機械控制第二章

第二章數(shù)學(xué)模型一、控制系統(tǒng)的運動微分方程二、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化三、拉氏變換和拉氏反變換四、傳遞函數(shù)五、系統(tǒng)方框圖六、小結(jié)○、數(shù)學(xué)模型的基本概念第二章數(shù)學(xué)模型2/7/20231○、數(shù)學(xué)模型的基本概念2.0.1數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式，它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關(guān)系。

靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：靜態(tài)條件（變量各階導(dǎo)數(shù)為零）下描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程。

動態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。

2/7/202322.0.2建立數(shù)學(xué)模型的方法

解析法

實驗法依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律列寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立模型。人為地對系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當?shù)臄?shù)學(xué)模型進行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識。數(shù)學(xué)模型應(yīng)能反映系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征，同時應(yīng)對模型的簡潔性和精確性進行折衷考慮。2/7/202332.0.3數(shù)學(xué)模型的形式

時間域：微分方程（一階微分方程組）、差分方程、狀態(tài)方程

復(fù)數(shù)域：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖

頻率域：頻率特性2/7/20234一、控制系統(tǒng)的運動微分方程2.1.1建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟

分析系統(tǒng)工作原理和信號傳遞變換的過程，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量；

從輸入端開始，按照信號傳遞變換過程，依據(jù)各變量遵循的物理學(xué)定律，依次列寫出各元件、部件的動態(tài)微分方程；

消去中間變量，得到描述元件或系統(tǒng)輸入、輸出變量之間關(guān)系的微分方程；

標準化：右端輸入，左端輸出，導(dǎo)數(shù)降冪排2/7/202352.1.2控制系統(tǒng)微分方程的列寫

機械系統(tǒng)機械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可簡化為質(zhì)量、彈簧和阻尼三個要素：質(zhì)量mfm(t)參考點x

(t)v

(t)2/7/20236彈簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)2/7/20237阻尼CfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)2/7/20238機械平移系統(tǒng)mmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)機械平移系統(tǒng)及其力學(xué)模型fC(t)靜止（平衡）工作點作為零點，以消除重力的影響2/7/20239式中，m、C、K通常均為常數(shù)，故機械平移系統(tǒng)可以由二階常系數(shù)微分方程描述。顯然，微分方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而階次等于系統(tǒng)中獨立儲能元件（慣性質(zhì)量、彈簧）的數(shù)量。

2/7/202310彈簧－阻尼系統(tǒng)xo(t)0fi(t)KC彈簧-阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)運動方程為一階常系數(shù)微分方程。

2/7/202311機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)Ki(t)o(t)00TK(t)TC(t)C粘性液體齒輪JJ—旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動慣量；K—扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)；C—粘性阻尼系數(shù)柔性軸2/7/2023122/7/202313

電氣系統(tǒng)電阻電氣系統(tǒng)三個基本元件：電阻、電容和電感。Ri(t)u(t)2/7/202314電容Ci(t)u(t)電感Li(t)u(t)2/7/202315

R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)2/7/202316一般R、L、C均為常數(shù)，上式為二階常系數(shù)微分方程。

若L=0，則系統(tǒng)簡化為：2/7/202317有源電網(wǎng)絡(luò)+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a即：2/7/202318

小結(jié)

物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學(xué)模型，從而可以拋開系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進行具有普遍意義的分析研究（信息方法）。

從動態(tài)性能看，在相同形式的輸入作用下，數(shù)學(xué)模型相同而物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)其輸出響應(yīng)相似。相似系統(tǒng)是控制理論中進行實驗?zāi)M的基礎(chǔ)；2/7/202319

通常情況下，元件或系統(tǒng)微分方程的階次等于元件或系統(tǒng)中所包含的獨立儲能元（慣性質(zhì)量、彈性要素、電感、電容、液感、液容等）的個數(shù)；因為系統(tǒng)每增加一個獨立儲能元，其內(nèi)部就多一層能量（信息）的交換。

