第十三章能量方法

第十三章能量方法§13.1概述

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13.2桿件應變能的計算

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13.3應變能的普遍表達式

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13.4互等定理§13.5卡氏定理§13.6虛功原理§13.7單位載荷法莫爾積分§13.8計算莫爾積分的圖乘法§13.1概述固體力學中，把與功和能有關(guān)的一些定理統(tǒng)稱為能量原理。在彈性范圍內(nèi)，彈性固體在外力作用下發(fā)生變形而在體內(nèi)積蓄的能量，稱為彈性應變能，簡稱應變能。用來表示。在下列條件下加載緩慢均勻（保證是靜態(tài)）沒有其它能量的損失（如動能、熱能等）則有在彈性范圍內(nèi)此過程是可逆的

一般能量守恒原理：可以確定加力點沿加力方向的位移。ABCF外力功＝系統(tǒng)的應變能

能量方法——利用能量原理（同時滿足平衡、變形協(xié)調(diào)和物性關(guān)系)分析應力、變形和位移的方法?？梢源_定任意點沿任意方向的位移；可以確定位移函數(shù)；既可以確定位移，又可以確定內(nèi)力和應力；既適用于線性問題，又適用于非線性問題；可以用于直接求解超靜定；容易擴展到二維和三維問題。能量原理分析應力、變形和位移的的優(yōu)勢§13.2桿件應變能的計算一、軸向拉伸和壓縮變形比能（單位體積的變形能）二、純剪切考慮右圖示單元體（厚度為1），單元體左邊不動，右邊在切應力作用下的功為其變形比能為三、扭轉(zhuǎn)四、彎曲純彎曲橫力彎曲軸向拉伸、扭轉(zhuǎn)和彎曲時的外力功（或變形能）可統(tǒng)一寫成廣義力和廣義位移的形式解：（1）求鋼索內(nèi)力，以ABD為對象FABCDTTYAXA[例1]橫梁ABCD為剛梁，橫截面面積為76.36mm2的鋼索繞過無摩擦的定滑輪。設F=20kN，試以能量法求剛索的應力和C點的垂直位移。剛索的E=177GPa。(圖中單位為：mm)800400400CFAB60°60°D(2)鋼索的應力為(3)C點位移為能量法：利用應變能的概念解決與結(jié)構(gòu)物或構(gòu)件的彈性變形有關(guān)的問題，這種方法稱為能量法。§13.3應變能的普遍表達式即：線彈性體的變形能等于每一外力與其相應位移乘積的二分之一的總和?？死愐缆。–lapeyron）原理所有的廣義力均以靜力方式，按一定比例由0增加至最終值。任一廣義位移與整個力系有關(guān)，但與其相應的廣義力呈線性關(guān)系。[例2]試求圖示懸臂梁的應變能，并利用功能原理求自由端B的撓度。解：FB[例3]懸臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩Me作用。設EI為常數(shù)，試求梁的應變能。LFMeAB解:彎矩方程變形能LFMeAB方法二:用普遍定理§13.4互等定理位移發(fā)生點荷載作用點F1F2F2F1功的互等定理:若F1=F2，則得位移互等定理:[例4]求右圖所示簡支梁C截面的撓度。解：由功的互等定理得§13.5卡氏定理變形能的增加量：若只給以增量，其余不變，在作用下，原各力作用點將產(chǎn)生位移略去二階小量，則：如果把原有諸力看成第一組力，把看作第二組力，根據(jù)互等定理：所以：變形能對任一載荷Fi

的偏導數(shù)，等于Fi作用點沿Fi方向的位移卡氏第二定理推導過程使用了互等定理，所以只適用線彈性結(jié)構(gòu)?？ㄊ隙ɡ沓Ｒ姷膽萌缦拢簷M力彎曲：桁架桿件受拉壓：軸受扭矩作用：ABRF[例5]求:B已知:F,R,EI解:1.寫M(x)并對F求偏導M()=-FRsinM/F

=-Rsin

:2.求BB=M()EIRdMF

=/2EI(-FRsin)(-Rsin)Rd10

=/22EI(1-cos2)dFR30

=/22EI(-sin2)FR3021=4EIFR3()§13.6虛功原理若因其他原因，例如另外的外力或溫度變化等，又引起桿件變形，則用虛線表示桿件位移到的位置?？砂堰@種位移稱為虛位移?！疤摗蔽灰浦槐硎臼瞧渌蛟斐傻奈灰疲詤^(qū)別于桿件原因有外力引起的位移。變形體虛功原理外力所作的虛功等于內(nèi)力在相應虛位移上所作虛功。質(zhì)點系的虛位移原理平衡力系在剛性虛位移上作功的總和等于零。在虛位移中，桿件的原有外力和內(nèi)力保持不變，且始終是平衡的。虛位移應滿足邊界條件和連續(xù)性條件，并符合小變形要求圖示梁在外力作用下處于平衡(實線)，假定給梁一個由某種原因引起的虛位移(虛線)。則其虛功有兩種計算方法。

