彈性力學第十二章復變函數法

彈性力學第十二章復變函數法第一頁，共一百零六頁，2022年，8月28日第一節(jié)復變函數的基本概念第二節(jié)應力函數,應力的表示

第三節(jié)位移的表示第四節(jié)應力邊界條件第五節(jié)園域問題的解第六節(jié)多連通域內應力與位移的單值條件

第七節(jié)保角映射與與曲線坐標第八節(jié)含圓孔口的無限大板問題第九節(jié)橢圓孔口問題第二頁，共一百零六頁，2022年，8月28日第一節(jié)復變函數的基本概念復變函數的表示分別為f(z)的實部和虛部。復數的表示共軛復數復變函數的共軛函數的表示一般，而應將所有i,換為-i.第三頁，共一百零六頁，2022年，8月28日復變函數的概念和性質

復數對應平面上的點，用復數和復變函數來描述和解平面問題是十分自然的。

復變函數w=f(z)

將平面z上的點變換為平面w上的點，將平面z上的圖形變換為平面w上的圖形，將平面z上的一個區(qū)域變換為平面w上的的一個區(qū)域。第一節(jié)復變函數的基本概念第四頁，共一百零六頁，2022年，8月28日

復變函數w=f(z)

是單值函數時，當z平面上的一點繞行一周，回到原來的位置時，對應于w平面上的點也繞行一周，回到原來的位置。當z平面上一點再繞行一周，回到原來的位置時，對應于w平面上的點也再繞行一周，回到原來的位置。第五頁，共一百零六頁，2022年，8月28日

復變函數z=f(s)

是多值函數時，當s平面上的一點繞行一周，回到原來的位置時，對應于z平面上的點并不繞行一周，回到原來的位置，而是到達新的一點。當z平面上的一點再繞行一周，回到原來的位置時，對應于z平面上的點從新的一點出發(fā)，畫出新的曲線，到達另一個新的點的位置。第六頁，共一百零六頁，2022年，8月28日

我們通常用到的多值函數是對數函數lnz.

當應力和位移由復變函數組成時,為了保證他們的單值性,應考慮這一點。

當z為單位圓周上的點時，繞行一周后，z的值重復，而對數函數lnz值不重復，也就是多值函數。第七頁，共一百零六頁，2022年，8月28日解析函數的概念和性質在一個區(qū)域D的每一個點處都可微的函數，叫在這個區(qū)域內的解析函數。

性質1如果函數在一區(qū)域內是解析的，那么對于所有的在這個區(qū)域內而且具有兩個公共端點的那些曲線C來說，積分的值相同。

性質2如果函數在一個單連通區(qū)域內是解析的，并且在一個區(qū)域D內是連續(xù)的，那么沿區(qū)域D的邊界C所取的積分等于零。第八頁，共一百零六頁，2022年，8月28日

對于多連通區(qū)域來說如果函數在一個區(qū)域內是解析的，并且在一個區(qū)域D內是連續(xù)的，那么沿區(qū)域D的邊界C所取的積分等于零，但在通過這個區(qū)域的邊界時，其通過的方向要使區(qū)域D始終保持在同一個側。DC第九頁，共一百零六頁，2022年，8月28日

性質3如果函數f(z)在一區(qū)域內是解析的，并且在一個區(qū)域D內是連續(xù)的，那么柯西公式成立其中C是區(qū)域D的邊界，其通過的方向是使區(qū)域D始終保持在其左面的。并z點應包含在區(qū)域D內,也就是說柯西積分被積函數,以z為奇點.

具體例子請看mathcad中柯西積分的例子.另外有第十頁，共一百零六頁，2022年，8月28日

性質4函數為解析函數的必要條件是柯西－黎曼條件當這些偏導數連續(xù)時，也是充分條件。根據柯西－黎曼條件，可知解析函數的實部和虛部都是調和函數:解析函數的實部和虛部是共軛的，其等值線相互垂直。第十一頁，共一百零六頁，2022年，8月28日性質5設f(z)在以z=a為圓心的圓內和圓周上是解析的，那么對圓內所有的點有泰勒級數表示：

設f(z)在a點不是解析的，則稱為該點為一個奇點，如除該點外解析，則稱為孤立奇點。如果奇點的形式如下，則成為極點（φ(z)解析）：

設f(z)在z=a處有一m階極點，但在以z=a為圓心的圓內和圓周上其他點上是解析的，那么對圓內所有的點有羅朗級數表示：第十二頁，共一百零六頁，2022年，8月28日

