有限元法基礎(chǔ)-2理論基礎(chǔ)

第二章有限元法的理論基礎(chǔ)

2.1微分方程的等效積分形式2.2等效積分的“弱”形式2.3加權(quán)余量法2.4變分原理2.5Ritz法2.6彈性力學(xué)的變分原理2.1微分方程的等效積分形式已知算子方程方程的解在域W中的每一點(diǎn)都滿足算子方程和邊界條件

有限元法基礎(chǔ)2.1微分方程的等效積分形式算子

設(shè)X和Y是同一數(shù)域P上的兩個(gè)賦范線性空間，D是X的一個(gè)子集，若存在某種對(duì)應(yīng)法則T，使對(duì)任意,有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，則T稱為X中D到Y(jié)的算子，或映射。D稱為T的定義域，y或T(x)稱為象，象的集合稱為T的值域。算子方程

設(shè)算子T的定義域?yàn)镈，，值域?yàn)門(D),,等式稱為算子方程。

有限元法基礎(chǔ)2.1微分方程的等效積分形式將算子方程及邊界條件在各自的定義域中積分，有

有限元法基礎(chǔ)2.1微分方程的等效積分形式進(jìn)一步改寫為可以證明在積分方程對(duì)任意的v

都成立的話，則積分項(xiàng)在域內(nèi)每一點(diǎn)都滿足算子方程和邊界條件。稱為算子方程的等效形式特點(diǎn)和是單值函數(shù)并且在定義域上可積

u的選擇取決于算子A和B

有限元法基礎(chǔ)2.1微分方程的等效積分形式例：二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程等效積分方程

有限元法基礎(chǔ)2.2等效積分的“弱”形式對(duì)積分方程分部積分得到另一種形式C、D、E、F是微分算子，它們的導(dǎo)數(shù)階數(shù)都比A低。積分方程特點(diǎn)對(duì)u的連續(xù)性要求降低了；對(duì)和的要求提高了。這種通過(guò)適當(dāng)提高對(duì)任意函數(shù)的連續(xù)性要求，以降低對(duì)微分方程場(chǎng)函數(shù)的連續(xù)性要求所建立的積分形式－－稱為微分方程的等效積分“弱”形式有限元法基礎(chǔ)2.2等效積分的“弱”形式例：二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)

假設(shè)實(shí)現(xiàn)滿足邊界條件，等效積分形式成為分部積分有限元法基礎(chǔ)2.2等效積分的“弱”形式得到令有限元法基礎(chǔ)2.3加權(quán)余量法由于實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜性精確解難于找到，往往求近似解假設(shè)未知場(chǎng)函數(shù)u可用近似解表示

為待定參數(shù)，

為已知的試函數(shù)。代入算子方程有

和是方程的殘余量。取n個(gè)獨(dú)立的函數(shù)作為v,得到n個(gè)方程，即有限元法基礎(chǔ)2.3加權(quán)余量法基于等效積分“弱”形式的近似方法定義：采用使余量的加權(quán)積分為零來(lái)求解微分方程近似解的方法成為加權(quán)余量法（WeightedResidualMethod）根據(jù)權(quán)函數(shù)的選取方法，可得到各種形式的加權(quán)余量的求解方法，最常見(jiàn)的是伽遼金（Galerkin）法伽遼金法的特點(diǎn)是權(quán)函數(shù)與試函數(shù)取相同的函數(shù)形式

有限元法基礎(chǔ)2.3加權(quán)余量法取，在邊界上可得積分形式的余量方程組注意到，可將上式改寫為積分“弱”形式的方程組

有限元法基礎(chǔ)2.4變分原理線性自伴隨算子

算子方程在內(nèi)，若算子有如下性質(zhì)，和為任意常數(shù)

則A為線性算子。

定義內(nèi)積對(duì)上式進(jìn)行分部積分直至u的導(dǎo)數(shù)消失，即

稱為A

的伴隨算子，若稱算子為自伴隨算子。

有限元法基礎(chǔ)2.4變分原理例：證明

是自伴隨算子。

構(gòu)造內(nèi)積，并分部積分

由上式可見(jiàn)A＝A*.