計算整個構(gòu)件得全部力的虛功——得到外力虛功

計算各微段的內(nèi)力虛功和——得到內(nèi)力虛功計算整個構(gòu)件得全部力的虛功——得到外力虛功

設想把桿件分成無窮多微段，微段上除外力外，兩端橫截面上還有軸力、彎矩、剪力等內(nèi)力。當它由平衡位置經(jīng)虛位移到達由虛線表示的位置時，微段上的內(nèi)、外力都作了虛功。把所有微段的內(nèi)、外虛功逐段相加（積分），便可求出整個桿件的外力和內(nèi)力的總虛功。因為虛位移是連續(xù)的，兩個相鄰微段的公共截面的位移和轉(zhuǎn)角是相同的，但相鄰的微段公共截面上的內(nèi)力卻是大小相等、方向相反的，故它們所作的虛功相互抵消。逐段相加之后，就只剩下外力在虛位移中所作的虛功。微段上的內(nèi)力與虛位移設微段上廣義外力和廣義虛位移分別為則廣義外力的虛功（這里是常力作功）為計算各微段的內(nèi)力虛功和——得到內(nèi)力虛功在上述桿件中，微段以外的其余部分的變形，使所研究的微段得到剛性虛位移；此外，所研究的微段在虛位移中還發(fā)生虛變形。作用于微段上的力系（包括外力和內(nèi)力）是一個平衡力系，根據(jù)質(zhì)點系的虛位移原理，這一平衡力系在剛性虛位移上作功的總和等于零，因而只剩下在虛變形中所作的功。積分上式得總虛功為兩種方式求得的總虛功表達式應該相等，即

在虛位移中，外力所作的虛功等于內(nèi)力在相應虛變形上所作虛功。這就是虛功原理。在導出虛功原理時，并未使用應力－應變關(guān)系，故虛功原理與材料的性能無關(guān)，它可用于線彈性材料，也可用于非線性彈性材料。更一般地，有如下形式的虛功原理§13.7單位載荷法莫爾積分設在外力作用下，求剛架A點沿某一任意方向aa的位移。設想在同一剛架的A點上，沿aa方向作用一單位力1，它與支座反力組成平衡力系。這時剛架橫截面上的軸力、彎矩和剪力分別為、和。把剛架在原有外力作用下的位移作為虛位移，加于單位力作用下的剛架上。虛功原理的表達式為原有外力引起的變形，現(xiàn)在已作為虛變形虛加的外力虛加外力引起的內(nèi)力視為真實力——莫爾定理（單位載荷法）具體地，如果構(gòu)件存在四種基本變形，則有注意：本式僅適用于線彈性情況上式中帶“-”的內(nèi)力為與虛加單位力相關(guān)的內(nèi)力，而不帶“-”的內(nèi)力是真實載荷引起的內(nèi)力。對以抗彎為主的桿件，有：對只有軸力的拉伸或壓縮桿件，若沿桿件軸線軸力為常量，則有：對有n根桿的桿系，如桁架，則：欲求受扭桿件某一截面的扭轉(zhuǎn)角，則以單位扭轉(zhuǎn)力偶矩作用于該截面上，它引起的扭矩記為，于是：[例6]圖示剛架的自由端A作用集中載荷F。剛架各段的抗彎剛度已于圖中標出。若不計軸力和剪力對位移的影響，試用莫爾定理來計算A點的垂直位移δy及截面B的轉(zhuǎn)角θB。解：選擇右下圖所示坐標，則相應的內(nèi)力方程為1、求A點的垂直位移在相應位置和方向虛加(與待求位移相應的)單位力1。與之對應的彎矩為應用莫爾定理在相應位置和方向虛加單位集中力偶1。與之對應的彎矩為于是2、求截面B的轉(zhuǎn)角[例7]試用莫爾定理計算圖示懸臂梁自由端B的撓度和轉(zhuǎn)角。解：（1）在B截面處作用一單位力，如圖所示，則有（2）在B截面處作用一單位力偶，如圖所示，則有510

20A300Bx500C=1F[例8]拐桿如圖，A處為一軸承，允許桿在軸承內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，但不能上下移動，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B點的垂直位移。(圖中單位：mm)解：①畫單位載荷圖②求內(nèi)力510

20A300F=60NBx500Cx1③變形單位力的選擇欲求變形單位力欲求變形單位力A處沿圖示方向的線位移A、B兩截面的相對線位移沿A、B連線加相向的單位力A處沿圖示方向的線位移A、B兩截面的相對交位移在A、B處分別加相反的單位力偶§13.8計算莫爾積分的圖乘法在應用莫爾定理求位移時，需計算下列形式的積分：對于等直桿，EI為常數(shù)，可以提到積分號外，故只需計算積分：