設f(z)在z=a處有一階極點，但在以z=a為圓心的圓內和圓周上其他點上是解析的，那么對圓內所有的點有羅朗級數表示：于是有另由包含a在內的柯西積分可得殘數定理第十三頁，共一百零六頁，2022年，8月28日如果柯西積分包含a,b兩個單極點在內，則有第十四頁，共一百零六頁，2022年，8月28日

復變函數w=f(z)

為解析函數時，在它所實現(xiàn)的條件下，若在兩曲線交點處的導數不為零，則變換前后曲線在該交點處的夾角的大小和旋轉方向保持不變，這種變換稱為保角映射。第十五頁，共一百零六頁，2022年，8月28日應力函數的復變函數表示在第二章中已經證明，在平面問題里，如果體力是常量，就一定存在一個應力函數φf，它是位置坐標的重調和函數，即第二節(jié)應力函數,應力的表示

現(xiàn)在，引用復變數z=x＋iy和z＝x－iy以代替實變數x

和y。注意第十六頁，共一百零六頁，2022年，8月28日可以得到變換式第十七頁，共一百零六頁，2022年，8月28日又可以進而得到變換式于是可將方程式變換成為令第十八頁，共一百零六頁，2022年，8月28日由可知，P是調和函數可由解析函數的實部得到，設f(z)為解析函數，可令由令第十九頁，共一百零六頁，2022年，8月28日將上式對z積分，得到令即將上式對z積分，得到第二十頁，共一百零六頁，2022年，8月28日注意上式左邊的重調和函數φf是實函數，可見該式右邊的四項一定是兩兩共軛，前兩項已經是共軛的，后兩項也應是共軛的：令即得有名的古薩公式它也可以再改寫為第二十一頁，共一百零六頁，2022年，8月28日于是可見，在常量體力的平面問題中，應力函數φf總可以用復變數z的兩個解析函φ1(z)和χ(z)來表示，稱為K-M函數。在這里我們研究了重調和函數的結構，具體的函數應由問題的邊界條件得到。第二十二頁，共一百零六頁，2022年，8月28日根據應力分量和應力函數的關系可得到應力分量的復變函數表示由可得第二十三頁，共一百零六頁，2022年，8月28日另又有可得第二十四頁，共一百零六頁，2022年，8月28日和顯然,φ1(z)及ψ1(z)具有同樣的因次［力][長度]-1。

只要已知φ1(z)及ψ1(z)，就可以把上述公式右邊的虛部和實部分開，由虛部得出τxy，由實部得出σy-σx。

就是應力分量的復變函數表示。當然也可以建立公式，把σx、σy

、τxy三者分開用φ1(z)和ψ1(z)來表示，但那些公式將比較冗長，用起來很不方便。第二十五頁，共一百零六頁，2022年，8月28日

現(xiàn)在把位移分量用復變函數φ1(z)和ψ1(z)來表示。假定這里講的是平面應力問題。由幾何方程及物理方程有第三節(jié)位移的表示可得第二十六頁，共一百零六頁，2022年，8月28日其中根據注意到同理第二十七頁，共一百零六頁，2022年，8月28日將上兩式分別對x及y積分，得其中的f1及f2為任意函數。將上式代入式第二十八頁，共一百零六頁，2022年，8月28日其中根據第二十九頁，共一百零六頁，2022年，8月28日將得到于是可以得到剛體位移

f1(y)＝u0－ωy，f2(x)＝v

0＋ωx第三十頁，共一百零六頁，2022年，8月28日不計剛體位移，即得到得到由式(*)第三十一頁，共一百零六頁，2022年，8月28日將結果代入式(*),兩邊除以1+ν而得這就是位移分量的復變函數表示。如果已知φ1(z)及ψ1(z)，就可以將該式右邊的實部和虛部分開，從而得出u和v。

上述公式是針對平面應力情況導出的。對于平面應變情況，須將式中的E改換為E/(1－ν2)，ν改換為ν/(1－ν)。應力和位移公式是柯洛索夫首先導出的。第三十二頁，共一百零六頁，2022年，8月28日