有限元法基礎(chǔ)2.4變分原理微分方程為利用線性自伴隨算子的性質(zhì)伽遼金法的積分方程為

有限元法基礎(chǔ)2.4變分原理綜合上面的式子，有

其中

上式稱為原問(wèn)題的變分原理特點(diǎn)

泛函中u的最高階次為二次，故成為二次泛函；

如果函數(shù)u及其變分滿足一定的條件，能夠得到全變分形式，從而得到泛函的變分。

有限元法基礎(chǔ)2.4變分原理例：二維熱傳導(dǎo)問(wèn)題

伽遼金法的積分方程為

經(jīng)分部積分，并注意到在ST上，有由此導(dǎo)出

有限元法基礎(chǔ)2.5Ritz法對(duì)于線性自伴隨算子，存在等效的變分原理，有近似解法－－Ritz法

設(shè)近似解為Ni為取自完全系列的已知函數(shù)，ai為待定參數(shù)。代入泛函中，得到由待定參數(shù)表示的泛函，關(guān)于泛函變分，有由變分的任意性的方程組

有限元法基礎(chǔ)2.5Ritz法對(duì)于二次泛函得到的是線性方程組可以證明K是對(duì)稱矩陣關(guān)于Ritz法的收斂性

當(dāng)試函數(shù)Ni(i=1,…,n)取自完備函數(shù)系列，且滿足算子方程要求的連續(xù)性，當(dāng)泛函單調(diào)收斂于

，泛函具有極值。有限元法基礎(chǔ)2.5Ritz法Ritz法應(yīng)用中的難點(diǎn)

求解域比較復(fù)雜時(shí)，選取滿足邊界的試函數(shù)往往產(chǎn)生難以克服的困難；

為了提高計(jì)算精度，需增加待定參數(shù)，這增加了求解的復(fù)雜性；有限元法同樣建立在變分原理的基礎(chǔ)上的，可以有效地避免上述困難有限元法基礎(chǔ)2.6彈性力學(xué)的變分原理彈性力學(xué)中的變分原理包括虛功原理、余虛功原理、最小勢(shì)能原理、最小余能原理、Hellinger-Reissner（兩場(chǎng)廣義變分原理）、廣義變分原理（胡-鷲原理）等。在一定條件下它們之間是可以相互等價(jià)的，如在真實(shí)解的情況下，最小勢(shì)能原理＋最小余能原理＝0；在滿足勒讓德變換的條件下，廣義變分原理與Hellinger-Reissner等價(jià)；在材料有勢(shì)，外力有勢(shì)時(shí)虛功原理與最小勢(shì)能原理等價(jià)等等。有限元法基礎(chǔ)2.6彈性力學(xué)的變分原理彈性力學(xué)的基本假設(shè)1）連續(xù)性假設(shè)物體抽象成連續(xù)密實(shí)的空間幾何體，位移、應(yīng)變、應(yīng)力、能量等物理量作為空間點(diǎn)位置的函數(shù)定義在這個(gè)幾何體上。物體在整個(gè)變形過(guò)程中始終保持連續(xù)。2）彈性假設(shè)

彈性體的變形與載荷在整個(gè)加載和卸載過(guò)程中存在一一對(duì)應(yīng)的單值函數(shù)關(guān)系，且載荷卸去后變形完全消失，服從虎克定律。有限元法基礎(chǔ)2.6彈性力學(xué)的變分原理3）均勻性假設(shè)物體在個(gè)點(diǎn)處的彈性性質(zhì)都相同。4）自然狀態(tài)假設(shè)假設(shè)物體不受外力作用和溫度的影響，物體便沒(méi)有應(yīng)力和變形，即不考慮由于制造工藝引起的殘余應(yīng)力和裝配應(yīng)力。有限元法基礎(chǔ)2.6.1彈性力學(xué)基本方程

