彈性動力學(xué)問題的建立_第1頁
彈性動力學(xué)問題的建立_第2頁
彈性動力學(xué)問題的建立_第3頁
彈性動力學(xué)問題的建立_第4頁
彈性動力學(xué)問題的建立_第5頁
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彈性動力學(xué)問題的建立第一頁,共三十四頁,2022年,8月28日第五章彈性動力學(xué)問題的建立5.1彈性動力學(xué)的基本方程5.2彈性動力學(xué)問題的提法5.3以位移表示的運(yùn)動微分方程―拉梅(Lame)方程5.4圓柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下以位移表示的運(yùn)動微分方程第二頁,共三十四頁,2022年,8月28日彈性動力學(xué)問題的建立在前幾章中我們介紹了彈性動力學(xué)的基本假設(shè),分別研究了應(yīng)力、應(yīng)變及應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系,得出了應(yīng)力與位移,應(yīng)變與位移及應(yīng)力與應(yīng)變之間分別滿足的平衡或運(yùn)動微分方程,幾何方程以及物理方程(本構(gòu)方程,廣義虎克定律)。本章研究如何求解具體彈性動力學(xué)問題,包括:(1)說明彈性動力學(xué)的基本方程,進(jìn)而明確彈性動力學(xué)問題的提法;(2)闡明解決彈性動力學(xué)問題的途徑,并建立相應(yīng)的方程。第三頁,共三十四頁,2022年,8月28日前面討論中,主要討論彈性靜力學(xué)問題,即假定彈性體的任一微小部分始終處于靜力平衡狀態(tài),位移,應(yīng)變和應(yīng)力只是位置函數(shù),不隨時間變化(運(yùn)動微分方程考慮了時間)。在彈性動力學(xué)問題中,彈性體內(nèi)各點(diǎn)的位移,應(yīng)變和應(yīng)力一般還隨時間變化,因而,它們不僅是位置的函數(shù),也是時間的函數(shù)。彈性動力學(xué)的基本方程但只要彈性動力學(xué)仍采用理想彈性體,微小位移和和自然狀態(tài)假定,則針對彈性靜力學(xué)建立的幾何方程和物理方程都可運(yùn)用于彈性動力學(xué)的任何一瞬間,形式上無須作任何改變,只需將平衡方程用運(yùn)動方程來代替。第四頁,共三十四頁,2022年,8月28日彈性動力學(xué)問題中,15個基本方程為:(1)運(yùn)動微分方程(應(yīng)力與位移關(guān)系,3個)彈性動力學(xué)的基本方程(5-1)第五頁,共三十四頁,2022年,8月28日彈性動力學(xué)的基本方程(2)幾何方程(應(yīng)變與位移關(guān)系,6個)(5-2)第六頁,共三十四頁,2022年,8月28日彈性動力學(xué)的基本方程(3)物理方程(應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系,6個)(5-3)a(a)用應(yīng)變表示應(yīng)力第七頁,共三十四頁,2022年,8月28日彈性動力學(xué)的基本方程(3)物理方程(應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系,6個)(5-3)b(b)用應(yīng)力表示應(yīng)變第八頁,共三十四頁,2022年,8月28日彈性動力學(xué)的基本方程上述15個基本方程可求解15個未知數(shù):即位移分量,六個應(yīng)變分量和六個應(yīng)力分量。這15個方程稱為以直角坐標(biāo)表示的彈性動力學(xué)基本方程。第九頁,共三十四頁,2022年,8月28日彈性動力學(xué)問題的提法求解彈性動力學(xué)問題,只有上述基本方程是不夠的,因?yàn)榛痉匠讨皇欠从澄矬w的內(nèi)部位移,應(yīng)變和應(yīng)力之間的相互關(guān)系,而對特定具體問題還必須考慮相應(yīng)的初始和邊界條件。第十頁,共三十四頁,2022年,8月28日1、初始條件給出彈性體內(nèi)各個點(diǎn)在時間時位移分量和速度分量,即:(5-8)彈性動力學(xué)問題的提法第十一頁,共三十四頁,2022年,8月28日2、邊界條件