四、應力邊界條件

為了求得邊界上各結點處的φ值，須要應用應力邊界條件，即：代入上式，即得：

第三十三頁，共一百零六頁，2022年，8月28日l1=cos(N,x)=dy/ds,l2=cos(N,y)=-dx/ds,于是，前式可改寫為：由圖可見，由此得：

第三十四頁，共一百零六頁，2022年，8月28日設A是邊界上的固定點，B為任意一點，則從到邊界上的合力，可用上式從A點到B點對s積分得到：第三十五頁，共一百零六頁，2022年，8月28日將式把應力函數加上一個復常數，并不影響應力。因此，可把應力函數A處的值設為零，于是對于邊界上的σ有代入，整理得：這就是應力邊界條件。或第三十六頁，共一百零六頁，2022年，8月28日

只要我們要求出滿足邊界條件的兩個解析函數，問題就得以解決，但要求出滿足邊界條件的兩個解析函數，這仍舊是困難的，克羅索夫和穆斯赫利什維利(Kolosoff-Mushelishvili)根據邊界條件和柯西積分解決了不少復雜的問題，在這下面我們將作一簡要的介紹，通過一些例子，說明方法的應用。第三十七頁，共一百零六頁，2022年，8月28日五、園域問題的解設圓的半徑為R，在圓周L上給定外力，于是為已知函數，其中現(xiàn)在的問題是求兩個解析函數，使在L上滿足以2πi(σ-z)來除上式，這里z在圓內，并在L上積分得R第三十八頁，共一百零六頁，2022年，8月28日現(xiàn)在逐個計算上式各積分，根據柯西積分公式有由于，在圓內解析，故可令第三十九頁，共一百零六頁，2022年，8月28日由于代入上式得這里使用了第四十頁，共一百零六頁，2022年，8月28日現(xiàn)在來求常數a1，由a1＝φ’(0)，在對上式求導后，令z=0代入后得取a1的虛部為零，并不會影響應力值，可得最后得到第四十一頁，共一百零六頁，2022年，8月28日以2πi(σ-z)來除上式，這里z在圓內，并在L上積分得現(xiàn)在逐個計算上式各積分，利用現(xiàn)在來求，將下式取共軛得第四十二頁，共一百零六頁，2022年，8月28日第四十三頁，共一百零六頁，2022年，8月28日求得的解析函數中，去掉與應力無關的常數得其中第四十四頁，共一百零六頁，2022年，8月28日例邊界上兩點受水平拉力F的作用，于是FFxyδσ1σ2R可得第四十五頁，共一百零六頁，2022年，8月28日根據計算可得第四十六頁，共一百零六頁，2022年，8月28日Fxδσ1σ2r1φ1φ2r2z代入應力計算公式，并令最后可得第四十七頁，共一百零六頁，2022年，8月28日六、多連通域內應力與位移的單值條件

應力確定后，應力函數仍可差一個任意的線性函數，這時K-M函數并未完全確定，對于單連通區(qū)域，可以通過選取適當坐標系等辦法，使得K-M函數完全確定。但對于多連通區(qū)域仍不能完成確定，本節(jié)討論K-M函數在多連通區(qū)域內滿足單值的條件。

設有多連通區(qū)域，有一內邊界C，設在邊界上C的外力矢量已給定。通常的多值函數是對數函數，我們設DC第四十八頁，共一百零六頁，2022年，8月28日前面的函數的導數是單值的，但他們本身是多值的，當z繞周邊一周時，函數值ln(zk)產生一個增量2πi,于是φ1(z)和ψ1(z)的增量分別是2πiAk和2πiBk,這時應力主矢量按照公式左邊將得到應力主矢量(沿整個邊界），右邊得到一增量：這里zk為內部邊界內的任意一點，φf1和ψf1為單值的解析函數（全純函數），而Ak，Bk為常數：第四十九頁，共一百零六頁，2022年，8月28日結合可得到也將得到增量，根據單值性這個增量應為零：這時位移按照公式第五十頁，共一百零六頁，2022年，8月28日當有m個內邊界時，取于是第五十一頁，共一百零六頁，2022年，8月28日無限大多連體

