第10章 應(yīng)變理論

第十章應(yīng)變理論本章主要內(nèi)容：§10.1位移及其分量§10.2應(yīng)變及其分量§10.3應(yīng)變分量與位移分量關(guān)系§10.4應(yīng)變分析§10.5主應(yīng)變、主剪應(yīng)變、體積應(yīng)變§10.6應(yīng)變張量、球應(yīng)變張量與應(yīng)變偏張量§10.7八面體應(yīng)變和等效應(yīng)變§10.8變形連續(xù)條件§10.9變形幾何理論實(shí)例

材料成形原理§10.1位移及其分量

位移：變形體內(nèi)任意一點(diǎn)變形前后的距離（如圖中MM1）。位移分量：在坐標(biāo)系中，一點(diǎn)的位移矢量在三個(gè)坐標(biāo)系上的投影，一般用

或角標(biāo)符號(hào)來表示,如圖10-1b所示。

（a)（b)圖10-1受力物體內(nèi)一點(diǎn)的位移及其分量第十章應(yīng)變理論變形體內(nèi)不同點(diǎn)的位移分量也是不同的。根據(jù)連續(xù)性基本假設(shè)，位移分量應(yīng)是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，而且一般都有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，即：變形物體內(nèi)的位移場(chǎng)變形體內(nèi)無(wú)限接近的兩點(diǎn)的位移分量之間的關(guān)系§10.1位移及其分量

圖10-2變形體內(nèi)無(wú)限接近兩點(diǎn)位移分量及位移增量M’點(diǎn)相對(duì)于M的位移增量:若無(wú)限接近兩點(diǎn)的連線平行于某坐標(biāo)軸，例如∥x軸，則上式中,此時(shí)，上式變?yōu)椋骸?0.1位移及其分量

§10.2應(yīng)變及其分量

應(yīng)變：應(yīng)變(或稱變形的大小描述)是指物體變形時(shí)任意兩質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置隨時(shí)間發(fā)生變化。圖10-3任意方向上的變形第十章應(yīng)變理論在物體上任取兩質(zhì)點(diǎn)，放在空間坐標(biāo)系中，連接兩點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)向量MN，當(dāng)物件發(fā)生變形時(shí)，向量的長(zhǎng)短及方位發(fā)生變化，此時(shí)描述變形的大小可用線尺寸的變化與方位上的改變來表示，即線應(yīng)變(正應(yīng)變)與切應(yīng)變(剪應(yīng)變)。線應(yīng)變：

切應(yīng)變：

§10.2應(yīng)變及其分量

線應(yīng)變是描述線元尺寸長(zhǎng)度方向上的變化（伸長(zhǎng)或縮短），分一般相對(duì)應(yīng)變（名義應(yīng)變或工程應(yīng)變)與自然應(yīng)變(對(duì)數(shù)應(yīng)變或真應(yīng)變)。以桿件拉伸變形為例，變形前兩質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)定長(zhǎng)度為l0變形后為ln

，其相對(duì)應(yīng)變?yōu)椋海ㄟm用于小變形情況）由于在大的塑性變形過程中，相對(duì)應(yīng)變不足以反映實(shí)際變形情況，應(yīng)如何反映真實(shí)應(yīng)變？§10.2應(yīng)變及其分量用微分概念，設(shè)變形某一時(shí)刻桿件的長(zhǎng)度為l，經(jīng)歷時(shí)間dt桿件伸長(zhǎng)為dl，則物體的總的變形程度為：反映物體的真實(shí)變形情況，故稱真應(yīng)變。真應(yīng)變與一般相對(duì)應(yīng)變的關(guān)系，可將自然對(duì)數(shù)按泰勒級(jí)數(shù)展開得：§10.2應(yīng)變及其分量線應(yīng)變:

線元尺寸長(zhǎng)度上的變化X軸分量的線應(yīng)變Y軸分量的線應(yīng)變相對(duì)應(yīng)變真應(yīng)變線元伸長(zhǎng)時(shí)為正，縮短為負(fù)§10.2應(yīng)變及其分量切應(yīng)變:線元方位上的改變角度減小Φ取正號(hào)，增大時(shí)取負(fù)號(hào)。§10.2應(yīng)變及其分量單元體變形正應(yīng)變：表示單元體相對(duì)伸長(zhǎng)度剪應(yīng)變：表示單元體各面所夾角度的改變量△dy§10.2應(yīng)變及其分量rXΔrXryΔryrzΔrz§10.2應(yīng)變及其分量絕對(duì)變形量：指工件變形前后主軸方向上尺寸的變化量。