系統(tǒng)的動態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)。2/7/202320

線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則為線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)是時間t的函數(shù)，則為線性時變系統(tǒng)；線性系統(tǒng)線性是指系統(tǒng)滿足疊加原理，即：可加性：齊次性：或：2/7/202321用非線性微分方程描述的系統(tǒng)。非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理。非線性系統(tǒng)為分析方便，通常在合理的條件下，將非線性系統(tǒng)簡化為線性系統(tǒng)處理。實際的系統(tǒng)通常都是非線性的，線性只在一定的工作范圍內(nèi)成立。2/7/202322

液體系統(tǒng)節(jié)流閥節(jié)流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統(tǒng)設(shè)液體不可壓縮，通過節(jié)流閥的液流是湍流。

A：箱體截面積；2/7/202323上式為非線性微分方程，即此液位控制系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。

：由節(jié)流閥通流面積和通流口的結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q定的系數(shù)，通流面積不變時，為常數(shù)。2/7/202324

線性系統(tǒng)微分方程的一般形式

式中，a1，a2，…，an和b0，b1，…，bm為由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的實常數(shù)，m≤n。

2/7/202325二、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化2.2.1線性化問題的提出

線性化：在一定條件下作某種近似或縮小系統(tǒng)工作范圍，將非線性微分方程近似為線性微分方程進行處理。

非線性現(xiàn)象：機械系統(tǒng)中的高速阻尼器，阻尼力與速度的平方成反比；齒輪嚙合系統(tǒng)由于間隙的存在導(dǎo)致的非線性傳輸特性；具有鐵芯的電感，電流與電壓的非線性關(guān)系等。

2/7/202326

線性化的提出

線性系統(tǒng)是有條件存在的，只在一定的工作范圍內(nèi)具有線性特性；

非線性系統(tǒng)的分析和綜合是非常復(fù)雜的；

對于實際系統(tǒng)而言，在一定條件下，采用線性化模型近似代替非線性模型進行處理，能夠滿足實際需要。2/7/2023272.2.2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化

泰勒級數(shù)展開法

函數(shù)y=f(x)在其平衡點（x0,y0）附近的泰勒級數(shù)展開式為：

2/7/202328略去含有高于一次的增量x=x-x0的項，則：或：y-y0=y=Kx，其中：上式即為非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。y0=f(x0)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程；2/7/202329增量方程的數(shù)學(xué)含義就是將參考坐標的原點移到系統(tǒng)或元件的平衡工作點上，對于實際系統(tǒng)就是以正常工作狀態(tài)為研究系統(tǒng)運動的起始點，這時，系統(tǒng)所有的初始條件均為零。

對多變量系統(tǒng)，如：y=f(x1,x2)，同樣可采用泰勒級數(shù)展開獲得線性化的增量方程。

2/7/202330增量方程：靜態(tài)方程：其中：2/7/202331

滑動線性化——切線法0xy=f(x)y0x0xy’y非線性關(guān)系線性化A線性化增量增量方程為：y

y'=xtg切線法是泰勒級數(shù)法的特例。2/7/2023322.2.3系統(tǒng)線性化微分方程的建立步驟

確定系統(tǒng)各組成元件在平衡態(tài)的工作點；

列出各組成元件在工作點附近的增量方程；

消除中間變量，得到以增量表示的線性化微分方程；2/7/202333實例：液位系統(tǒng)的線性化解：穩(wěn)態(tài)時：非線性項的泰勒展開為：節(jié)流閥節(jié)流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統(tǒng)2/7/202334則：由于：注意到：2/7/202335實際使用中，常略去增量符號而寫成：所以：此時，上式中H(t)和qi(t)均為平衡工作點的增量。2/7/2023362.2.4線性化處理的注意事項

線性化方程的系數(shù)與平衡工作點的選擇有關(guān)；

線性化是有條件的，必須注意線性化方程適用的工作范圍；

某些典型的本質(zhì)非線性，如繼電器特性、間隙、死區(qū)、摩擦等，由于存在不連續(xù)點，不能通過泰勒展開進行線性化，只有當它們對系統(tǒng)影響很小時才能忽略不計，否則只能作為非線性問題處理。2/7/202337inout0近似特性曲線真實特性飽和非線性inout0死區(qū)非線性inout0繼電器非線性inout0間隙非線性2/7/202338三、拉氏變換和拉氏反變換2.3.1拉氏變換設(shè)函數(shù)f(t)(t0)在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，且存在一正實常數(shù)，使得：則函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：s=+j（，均為實數(shù)）；2/7/202339稱為拉普拉氏積分；F(s)稱為函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換或象函數(shù)，它是一個復(fù)變函數(shù)；f(t)稱為F(s)的原函數(shù)；L為拉氏變換的符號。2.3.2拉氏反變換L－1為拉氏反變換的符號。2/7/2023402.3.3幾種典型函數(shù)的拉氏變換