當多連體的外邊界趨于無限遠時，該多連體成為無限大的多連體，除上述條件外，還需考慮無限遠的極限情況。

以坐標原點為圓心，作充分大的圓周sR，將所有的內邊界包圍在其內，對于sR之外，彈性體之內的任意一點，可得到在sR之外的解析函數第五十二頁，共一百零六頁，2022年，8月28日于是可寫為其中Px,Py為m個邊界上沿x,y方向的面力之和。第五十三頁，共一百零六頁，2022年，8月28日將多連通區(qū)域內的全純函數φ*f1和ψ*f1展開為羅郎級數：于是由于在無窮遠處的應力分量應該是有限的，級數中n≥2的系數應為零。第五十四頁，共一百零六頁，2022年，8月28日同樣從中，由于在無窮遠處的應力分量應該是有限的，應有其中略去了和應力無關的常數項。第五十五頁，共一百零六頁，2022年，8月28日其中β與應力計算無關，可取為零，而于是第五十六頁，共一百零六頁，2022年，8月28日這時當z→∞時，可得同樣當z→∞時，從中，可得可以從中求得相應的系數，并可以看到在無限遠處，應力的分布是均勻的。第五十七頁，共一百零六頁，2022年，8月28日系數為第五十八頁，共一百零六頁，2022年，8月28日

設有平面ζ，復變函數z=w(ζ)將z平面上的區(qū)域變換為平面ζ上的一個區(qū)域，通常我們選擇ζ平面為一個單位圓，下面我們首先推導在ζ平面上的應力函數及應力分量的表達式。七、保角映射與與曲線坐標為方便起見，我們仍然用φ1(ζ),ψ1(ζ)

,來表示φ1*(ζ),ψ1*(ζ)。于是有第五十九頁，共一百零六頁，2022年，8月28日由此得到位移的表示式應力邊界條件成為記在映射下邊界條件成為其中第六十頁，共一百零六頁，2022年，8月28日

除直角坐標系外，我們也可以使用其它曲線坐標，特別是正交曲線坐標，在正交曲線坐標ξ、η中，位移分量可以表示為uξ、uη，uξ為ξ增加方向上的位移，uη為η增加方向上的位移，設在某一點，正交曲線坐標ξ、η的方向由x,y的方向轉動λ，位移分量可以根據直角坐標系下的位移分量根據坐標變換公式得到，有下列的結果坐標變換ξηλxyo第六十一頁，共一百零六頁，2022年，8月28日上式可以寫為復數的形式

設有平面ζ，復變函數z=w(ζ)將z平面上的區(qū)域變換為平面ζ上的一個區(qū)域，同時將z平面上的一對垂直的方向，變換為ζ平面上的一對垂直的方向，但是轉過了一個角度λ，如果在ζ平面選用極坐標，轉過的角度λ為由下式給出第六十二頁，共一百零六頁，2022年，8月28日證明如下。設沿ρ軸方向給z點以位移dz，而對應點ζ沿徑線方向得到位移dζ，于是有可得兩邊取共軛，得到zρθλxyo第六十三頁，共一百零六頁，2022年，8月28日于是可以得到保角變換后極坐標下的位移分量

在正交曲線坐標ξ、η中，應力分量可以表示為σξ、ση和τξη，σξ為ξ＝常數的曲線上的正應力，ση為η

＝常數的曲線上的正應力，τξη為這兩曲線上的切應力，這些分量可以根據直角坐標系下的應力分量根據坐標變換公式得到，有下列的結果：第六十四頁，共一百零六頁，2022年，8月28日可以寫成特別在極坐標時第六十五頁，共一百零六頁，2022年，8月28日于是可以得到保角變換后曲線坐標下的應力分量注意到注意上面式子中的導數應按復合函數求導進行。第六十六頁，共一百零六頁，2022年，8月28日如果不作保角變換，僅僅改用極坐標，這時極坐標下的應力分量為第六十七頁，共一百零六頁，2022年，8月28日

在極坐標中，如物體的周界為圓，圓心與極坐標的原點重合，這時邊界上的外力與應力有關系由前面兩式相減可得在圓孔問題中將采用該邊界條件。第六十八頁，共一百零六頁，2022年，8月28日八、含圓孔口的無限大板問題

以坐標原點為圓心，作充分大的圓周sR，將所有的內邊界包圍在其內，對于sR之外，彈性體之內的任意一點，可得到第六十九頁，共一百零六頁，2022年，8月28日改寫為第七十頁，共一百零六頁，2022年，8月28日其中對于孔邊上的點第七十一頁，共一百零六頁，2022年，8月28日將上列各式代入就得到極坐標下圓周邊界上的級數形式的應力邊界條件。第七十二頁，共一百零六頁，2022年，8月28日設周邊上的外力為已知，并將其展開為傅氏級數第七十三頁，共一百零六頁，2022年，8月28日比較兩邊eikφ和e-ikφ的系數，可得第七十四頁，共一百零六頁，2022年，8月28日由無限遠處的應力條件，可得由位移的單值條件有及可求得第七十五頁，共一百零六頁，2022年，8月28日再由可求得至此，全部系數均已求出。第七十六頁，共一百零六頁，2022年，8月28日例設孔周邊為均勻壓力p，無限遠處的應力為零，于是有于是可求得第七十七頁，共一百零六頁，2022年，8月28日最后得到根據上述方法，圓孔口無限大板的一般問題都可以得到解決。第七十八頁，共一百零六頁，2022年，8月28日