彈性力學(xué)問題的邊界條件有三種情況:(1)給出彈性體全部表面的面力分量,此時邊界條件由應(yīng)力邊界條件表示,應(yīng)力分量由力的邊界條件公式給出。彈性動力學(xué)問題的提法第十二頁,共三十四頁,2022年,8月28日彈性動力學(xué)問題的提法(2)給出彈性體全部表面的位移分量,此時邊界條件由位移邊界條件表示,邊界上位移與給定的位移相等,即由位移公式式給出。(3)混合邊界條件,在彈性體一部分表面上給出了面力分量,而另一部分給出了位移分量。第十三頁,共三十四頁,2022年,8月28日彈性動力學(xué)問題的提法總之,彈性動力學(xué)的基本方程一般是控制彈性體內(nèi)部的位移,應(yīng)變和應(yīng)力之間相互聯(lián)系的普遍規(guī)律,而定解條件(初始和邊界條件)具體給出了每一個邊值—初值問題的特定規(guī)律。此外,在彈性波傳播問題中,介質(zhì)分界面處應(yīng)力和位移連續(xù)。第十四頁,共三十四頁,2022年,8月28日3、彈性動力學(xué)問題嚴(yán)格且完整的提法

已知:a、彈性體的形狀和尺寸,彈性體的物理性質(zhì)(彈性和慣性);b、作用于彈性體上的體力;c、邊界條件;d、初始條件。彈性動力學(xué)問題的提法應(yīng)用15個基本方程求出初始瞬時(通常)時刻以后任一瞬時刻彈性體中各點(diǎn)的位移,應(yīng)變和應(yīng)力。第十五頁,共三十四頁,2022年,8月28日4、彈性動力學(xué)問題的簡化及解題方法在解決彈性動力學(xué)問題過程中,15個基本方程可以綜合簡化,因?yàn)檫@些方程中,并非每個方程中都包括所有的未知函數(shù),可以將其中一部分未知函數(shù)選作“基本未知函數(shù)”,先求出它們,然后再由它們求出其它未知數(shù)。彈性動力學(xué)問題的提法第十六頁,共三十四頁,2022年,8月28日以應(yīng)力為“基本未知數(shù)”的解題方法稱應(yīng)力法,以位移為“基本未知數(shù)”的解題方法稱位移法。相應(yīng)地簡化15個基本方程,分別導(dǎo)出應(yīng)力滿足的微分方程或位移滿足的微分方程,以及它們相應(yīng)的邊界條件。在一定的邊界條件和初始條件下,按選取的解題方法,求出其相應(yīng)的微分方程的解,也就是滿足全部基本方程。彈性動力學(xué)問題的提法第十七頁,共三十四頁,2022年,8月28日(1)應(yīng)力法取物體內(nèi)點(diǎn)的應(yīng)力分量為基本未知量,先解出三個應(yīng)力分量,再求相應(yīng)的應(yīng)變及位移,多用于彈性靜力學(xué)問題。彈性動力學(xué)問題的提法第十八頁,共三十四頁,2022年,8月28日彈性動力學(xué)問題的提法(2)位移法取物體內(nèi)點(diǎn)的位移為基本未知量,將各個方程中的應(yīng)力和應(yīng)變都用位移表示,先解出三個位移分量表達(dá)式,有了位移,就可以進(jìn)一步求出應(yīng)變和應(yīng)力。在地震波動力學(xué)中,往往只需要求出位移就夠了?;咀龇ǎ旱谑彭?,共三十四頁,2022年,8月28日彈性動力學(xué)問題的提法①利用幾何方程(應(yīng)變—位移),將物理方程中應(yīng)變消去,即將應(yīng)變用位移表示,物理方程變?yōu)閼?yīng)力與位移關(guān)系,這樣從這12個方程中去掉6個方程,得到應(yīng)力—位移關(guān)系方程,將其代入運(yùn)動微分方程中得到以位移表示的運(yùn)動微分方程(拉梅Lame方程)。第二十頁,共三十四頁,2022年,8月28日彈性動力學(xué)問題的提法②解位移形式的拉梅方程,求出位移分量,當(dāng)然求解過程中要用到初始條件和由位移表示的邊界條件。③求出位移后,按幾何方程求出應(yīng)變,代入物理方程中,再求出應(yīng)力表達(dá)式。第二十一頁,共三十四頁,2022年,8月28日以位移表示的運(yùn)動微分方程―拉梅(Lame)方程1、Lame方程推導(dǎo)