平衡方程幾何方程本構(gòu)方程

對(duì)各向同性彈性材料

Lamé系數(shù)

(下標(biāo)i,j=1,2,3)有限元法基礎(chǔ)2.6.1彈性力學(xué)基本方程

位移邊界條件力的邊界條件有限元法基礎(chǔ)2.6.1彈性力學(xué)基本方程

矩陣記法

平衡方程

幾何方程

本構(gòu)方程

位移邊界條件

力的邊界條件

應(yīng)變能密度

余能密度有限元法基礎(chǔ)2.6.1彈性力學(xué)基本方程

符號(hào)定義為有限元法基礎(chǔ)2.6.1彈性力學(xué)基本方程

退化為平面問(wèn)題平面應(yīng)力時(shí)的材料常數(shù)矩陣平面應(yīng)變時(shí)的材料常數(shù)矩陣有限元法基礎(chǔ)2.6.2虛功原理考慮一處于平衡的物體，即在域內(nèi)滿足平衡方程，在邊界上滿足力的邊界條件。以虛位移作為權(quán)函數(shù)得到等效積分方程第一項(xiàng)分部積分得有限元法基礎(chǔ)2.6.2虛功原理注意到在Su上，得到物理意義

平衡力系在虛位移和虛應(yīng)變上做功的總和為零。反之，如果力系在虛位移上所作之功的和為零，則物體一定處于平衡。虛功原理表述了力系平衡的必要而充分的條件。特點(diǎn)

推導(dǎo)中未涉及本構(gòu)關(guān)系，它適用于小變形的非線性彈性和彈塑性材料。有限元法基礎(chǔ)2.6.2虛功原理矩陣表達(dá)式類似的方式可以導(dǎo)出余虛功原理

如果位移是協(xié)調(diào)的，則虛應(yīng)力和虛邊界力所作之功的總和為零。有限元法基礎(chǔ)2.6.3最小勢(shì)能原理假設(shè)材料存在勢(shì)函數(shù)，即外力也存在外力勢(shì)，即虛功原理對(duì)于線彈性材料，以及外力變分為零的情況有限元法基礎(chǔ)2.6.3最小勢(shì)能原理泛函事先滿足位移協(xié)調(diào)條件1）2）隱含滿足本構(gòu)關(guān)系泛函與平衡條件等價(jià)1）2）有限元法基礎(chǔ)2.6.3最小勢(shì)能原理取極小值的證明

設(shè)為真實(shí)位移，為機(jī)動(dòng)許可的位移，分別代入系統(tǒng)總勢(shì)能表達(dá)式，得根據(jù)虛功原理泛函的一階變分為零，二階變分表現(xiàn)為應(yīng)變能，有故真實(shí)解使系統(tǒng)勢(shì)能取極小值。有限元法基礎(chǔ)2.6.3最小勢(shì)能原理基于最小勢(shì)能原理的解的下限性

由能量守恒知，變形過(guò)程中的功等于彈性體變形后的應(yīng)變能，即將此關(guān)系代入最小勢(shì)能原理，得近似位移場(chǎng)總是比精確解偏小有限元法基礎(chǔ)2.6.3最小勢(shì)能原理矩陣表達(dá)形式變分取駐值有限元法基礎(chǔ)2.6.3最小勢(shì)能原理由的任意性，以及有限元法基礎(chǔ)假設(shè)材料存在余能密度函數(shù)，且給定位移變分為零，即由此可見(jiàn)余虛功原理存在全變分表達(dá)式有限元法基礎(chǔ)2.6.4最小余能原理進(jìn)一步改寫為其中意義：真實(shí)解使系統(tǒng)的總余能取駐值。有限元法基礎(chǔ)2.6.4最小余