現(xiàn)考察一無限大板，板中有一橢圓孔，其長半軸和短半軸分別為a和b。九橢圓孔在均勻受拉板中的問題這里Oab作變換該映射將橢圓外區(qū)域映射到單位圓外，這時有第七十九頁，共一百零六頁，2022年，8月28日在映射下邊界條件成為以2πi(σ-ζ)來除上式，這里ζ在圓外，并在圓周L上積分得在這里先設孔邊無外力作用，即作用于圓周線上外力的合力為零。設無限遠處的應力也為零。第八十頁，共一百零六頁，2022年，8月28日這時成為將其代入邊界條件中去，并逐項積分。第八十一頁，共一百零六頁，2022年，8月28日現(xiàn)在逐個計算上式各積分，根據柯西積分公式有由于在單位圓上有

在圓內解析，根據柯西積分公式有第八十二頁，共一百零六頁，2022年，8月28日相似可得到第八十三頁，共一百零六頁，2022年，8月28日于是得到以2πi(σ-ζ)來除上式，這里ζ在圓外，并在單位圓周L上積分得現(xiàn)在來求，將下式取共軛得第八十四頁，共一百零六頁，2022年，8月28日由于有可得到第八十五頁，共一百零六頁，2022年，8月28日于是在孔邊無外力作用，無限遠處的應力為零時我們取得到第八十六頁，共一百零六頁，2022年，8月28日當孔邊有外力作用，無限遠處的應力不為零時，在變換下將其代入邊界條件得到第八十七頁，共一百零六頁，2022年，8月28日其中這時的邊界條件與先前的邊界條件形式上類似，通過相同的步驟，可得到第八十八頁，共一百零六頁，2022年，8月28日得到例設孔的周邊不受力作用，在無限遠處受大小為P的拉應力，其方向與x軸成θ角，這時有把上述結果帶回上面K-M函數的表達式，我們就得到了帶橢圓孔無限大板最一般條件下的K-M函數的表達式。yOabxθP第八十九頁，共一百零六頁，2022年，8月28日在極坐標時在φ=θ無限遠處時于是yOabxθP第九十頁，共一百零六頁，2022年，8月28日于是這時有其中各部分的柯西積分,根據殘數定理和和柯西積分公式第九十一頁，共一百零六頁，2022年，8月28日其中前兩式計算如下第九十二頁，共一百零六頁，2022年，8月28日代入得到最后得到第九十三頁，共一百零六頁，2022年，8月28日利用他們來計算應力分量轉換為極坐標應力分量在邊界上在時第九十四頁，共一百零六頁，2022年，8月28日這時，最大值在處達到其中稱為應力集中因數，可以看到b越小，即孔越窄，應力集中因數越大，當b趨于零時，橢圓孔蛻化為一個長為2a的裂縫，應力集中因數將成為無限大，對此的詳細分析將在斷裂力學中討論。第九十五頁，共一百零六頁，2022年，8月28日

采用橢圓曲線坐標

z=ccoshζζ＝ξ＋iη坐標變換將平面上的ξ＝ξ0變換為橢圓，橢圓的半徑設為a,b，則有

a=ccoshξ0

b=csinhξ0c和ξ0可從中求得。附橢圓孔在均勻受拉板中的問題（曲線坐標解法）xy=常數=常數第九十六頁，共一百零六頁，2022年，8月28日

當當ξ＝常數，η從零到2π時，橢圓上的一點繞橢圓一周，位移和應力分量的單值性要求，這些分量在η方向上是以2π為周期的?，F(xiàn)考察一無限大板，均勻受拉力S,板中有一橢圓孔，其半徑為a和b，孔邊無外力作用。其邊界條件為:在無限遠處，σx=σy=σξ=S，τξη=0在孔邊ξ＝ξ0σξ=τξη=0O第九十七頁，共一百零六頁，2022年，8月28日由z