單位階躍函數(shù)1(t)10tf(t)單位階躍函數(shù)2/7/202341

指數(shù)函數(shù)（a為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)0tf(t)12/7/202342

正弦函數(shù)與余弦函數(shù)正弦及余弦函數(shù)10tf(t)f(t)=sintf(t)=cost-1由歐拉公式，有：

2/7/202343從而：同理：2/7/202344

單位脈沖函數(shù)(t)0tf(t)單位脈沖函數(shù)1由洛必達法則：所以：2/7/202345

單位速度函數(shù)（斜坡函數(shù)）10tf(t)單位速度函數(shù)12/7/202346

單位加速度函數(shù)單位加速度函數(shù)0tf(t)函數(shù)的拉氏變換及反變換通?？梢杂衫献儞Q表直接或通過一定的轉(zhuǎn)換得到。

2/7/2023472.3.4拉氏變換的主要定理

疊加定理

齊次性：L[af(t)]=aL[f(t)]，a為常數(shù)；疊加性：L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)]

a，b為常數(shù)；顯然，拉氏變換為線性變換。2/7/202348實微分定理證明：由于即：2/7/202349所以：同樣有：式中，f'(0)，f''(0)，……為函數(shù)f(t)的各階導(dǎo)數(shù)在t=0時的值。2/7/202350當f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時刻的值均為零時（零初始條件）：2/7/202351當f(t)在t=0處具有間斷點時，df(t)/dt在t=0處將包含一個脈沖函數(shù)。故若f(0+)

f(0－)，則：2/7/202352復(fù)微分定理若L[f(t)]=F(s)，則除了F(s)的極點之外，有：2/7/202353

積分定理當初始條件為零時：若f(0+)

f(0－)，則：2/7/202354

延遲定理設(shè)當t<0時，f(t)=0，則對任意0，有：函數(shù)f(t-)0tf(t)f(t)f(t-)2/7/202355

位移定理例：2/7/202356

初值定理證明：初值定理建立了函數(shù)f(t)在t=0+處的初值與函數(shù)sF(s)在s趨于無窮遠處的終值間的關(guān)系。

2/7/202357

終值定理若sF(s)的所有極點位于左半s平面，即：存在。則：證明：2/7/202358終值定理說明f(t)穩(wěn)定值與sF(s)在s=0時的初值相同。又由于：即：2/7/202359

時間比例尺的改變例：2/7/2023602.3.5求解拉氏反變換的部分分式法

部分分式法

如果f(t)的拉氏變換F(s)已分解成為下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)假定F1(s),F2(s),…，F(xiàn)n(s)的拉氏反變換可以容易地求出，則：L-1[F(s)]=L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)]=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)2/7/202361在控制理論中，通常：為了應(yīng)用上述方法，將F(s)寫成下面的形式：式中，p1，p2，…，pn為方程A(s)=0的根的負值，稱為F(s)的極點；ci=bi

/a0

(i=0,1,…,m)。此時，即可將F(s)展開成部分分式。

2/7/202362

F(s)只含有不同的實數(shù)極點式中，Ai為常數(shù)，稱為s=-pi極點處的留數(shù)。于是：2/7/202363例：求的原函數(shù)。解：2/7/202364即：2/7/202365

F(s)含有共軛復(fù)數(shù)極點

假設(shè)F(s)含有一對共軛復(fù)數(shù)極點-p1、-p2，其余極點均為各不相同的實數(shù)極點，則：式中，A1和A2的值由下式求解：上式為復(fù)數(shù)方程，令方程兩端實部、虛部分別相等即可確定A1和A2的值。2/7/202366注意，此時F(s)仍可分解為下列形式：由于p1、p2為共軛復(fù)數(shù)，因此，A1和A2的也為共軛復(fù)數(shù)。2/7/202367例：求的原函數(shù)。解：令：，則：