Δl=l1-l0相對(duì)變形：指絕對(duì)變形量與原始尺寸的比值，常稱為形變率。

ε=Δl/l=(l1-l0)/l真實(shí)變形：即變形前后尺寸比值的自然對(duì)數(shù)。

d∈=dl/l=ln

l1/l0真實(shí)變形與相對(duì)變形關(guān)系：

d∈=ln

l1/l0=ln（1+ε

）§10.2應(yīng)變及其分量§10.3應(yīng)變分量與位移分量關(guān)系

在分析研究質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)變時(shí)應(yīng)去除物體剛性平移與轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，位移場(chǎng)與應(yīng)變場(chǎng)之間存在某種對(duì)應(yīng)關(guān)系。下面就來建立小變形時(shí)位移分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系。在研究變形時(shí)，為了便于建立幾何關(guān)系，作均勻變形假設(shè)。即單元體切取很小時(shí)，變形前原來的直線與平面在變形后仍為直線與平面。變形前原來相互平行的直線與平面變形后仍相互平行。

第十章應(yīng)變理論圖10-4位移分量與應(yīng)變分量的關(guān)系變形前單元面變形后為單元面?！?0.3應(yīng)變分量與位移分量關(guān)系

線應(yīng)變：b點(diǎn)的位移分量為:d點(diǎn)的位移分量為:§10.3應(yīng)變分量與位移分量關(guān)系

工程切應(yīng)變：§10.3應(yīng)變分量與位移分量關(guān)系

由平面問題上升到三維問題，可把單元體分解為三個(gè)相互垂直的單元面xoy，yoz，zox；用同樣的方法可分析得出yoz，zox面上的應(yīng)變情況?？傻贸隹臻g直角坐標(biāo)系下小變形時(shí)，位移分量與應(yīng)變分量的關(guān)系為：§10.3應(yīng)變分量與位移分量關(guān)系

討論：

1.物理意義：表示位移(displacement)

與應(yīng)變(strain)之間的關(guān)系；

2.位移包含變形體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位移（產(chǎn)生應(yīng)變）和變形體的剛性位移（平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)）；

3.工程剪應(yīng)變理論剪應(yīng)變：

§10.3應(yīng)變分量與位移分量關(guān)系

4.應(yīng)變符號(hào)規(guī)定：

正應(yīng)變或線應(yīng)變()：伸長(zhǎng)為正，縮短為負(fù)；剪應(yīng)變或切應(yīng)變（）：夾角減小為正，增大為負(fù)；5.推導(dǎo)中應(yīng)用到小變形假設(shè)、連續(xù)性假設(shè)及泰勒級(jí)數(shù)展開等?！?0.3應(yīng)變分量與位移分量關(guān)系

§10.4應(yīng)變分析

物體變形時(shí)，其體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)在各個(gè)方向上會(huì)有應(yīng)變。與應(yīng)力分析一樣，同樣需引入“點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)”的概念。點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)也是二階張量，故與應(yīng)力張量有許多相似的性質(zhì)。在應(yīng)力狀態(tài)分析中，由一點(diǎn)三個(gè)相互垂直的微分面上九個(gè)應(yīng)力分量可求得過該點(diǎn)任意方位斜面上的應(yīng)力分量。則該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)即可確定。與此相似，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)三個(gè)相互垂直方向上的九個(gè)應(yīng)變分量，也就求出過該點(diǎn)任意方向上的應(yīng)變分量，則該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)即可確定。

第十章應(yīng)變理論指圍繞該點(diǎn)截取的無(wú)限小單元體的各棱長(zhǎng)及棱間夾角的變化情況?？杀硎緸閺埩啃问剑?/p>

應(yīng)變張量（straintensor）也可進(jìn)行與應(yīng)力張量類似的分析。

(i,j=x,y,z)§10.4應(yīng)變分析全量應(yīng)變與增量應(yīng)變的概念前面所討論的應(yīng)變是反映單元體在某一變形過程終了時(shí)的變形大小，稱作全量應(yīng)變?cè)隽繎?yīng)變張量應(yīng)變?cè)隽?§10.4應(yīng)變分析

