第六章概率分析

第六章概率分布后驗(yàn)概率隨機(jī)事件A的頻率：對(duì)隨機(jī)事件進(jìn)行n次觀測(cè)，其中某一事件A出現(xiàn)的次數(shù)m與觀測(cè)次數(shù)n的比值。當(dāng)n無限增大時(shí)，隨機(jī)事件A的頻率會(huì)穩(wěn)定在一個(gè)常數(shù)P，這個(gè)常數(shù)就是隨機(jī)事件A的概率。因這種概率是由隨機(jī)事件A出現(xiàn)的次數(shù)決定，故稱后驗(yàn)概率或統(tǒng)計(jì)概率。先驗(yàn)概率古典概率模型要求滿足兩個(gè)條件：①試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是有限的；②每一個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。如果基本事件的總數(shù)為n，事件A包括m個(gè)基本事件，則事件A的概率為：概率的公理系統(tǒng)1．任何隨機(jī)事件Ａ的概率都是在0與1之間的正數(shù)，即：0≤P（A）≤12．不可能事件的概率等于零，即：P（A）=03．必然事件的概率等于1，即：P（A）=1概率接近1的事件發(fā)生的可能性較大，而概率接近0的事件發(fā)生的可能性較小。概率的加法定理互不相容事件：若事件Ａ發(fā)生，則事件Ｂ就一定不發(fā)生。兩互不相容事件和的概率等于這兩個(gè)事件概率之和：概率的乘法定理互相獨(dú)立事件：事件Ａ發(fā)生不影響事件Ｂ是否發(fā)生。兩互相獨(dú)立事件積的概率等于兩事件概率的積：例1：去掉大小王牌，從52張撲克牌中有放回的抽兩張牌，即抽完第一張以后將所抽的牌再放回去，混合好后再抽第二張。問第一次抽取紅桃K第二次抽取方塊K的概率是多少？第一次抽取紅桃，第二次抽取方塊的概率是多少？例2：某一學(xué)生從５個(gè)試題中任意抽取一題，進(jìn)行口試。如果抽到每一題的概率為1／5，則抽到試題１或試題２的概率是多少？如果前一個(gè)學(xué)生把抽過的試題還回后，后一個(gè)學(xué)生再抽，則４個(gè)學(xué)生都抽到試題1的概率是多少？例3：從30個(gè)白球和20個(gè)黑球共50個(gè)球中隨機(jī)抽取兩次（放回抽樣），問抽出一個(gè)黑球和一個(gè)白球的概率是多少？分析：包括兩種情況：先抽一黑球、后抽一白球；先抽一白球、后抽一黑球。例4一枚硬幣擲3次，或三枚硬幣各擲一次，問出現(xiàn)兩次或兩次以上H的概率是多少？解：可能出現(xiàn)的情況有：HHHHHTHTHTHHTTHTHTHTTTTT共8種。每種情況出現(xiàn)的概率，為則：P（HHH)+P(HHT)+P(HTH)+P(THH)=概率分布概率分布是指對(duì)隨機(jī)變量取不同值時(shí)的概率的描述，一般用概率分布函數(shù)進(jìn)行描述。只有了解隨機(jī)變量的概率分布，才能使統(tǒng)計(jì)推論成為可能。離散隨機(jī)變量與連續(xù)隨機(jī)變量根據(jù)隨機(jī)變量的取值是否連續(xù)，可將隨機(jī)變量分為離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量。當(dāng)隨機(jī)變量只取孤立的數(shù)值，這種隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量。如投擲一枚硬幣4次，幾次正面朝上？因取值只能為0、1、2、3、4，故為離散型隨機(jī)變量。離散分布與連續(xù)分布離散型隨機(jī)變量的概率分布稱作離散分布。連續(xù)分布是指連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布，即測(cè)量數(shù)據(jù)的概率分布。心理統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常用的連續(xù)型分布是正態(tài)分布。考察間斷型隨機(jī)變量，可以講某個(gè)值以多大的概率出現(xiàn)，而對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，這樣講是沒有意義的，因?yàn)樗娜≈祩€(gè)數(shù)是無限的，這時(shí)我們只能講取值在某個(gè)區(qū)間的概率是多少。