2/7/202368根據(jù)：有：即：由上式兩邊實部和虛部分別相等，得：2/7/202369而：所以：2/7/202370查拉氏變換表得：令，即：于是：2/7/202371例：求的原函數(shù)。解：2/7/202372即：所以：2/7/2023732/7/202374查拉氏變換表得：2/7/202375

F(s)含有重極點

設(shè)F(s)存在r重極點-p0，其余極點均不同，則：

式中，Ar+1，…，An利用前面的方法求解。2/7/202376……2/7/202377注意到：所以：2/7/202378例：求的原函數(shù)。解：2/7/202379于是：2/7/2023802.3.6應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程

求解步驟

將微分方程通過拉氏變換變?yōu)?/p>

s的代數(shù)方

程；

解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表

達式；

應(yīng)用拉氏反變換，得到微分方程的時域解。2/7/202381原函數(shù)（微分方程的解）象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程拉氏反變換拉氏變換解代數(shù)方程拉氏變換法求解線性微分方程的過程2/7/202382

實例設(shè)系統(tǒng)微分方程為：若xi

(t)

=1(t)，初始條件分別為x'o(0)、xo(0)，試求xo(t)。解：對微分方程左邊進行拉氏變換：

2/7/202383即：2/7/202384對方程右邊進行拉氏變換：從而：2/7/2023852/7/202386所以：查拉氏變換表得：當初始條件為零時：零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)2/7/202387

應(yīng)用拉氏變換法求解微分方程時，由于初始條件已自動地包含在微分方程的拉氏變換式中，因此，不需要根據(jù)初始條件求積分常數(shù)的值就可得到微分方程的全解。

如果所有的初始條件為零，微分方程的拉氏變換可以簡單地用sn代替dn/dtn得到。

由上述實例可見：系統(tǒng)響應(yīng)可分為兩部分：零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)2/7/202388作業(yè)：2-3（3,7,8,13,17）2-4(2,3)2/7/202389四、傳遞函數(shù)2.4.1傳遞函數(shù)的概念和定義

傳遞函數(shù)

在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。

零初始條件：

t<0時，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為0；

輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即t<0時，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)也均為0；2/7/202390

傳遞函數(shù)求解示例

質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

所有初始條件均為零時，其拉氏變換為：按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：2/7/202391

R-L-C無源電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)

所有初始條件均為零時，其拉氏變換為：2/7/202392幾點結(jié)論

傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)s域中的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入形式無關(guān)。

若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函數(shù)G(s)決定，即傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)內(nèi)在的固有動態(tài)特性。

傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)的固有特性。即以系統(tǒng)外部的輸入－輸出特性來描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性。2/7/202393

傳遞函數(shù)的一般形式考慮線性定常系統(tǒng)當初始條件全為零時，對上式進行拉氏變換可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式：2/7/202394令：則：N(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為系統(tǒng)的特征根。特征方程決定著系統(tǒng)的動態(tài)特性。N(s)中s的最高階次等于系統(tǒng)的階次。2.4.2特征方程、零點和極點

特征方程2/7/202395式中，K稱為系統(tǒng)的放大系數(shù)或增益。當s=0時：

G(0)=bm/an=K從微分方程的角度看，此時相當于所有的導(dǎo)數(shù)項都為零。因此K反應(yīng)了系統(tǒng)處于靜態(tài)時，輸出與輸入的比值。

2/7/202396零點和極點將G(s)寫成下面的形式：N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj

(j=1,2,…,n)，稱為傳遞函數(shù)的極點；式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，稱為傳遞函數(shù)的零點；系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點就是系統(tǒng)的特征根。零點和極點的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。2/7/202397

零、極點分布圖

將傳遞函數(shù)的零、極點表示在復(fù)平面上的圖形稱為傳遞函數(shù)的零、極點分布圖。圖中，零點用“O”表示，極點用“×”表示。

G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零極點分布圖012312-1-2-3-1-2j2/7/2023982.4.3傳遞函數(shù)的幾點說明