設(shè)某一瞬間起dt時(shí)間內(nèi)，產(chǎn)生位移增量dUi，則應(yīng)有dUi=Vidt。其中Vi為相應(yīng)位移速度。代入增量應(yīng)變張量，有：

令，即為應(yīng)變速率張量§10.4應(yīng)變分析小變形后，線元移至，同時(shí)偏轉(zhuǎn)一定角度。如圖10-5所示：圖10-5任意方向線元的應(yīng)變?cè)摼€元方向余弦：§10.4應(yīng)變分析的推導(dǎo)：（1）

將(1)式展開減去r2并略去dr、du、dv、dw的平方項(xiàng)整理變形得：因，則：（2）§10.4應(yīng)變分析將(3)式代入(2)式整理得：（3）§10.4應(yīng)變分析線元ab變形后的偏轉(zhuǎn)角：

為了除去剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的影響，即只考慮純剪切變形，可將式改寫為:上式后面的第二項(xiàng)是由于剛性轉(zhuǎn)動(dòng)引起的位移增量分量，而第一項(xiàng)才是由純剪切變形引起的相對(duì)位移增量分量?！?0.4應(yīng)變分析

下面求線元變形后的偏轉(zhuǎn)角，即圖10-5中的。為了推導(dǎo)方便，可設(shè)。由點(diǎn)引，接直角三角形有：⊥于是(e)可寫成：故由于(e)§10.4應(yīng)變分析

綜上所述，若已知一點(diǎn)互相垂直的三個(gè)方向上的九個(gè)應(yīng)變分量，則可求出過該點(diǎn)任意方向上的應(yīng)變分量，則該點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)即可確定。所以，一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)可用該點(diǎn)三個(gè)互相垂直方向上的九個(gè)應(yīng)變分量來表示。這與一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可用過該點(diǎn)三個(gè)互相垂直微分面上的九個(gè)應(yīng)力分量來表示完全相似?！?0.4應(yīng)變分析§10.5主應(yīng)變、主剪應(yīng)變、體積應(yīng)變主應(yīng)變：給定一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)，總存在三個(gè)相互垂直的主方向。該方向上的線元沒有切應(yīng)變，只有線應(yīng)變，稱為主應(yīng)變。主應(yīng)變張量為：

主應(yīng)變可由應(yīng)變狀態(tài)特征方程求得：第十章應(yīng)變理論§10.5主應(yīng)變、主剪應(yīng)變、體積應(yīng)變分別稱為應(yīng)變張量的第一、第二、第三不變量。

塑性變形時(shí)體積不變，故在與應(yīng)變主方向成角的方向上，存在三對(duì)各自相互垂直的線元，它們的剪應(yīng)變有極值，叫做主剪應(yīng)變，其大小為：如果則最大剪應(yīng)變?yōu)椋?/p>

§10.5主應(yīng)變、主剪應(yīng)變、體積應(yīng)變用主應(yīng)變的個(gè)數(shù)和符號(hào)來表示應(yīng)變狀態(tài)的簡(jiǎn)圖稱為主應(yīng)變狀態(tài)圖，簡(jiǎn)稱為主應(yīng)變簡(jiǎn)圖或主應(yīng)變圖。主變形簡(jiǎn)圖是定性判斷塑性變形類型的圖示方法。根據(jù)體積不變條件和特征應(yīng)變，則塑性變形只能有三種變形類型，如圖所示：§10.5主應(yīng)變、主剪應(yīng)變、體積應(yīng)變圖10-6主應(yīng)變圖（a）廣義拉伸（b）廣義剪切（c）廣義壓縮由塑性變形時(shí)，變形前后體積不變§10.5主應(yīng)變、主剪應(yīng)變、體積應(yīng)變討論：§10.5主應(yīng)變、主剪應(yīng)變、體積應(yīng)變塑性力學(xué)圖主應(yīng)力、主應(yīng)變圖示：主應(yīng)力—9種；主應(yīng)變—3種[但只有23種可能的應(yīng)力應(yīng)變組合（塑性變形力學(xué)圖），為什么？]在探討一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)時(shí)，設(shè)過該點(diǎn)的單元體初始邊長(zhǎng)為。則變形前的體積為：考慮到小變形，切應(yīng)變引起的邊長(zhǎng)變化及體積的變化都是高階微量，可以忽略，則體積的變化只由線應(yīng)變引起，如圖2-7所是示，在x方向上得應(yīng)變?yōu)椋簣D10-7單元體邊長(zhǎng)的線變形§10.5主應(yīng)變、主剪應(yīng)變、體積應(yīng)變變形后的體積為:將上式展開，并忽略二階以上的高階微量。于是得到單元體單位體積的變化，即體積應(yīng)變?yōu)椋寒?dāng)塑性變形時(shí)，變形物體變形前后的體積保持不變，即：同理：§10.5主應(yīng)變、主剪應(yīng)變、體積應(yīng)變§10.6應(yīng)變張量、球應(yīng)變張量與應(yīng)變偏張量