首先將幾何方程式代入物理方程a,得:(5-9)第二十二頁,共三十四頁,2022年,8月28日以位移表示的運(yùn)動微分方程―拉梅(Lame)方程(5-10)再將式(5-9)代入運(yùn)動微分方程(5-1)中,整理得:上式中,為拉普拉斯算子。第二十三頁,共三十四頁,2022年,8月28日以位移表示的運(yùn)動微分方程―拉梅(Lame)方程上式就是以位移表示的運(yùn)動微分方程,稱為拉梅(Lame)方程。分別乘以,并由,上式寫成矢量形式,得:(5-11)式中:第二十四頁,共三十四頁,2022年,8月28日以位移表示的運(yùn)動微分方程―拉梅(Lame)方程2、以位移分量表示的力的邊界條件若彈性體表面處的位移給定,則可通過位移邊界條件給出力的邊界條件。若彈性體表面處面力給定,則取(5-12)第二十五頁,共三十四頁,2022年,8月28日以位移表示的運(yùn)動微分方程―拉梅(Lame)方程等號右端用位移表示,才能用拉梅方程定解。將(5-9)代入(5-12)式即可得到:(5-13)其中第二十六頁,共三十四頁,2022年,8月28日以位移表示的運(yùn)動微分方程―拉梅(Lame)方程3、彈性動力學(xué)解的唯一性彈性動力學(xué)解的唯一性可表述為:若彈性體受已知體力作用,在物體表面處,或者面力已知,或者位移已知;此外,初始條件已知,則彈性體在運(yùn)動時,體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分量,應(yīng)變分量與位移分量均是唯一的。第二十七頁,共三十四頁,2022年,8月28日以位移表示的運(yùn)動微分方程―拉梅(Lame)方程彈性動力學(xué)的唯一定理,為彈性動力學(xué)問題常用的逆解法和半逆解法提供一個理論依據(jù)。逆解法和半逆解法也稱試湊法。如果試湊得不到真正的解,也會逐次逼近,得到比前次更為精確的近似解。此外還有變分法、數(shù)值方法求近似解,數(shù)值方法中有限差分和有限元法已在地震勘探中廣泛應(yīng)用。第二十八頁,共三十四頁,2022年,8月28日圓柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下以位移表示的運(yùn)動微分方程1、圓柱坐標(biāo)系下運(yùn)動微分方程―拉梅(Lame)方程

也是在15個基本方程中消去應(yīng)力和應(yīng)變分量,得到圓柱坐標(biāo)中以位移表示的運(yùn)動微分方程(5-14)第二十九頁,共三十四頁,2022年,8月28日圓柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下以位移表示的運(yùn)動微分方程(5-14)式中分別為沿方向的位移分量,而體積應(yīng)變和轉(zhuǎn)動分量為:第三十頁,共三十四頁,2022年,8月28日圓柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下以位移表示的運(yùn)動微分方程2、球?qū)ΨQ問題

(1)運(yùn)動微分方程(2)幾何方程(a)(b)第三十一頁,共三十四頁,2022年,8月28日圓柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)系下以位移表示的運(yùn)動微分方程(3)物理方程(c)將(b)式代人(c)

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