傳遞函數(shù)是一種以系統(tǒng)參數(shù)表示的線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系式；傳遞函數(shù)的概念通常只適用于線性定常系統(tǒng)；

傳遞函數(shù)是

s的復(fù)變函數(shù)。傳遞函數(shù)中的各項系數(shù)和相應(yīng)微分方程中的各項系數(shù)對應(yīng)相等，完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)；2/7/202399

傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零時刻之前，系統(tǒng)對所給定的平衡工作點處于相對靜止狀態(tài)。因此，傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運動規(guī)律；

傳遞函數(shù)只能表示系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系，無法描述系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況。

一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入對一個輸出的關(guān)系，只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述。2/7/20231002.4.4脈沖響應(yīng)函數(shù)初始條件為0時，系統(tǒng)在單位脈沖輸入作用下的輸出響應(yīng)的拉氏變換為：即：g(t)稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)（權(quán)函數(shù)）。系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)與傳遞函數(shù)包含關(guān)于系統(tǒng)動態(tài)特性的相同信息。2/7/2023101注意到復(fù)數(shù)域相乘等同于時域內(nèi)卷積，因此，由：知線性系統(tǒng)在任意輸入作用下，其時域輸出：式中，當t<0時，g(t)=x(t)=0。2/7/2023102作業(yè)：2－4(2,3)2－62－10（b,d）2/7/20231032.4.5典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

環(huán)節(jié)具有某種確定信息傳遞關(guān)系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個環(huán)節(jié)。經(jīng)常遇到的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。

任何復(fù)雜的系統(tǒng)總可歸結(jié)為由一些典型環(huán)節(jié)所組成。

2/7/2023104

環(huán)節(jié)的分類假設(shè)系統(tǒng)有b個實零點，c對復(fù)零點，d個實極點，e對復(fù)極點和v個零極點，由線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零、極點表達式：可見：b+2c=m

v+d+2e=n2/7/2023105對于實零點zi=i和實極點pj=j，其因式可以變換成如下形式：2/7/2023106對于復(fù)零點對z?=?+j?和z?+1=?

j?，其因式可以變換成如下形式：式中，2/7/2023107對于復(fù)極點對pk=k+jk和pk+1=kjk，其因式可以變換成如下形式：式中，2/7/2023108于是，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以寫成：式中，為系統(tǒng)放大倍數(shù)。2/7/2023109由上式可見，傳遞函數(shù)表達式包含六種不同的因子，即：一般，任何線性系統(tǒng)都可以看作是由上述六種因子表示的典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)組合。上述六種典型環(huán)節(jié)分別稱為：2/7/2023110比例環(huán)節(jié)： K一階微分環(huán)節(jié)： s+1二階微分環(huán)節(jié)：積分環(huán)節(jié)：慣性環(huán)節(jié)：振蕩環(huán)節(jié)：2/7/2023111實際系統(tǒng)中還存在純時間延遲現(xiàn)象，輸出完全復(fù)現(xiàn)輸入，但延遲了時間，即xo(t)=xi(t-)，此時：或：因此，除了上述六種典型環(huán)節(jié)外，還有一類典型環(huán)節(jié)——延遲環(huán)節(jié)。2/7/2023112

典型環(huán)節(jié)示例

比例環(huán)節(jié)

輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關(guān)系。其運動方程為：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、xi(t)—分別為環(huán)節(jié)的輸出和輸入量；K—比例系數(shù)，等于輸出量與輸入量之比。2/7/2023113比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：z1z2ni(t)no(t)齒輪傳動副R2R1ui(t)uo(t)運算放大器2/7/2023114

慣性環(huán)節(jié)

凡運動方程為一階微分方程：形式的環(huán)節(jié)稱為慣性環(huán)節(jié)。其傳遞函數(shù)為：T—時間常數(shù)，表征環(huán)節(jié)的慣性，和環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)式中，K—環(huán)節(jié)增益（放大系數(shù)）；2/7/2023115如：彈簧-阻尼器環(huán)節(jié)xi(t)xo(t)彈簧-阻尼器組成的環(huán)節(jié)KC2/7/2023116

微分環(huán)節(jié)