與一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)一樣，一點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)是一個(gè)二階張量。應(yīng)變張量可以分解為兩個(gè)張量，即：球應(yīng)變張量

應(yīng)變偏張量

平均應(yīng)變，第十章應(yīng)變理論應(yīng)變偏張量同樣有三個(gè)張量不變量即:§10.6應(yīng)變張量、球應(yīng)變張量與應(yīng)變偏張量

§10.7八面體應(yīng)變和等效應(yīng)變

八面體應(yīng)變：如以三個(gè)主應(yīng)變?yōu)樽鴺?biāo)軸建立主應(yīng)變空間，在主應(yīng)變空間中同樣可作出正八面體，在正八面體的平面的法線方向線元的應(yīng)變稱為八面體應(yīng)變。八面體線應(yīng)變?yōu)椋喊嗣骟w切應(yīng)變?yōu)椋旱谑聭?yīng)變理論將八面體切應(yīng)變乘以系數(shù)，所得的參量稱為等效應(yīng)變，或應(yīng)變強(qiáng)度。即：

§10.7八面體應(yīng)變和等效應(yīng)變等效應(yīng)變有如下特點(diǎn)：（1）是一個(gè)不變量；（2）在塑性變形時(shí)，其數(shù)值上等于單向均勻拉伸或均勻壓縮方向上的線應(yīng)變，即。因單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，其主應(yīng)變?yōu)?，由體積不變條件可得：

§10.7八面體應(yīng)變和等效應(yīng)變

變形連續(xù)條件：由小變形時(shí)應(yīng)變與位移關(guān)系的幾何方程知，六個(gè)應(yīng)變分量取決于三個(gè)位移分量，這六個(gè)應(yīng)變分量必存在一定的關(guān)系，才保證變形物體的連續(xù)性，應(yīng)變分量之間的關(guān)系稱為變形連續(xù)條件或變形協(xié)調(diào)方程。§10.8變形連續(xù)條件第十章應(yīng)變理論變形協(xié)調(diào)方程§10.8變形連續(xù)條件對(duì)

中的y,x求兩次偏導(dǎo)數(shù)得：（1）每個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)應(yīng)力分量之間滿足的關(guān)系。兩式相加得：(1)(2)§10.8變形連續(xù)條件同理得：（2）不同坐標(biāo)平面內(nèi)應(yīng)變分量之間應(yīng)滿足的關(guān)系。將對(duì)y、z,對(duì)z、x，對(duì)x、y分別求偏導(dǎo)，并將切應(yīng)變分量

分別對(duì)x、y、z求偏導(dǎo)得：§10.8變形連續(xù)條件(d)(f)(e)將式（e）+(d)-（f）得：再將上式對(duì)z求偏導(dǎo)數(shù)得：§10.8變形連續(xù)條件同理對(duì)x、y求偏導(dǎo)得：變形協(xié)調(diào)方程有何物理意義：§10.8變形連續(xù)條件

1.物理意義：表示各應(yīng)變分量之間的相互關(guān)系“連續(xù)協(xié)調(diào)”即變形體在變形過程中不開裂，不堆積；

2.應(yīng)變協(xié)調(diào)方程說明：同一平面上的三個(gè)應(yīng)變分量中有兩個(gè)確定，則第三個(gè)也就能確定；在三維空間內(nèi)三個(gè)切應(yīng)變分量如果確定，則正應(yīng)變分量也就可以確定；

3.如果已知位移分量，則按幾何方程求得的應(yīng)變分量自然滿足協(xié)調(diào)方程；若是按其它方法求得的應(yīng)變分量，則必須校驗(yàn)其是否滿足連續(xù)性條件?！?0.8變形連續(xù)條件相似性：張量表示、張量分析、張量關(guān)系相似

應(yīng)力應(yīng)變分析的相似性與差異性：小結(jié)第十章應(yīng)變理論概念：應(yīng)力

——研究面元ds上力