)的相對閉集族都具有非空的交。集族的有限交性質(zhì)：集族中任何有限個集合的交集都非空。9課件二、映射與函數(shù)假定

X和Y為兩個任意給定的集合。映射

f:X

Y是從X到Y(jié)的一種對應(yīng)關(guān)系：對于X中的任一元素x，Y

中都有唯一的元素

y與之對應(yīng)(這個元素

y通常記作

f(x))。X叫做f的定義域，Y叫做f的值域。圖像：G(f)

=

{(x,

y)X

Y:y

=f(x)}叫做映射

f的圖像。像或值集：集合

f[M]

=

{f

(x):xM

}叫做

M

(X)在

f

下的像或值集。原像：集合f[K

]={x

X:f(x)K

}叫做

K

(

Y)在

f

下的原像。f:X

Y-1若f是從

X到

Y

的映射，則f

也是從

X到f[X]的映射。函數(shù)：取值為實數(shù)的映射，叫做函數(shù)。即f:X

Y為函數(shù)是指Y

R(也即

f[M]

R)。XY10課件(一)幾類典型的映射二、映射與函數(shù)單射f:X

Y：把不同的點映射成不同的點，即(x,

yX

)

(

(

x

y

)

(

f(

x)

f(

y)

)

滿射f:X

Y：Y=f[

X]，即

(yY

)(xX

)

(

y

=

f(

x)

)。雙射f:X

Y：f既是單射，又是滿射。也稱f

為1-1對應(yīng)。泛函：定義域為(拓撲)向量空間，取值為實數(shù)的映射。線性泛函：保持線性運算的泛函f:V

R(

V

為向量空間)，即(x,

yV

)(

,

R

)

(

f(

x+

y)

=

f(x)+

f(

y)

)。例：任意給定向量，定義映射如下：。則f

是線性泛函。例：是雙射(1-1映射)。例：f:R

[0,

1](f(x)=sinx)是滿射，但不是單射。11課件定理中的雅克比矩陣

J

(x,

y)定義如下：定理設(shè)函數(shù)Fi(x,

y)在點附近連續(xù)可微且，雅克比矩陣可逆。則存在的鄰域和

的領(lǐng)域

，存在唯一的映射(即)滿足：對任何

xU，都有；

；在U

內(nèi)連續(xù)可微(i

=

1,2,,

n)。三、隱函數(shù)存在定理13課件四、集值映射集值映射是取值為集合的映射，反映的是元素與集合之間的對應(yīng)關(guān)系。這是經(jīng)濟學為自己創(chuàng)造的一種分析工具。多值函數(shù)就是集值映射的一種形式。帶歧視的價值函數(shù)也是一種集值映射。消費預(yù)算、需求、供給也都是集值映射，甚至連經(jīng)濟系統(tǒng)本身也可以看成是一種集值映射。集值映射在現(xiàn)實生活中也是多見的。比如，消費選擇。消費者往往因為好多西太多而眼花繚亂，做不出唯一的選擇：這件東西好，那件東西也好，買哪一個都行。這樣，這件東西和那件東西都成為他需要且在購買能力之內(nèi)的商品。這種選擇的不唯一性，是集值映射的一個典型事例。又如，拋物線y

2

=

4x

上

y與x的關(guān)系是集值映射。關(guān)于集值映射，討論起來比單值映射要復(fù)雜得多。這里只討論與本課程有關(guān)的內(nèi)容：集值映射的連續(xù)性。14課件(一)集值映射的概念四、集值映射集映(集值映射)F

:

X

Y：F

是從X

到冪集P(Y

)的映射，即對任何xX，都有F(x)

Y。對應(yīng)(correspondence)

F

:

X

Y

：是指(xX

)(F(x)

)。集合

M

(

X

)

在

F

:

X

Y

下的像集

F[M

]：F[M

]=xM

F(x)。看待集映

F

:

X

Y

的幾種不同視角：XYF

:

X

Y看成單值映射：F

:

X

P(Y)。看成集族：{F(x)}xX

?？闯啥嘀涤成洌号cx

對應(yīng)的值不止一個，把這些值放在一起即形成了集合

F(x)。看成乘積集合

X

Y的子集：集值映射

F

與它的圖像

G(F

)

=

{(x,

y)X

Y

:yF(x)}

之間是1-1對應(yīng)的，因而可把

F

與其圖像G(F

)等同看待。15課件(三)連續(xù)集映四、集值映射假定：X

與Y

都是拓撲空間，F(xiàn)

:

X

Y。上半連續(xù)：F

在

x

X

處上半連續(xù)，是指對

Y中任何包含

F(x)

的開集

V，都存在

x

的鄰域

U

使得

F[U

]V。F

上半連續(xù)，是指F

在任何點x

X

處都上半連續(xù)。下半連續(xù)：F

在

x

X

處下半連續(xù)，是指對

Y中任何與

F(x)

相交的開集

V，都存在

x

的鄰域U

使得F(z)V

對一切zU

成立。F

下半連續(xù)，是指F

在任何點

x

X

處都下半連續(xù)。連續(xù)集映：既上半連續(xù)，又下半連續(xù)的集映。xUVF(x)F(x)VUx上半連續(xù)下半連續(xù)17課件1.集映連續(xù)性的意義四、集值映射xUVF(x)F(x)VUx在

x

處雖然上半連續(xù)，但不下半連續(xù)(三)連續(xù)集映集映的上半連續(xù)性和下半連續(xù)性都是函數(shù)連續(xù)性概念的推廣。F的上半連續(xù)性是說F(x)不會突然彭脹——框得??；F的下半連續(xù)性是說F(x)不會陡然收縮——粘得住。在

x

處雖然下半連續(xù)，但不上半連續(xù)粘不住框不住18課件2.集映連續(xù)性的判別四、集值映射(三)連續(xù)集映定理

設(shè)，F(xiàn)

:

X

Y。如果F

是閉集值集映且F[X

]有界，則F

上半連續(xù)當且僅當F是閉集映。若F(x)

是閉集且存在x

的鄰域U

使得F[U

]有界，則F在x處上半連續(xù)當且僅當對任何

yY

以及任何序列

xkX

和

ykF(xk)

(

k

=1,2,)，當

xk

x

(

k

)

且

yk

y

(

k

)時，y

F(x)。集映F在x

處下半連續(xù)當且僅當對任何yF(x)

及

X

中任何收斂于

x的序列

xk

(

k

=

1,2,)，存在Y

中收斂于

y

的序列

yk

(k=

1,2,)，使得

ykF(xk)

(

k

=

1,2,)。如果F是閉集值的閉集映且存在

x

的鄰域U使得F[U

]有界，則F

在x

處上半連續(xù)。本定理為研究集值映射提供了極大便利，其中結(jié)論(4)直接從(1)得到，且比(1)可能更為有用；結(jié)論(2)和(3)也很有用。19課件(一)二元關(guān)系的性質(zhì)五、二元關(guān)系假定：

是集合

X

上的二元關(guān)系。二元關(guān)系的常用性質(zhì)自反性：(xX

)(xx)傳遞性：(x,

y,

zX

)(((xy)(

yz))(xz))完全性：(x,

yX

)((xy)(

yx))對稱性：(x,

yX

)((xy)(

yx))反對稱性：(x,

yX

)(((xy