輸出量正比于輸入量的微分。運動方程為：傳遞函數(shù)為：式中，—微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)在物理系統(tǒng)中微分環(huán)節(jié)不獨立存在，而是和其它環(huán)節(jié)一起出現(xiàn)。2/7/2023117如：測速發(fā)電機uo(t)i(t)測速發(fā)電機式中，Kt為電機常數(shù)。

無負載時：2/7/2023118RCui(t)uo(t)i(t)無源微分網(wǎng)絡(luò)無源微分網(wǎng)絡(luò)

顯然，無源微分網(wǎng)絡(luò)包括有慣性環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)，稱之為慣性微分環(huán)節(jié)，只有當|Ts|<<1時，才近似為微分環(huán)節(jié)。

2/7/2023119除了上述純微分環(huán)節(jié)外，還有一類一階微分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為：微分環(huán)節(jié)的輸出是輸入的導(dǎo)數(shù)，即輸出反映了輸入信號的變化趨勢，從而給系統(tǒng)以有關(guān)輸入變化趨勢的預(yù)告。因此，微分環(huán)節(jié)常用來改善控制系統(tǒng)的動態(tài)性能。2/7/2023120

積分環(huán)節(jié)

輸出量正比于輸入量對時間的積分。

運動方程為：傳遞函數(shù)為：式中，T—積分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。2/7/2023121積分環(huán)節(jié)特點：

輸出量取決于輸入量對時間的積累過程。且具有記憶功能；

具有明顯的滯后作用。積分環(huán)節(jié)常用來改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。如當輸入量為常值A(chǔ)時，由于：輸出量須經(jīng)過時間T才能達到輸入量在t=0時的值A(chǔ)。2/7/2023122如：有源積分網(wǎng)絡(luò)

+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a2/7/2023123液壓缸

Aqi(t)xo(t)2/7/2023124

振蕩環(huán)節(jié)

含有兩個獨立的儲能元件，且所存儲的能量能夠相互轉(zhuǎn)換，從而導(dǎo)致輸出帶有振蕩的性質(zhì)，運動方程為：傳遞函數(shù)：2/7/2023125式中，T—振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)

—阻尼比，對于振蕩環(huán)節(jié)，0<<1

K—比例系數(shù)振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的另一常用標準形式為（K=1）：n稱為無阻尼固有頻率。2/7/2023126如：質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)傳遞函數(shù)：式中，當時，為振蕩環(huán)節(jié)。2/7/2023127

二階微分環(huán)節(jié)

式中，—時間常數(shù)

—阻尼比，對于二階微分環(huán)節(jié)，0<<1

K—比例系數(shù)

運動方程：傳遞函數(shù)：2/7/2023128

延遲環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要求的輸出值；運動方程：傳遞函數(shù)：式中，為純延遲時間。

延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0~時間內(nèi),

沒有輸出，但t=之后，輸出完全等于輸入。延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別：2/7/2023129ALvhi(t)ho(t)軋制鋼板厚度測量2/7/2023130

小結(jié)

環(huán)節(jié)是根據(jù)微分方程劃分的，不是具體的物理裝置或元件；

一個環(huán)節(jié)往往由幾個元件之間的運動特性共同組成；

同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。2/7/2023131五、系統(tǒng)方框圖和信號流圖2.5.1系統(tǒng)方框圖

系統(tǒng)方框圖是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的圖解形式?？梢孕蜗笾庇^地描述系統(tǒng)中各元件間的相互關(guān)系及其功能以及信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程。注意：即使描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式相同，其方框圖也不一定相同。2/7/2023132

方框圖的結(jié)構(gòu)要素

信號線

帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，直線旁標記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)。X(s),x(t)信號線2/7/2023133

信號引出點（線）表示信號引出或測量的位置和傳遞方向。

同一信號線上引出的信號，其性質(zhì)、大小完全一樣。

引出線X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)2/7/2023134

函數(shù)方框(環(huán)節(jié))G(s)X1(s)X2(s)函數(shù)方框函數(shù)方框具有運算功能，即：

X2(s)=G(s)X1(s)傳遞函數(shù)的圖解表示。2/7/2023135

求和點（比較點、綜合點）信號之間代數(shù)加減運算的圖解。用符號“”及相應(yīng)的信號箭頭表示，每個箭頭前方的“+”或“-”表示加上此信號或減去此信號。

相鄰求和點可以互換、合并、分解，即滿足代數(shù)運算的交換律、結(jié)合律和分配律。X1(s)X2(s)X1(s)X2(s)2/7/2023136ABA-BCA-B+CA+C-BBCAA+CABA-B+CCA-B+C求和點可以有多個輸入，但輸出是唯一的。

2/7/2023137求和點函數(shù)方框函數(shù)方框引出線Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)方框圖示例任何系統(tǒng)都可以由信號線、函數(shù)方框、信號引出點及求和點組成的方框圖來表示。

2/7/2023138

系統(tǒng)方框圖的建立

步驟

建立系統(tǒng)各元部件的微分方程,明確信號的因果關(guān)系（輸入/輸出）。

對上述微分方程進行拉氏變換，繪制各部件的方框圖。

按照信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程，依次將各部件的方框圖連接起來，得到系統(tǒng)的方框圖。2/7/2023139

示例RCui(t)uo(t)i(t)無源RC電路網(wǎng)絡(luò)

無源RC網(wǎng)絡(luò)

拉氏變換得：2/7/2023140從而可得系統(tǒng)各方框單元及其方框圖。

Ui(s)Ui-UoI(s)Uo(s)(a)Uo(s)I(s)(b)2/7/2023141Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)無源RC電路網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)方框圖2/7/2023142

機械系統(tǒng)

m1fi(t)K1Cx(t)0m2K2xo(t)0m1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fC2/7/2023143m1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fCx(t)0xo(t)02/7/20231442/7/2023145Fi(s)X(s)FC(s)FK1(s)(a)K1X(s)Xo(s)FK1(s)CsFC(s)(b)2/7/2023146Xo(s)FC(s)FK2(s)FK1(s)(c)K2Xo(s)FK2(s)(d)2/7/2023147Fi(s)X(s)FC(s)FK1(s)Xo(s)FK2(s)K1Xo(s)FK1(s)CsFC(s)K2機械系統(tǒng)方框圖2/7/2023148系統(tǒng)方框圖的簡化

方框圖的運算法則

串聯(lián)連接

G1(s)G2(s)Gn(s)Xi(s)X1(s)X2(s)Xn-1(s)Xo(s)...G(s)=G1(s)G2(s)···Gn(s)Xi(s)Xo(s)2/7/2023149

并聯(lián)連接

Xo(s)G1(s)+Xi(s)G2(s)++Gn(s)...Xi(s)Xo(s)G1(s)+G2(s)+

+Gn(s)2/7/2023150

反饋連接

G(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)E(s)Xi(s)Xo(s)2/7/2023151

方框圖的等效變換法則

求和點的移動

G(s)ABC±求和點后移G(s)ABC±求和點前移G(s)ABCG(s)±G(s)ABC±2/7/2023152

引出點的移動引出點前移G(s)ACC引出點后移G(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)ACA2/7/2023153

由方框圖求系統(tǒng)傳遞函數(shù)基本思路：利用等效變換法則，移動求和點和引出點，消去交叉回路，變換成可以運算的簡單回路。

2/7/2023154例：求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。H1(s)Xo(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)BH2(s)A2/7/2023155H1(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)Xo(s)H2(s)G3(s)解：1、A點前移；2/7/20231562、消去H2(s)G3(s)反饋回路H1(s)Xo(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)2/7/2023157Xi(s)Xo(s)H3(s)Xi(s)Xo(s)3、消去H1(s)

反饋回路4、消去H3(s)

反饋回路2/7/20231582-8按信息傳遞和轉(zhuǎn)換過程，繪出圖示兩機械系統(tǒng)的方框圖。K1B2xom輸出K2abfi(t)輸入KB1xiB2xom輸入輸出作業(yè)：2－8、2－10、2－112/7/20231592-10繪出圖示無源電網(wǎng)絡(luò)的方框圖，并求各自的傳遞函數(shù)。R1C1C2R2uiuob)C1R1R2uo(t)ui(t)C2d)2/7/20231602-11基于方框圖簡化法則，求圖示系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。Xi(s)G1G2G3H2H1G4Xo(s)a)2/7/2023161