經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布經(jīng)驗(yàn)分布是指根據(jù)觀察或?qū)嶒?yàn)所獲得的數(shù)據(jù)而編制的次數(shù)分布或相對(duì)頻率分布。經(jīng)驗(yàn)分布往往是總體的一個(gè)樣本。理論分布是按照隨機(jī)變量概率分布函數(shù)（數(shù)學(xué)模型）計(jì)算出的概率分布。

經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布身高分組f0fe169-166-163-160-157-154-151-148-145-142-139-272257110124112802584172460104130114703192實(shí)際次數(shù)的分布為經(jīng)驗(yàn)分布理論次數(shù)的分布為理論分布基本隨機(jī)變量分布與抽樣分布前者其分布主體為：基本隨機(jī)變量；后者其分布主體為樣本統(tǒng)計(jì)量。正態(tài)分布連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布的一種，是在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論與實(shí)際應(yīng)用中占最重要地位的一種理論分布。由棣．莫弗于1733年發(fā)現(xiàn)；拉普拉斯、高斯也做出了貢獻(xiàn)，故又稱高斯分布。正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)分布曲線標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線以Ｚ為橫坐標(biāo)，Ｙ為縱坐標(biāo)繪制的曲線。Ｙ為概率密度，曲線下的面積為概率。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)正態(tài)分布表的特點(diǎn)表中僅列有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下的面積，查表前應(yīng)先將原始變量Ｘ轉(zhuǎn)換為Ｚ。表中所列面積數(shù)據(jù)P，是從Ｚ＝０到某一正的Ｚ值之間的面積。正態(tài)分布表的使用：已知Z值求P①求Ｚ＝0至某一正的Ｚ值之間的概率：直接查表；②求兩個(gè)Ｚ值之間的概率，兩Ｚ值符號(hào)相同；③求兩個(gè)Ｚ值之間的概率，兩Ｚ值符號(hào)相反；④求某一Z值以上的概率，當(dāng)Z＞0時(shí)；⑤求某一Z值以上的概率，當(dāng)Z<0時(shí)；⑥求某一Z值以下的概率，當(dāng)Z＞0時(shí)；⑦求某一Z值以下的概率，當(dāng)Z<0時(shí)。正態(tài)分布表的使用：已知P值求Z①已知Z＝0到Z=Z0之間的面積，直接查表得Z；②已知Z＝-Z0到Z=0之間的面積，查得Z前加上負(fù)號(hào)；③已知曲線右側(cè)尾端面積，怎樣求Z?④已知曲線左側(cè)側(cè)尾端面積，怎樣求Z?⑤已知正態(tài)曲線下中央部位面積怎樣求Z?習(xí)題：考研真題1、在人格測(cè)驗(yàn)上的分?jǐn)?shù)形成正態(tài)分布一個(gè)隨機(jī)樣本n=16，其均值大于85的概率是（）。2、某班200人的考試成績(jī)呈正態(tài)分布，其平均數(shù)為12，標(biāo)準(zhǔn)差為4。則成績(jī)?cè)?分和16分之間的人數(shù)占全部人數(shù)的（）A.34.13B.68.26C.90%D.95%考研真題3、正態(tài)分布是由（）于1733年發(fā)現(xiàn)的。A.高斯B.拉普拉斯C.莫弗D.高賽特4、從n=200的學(xué)生樣本中隨機(jī)抽樣，已知女生偉132人，問每次抽取1人，抽到男生的概率是（）。A.0.66B.0.34C.0.33D.0.17考研真題5、兩個(gè)骰子擲一次，出現(xiàn)兩個(gè)相同點(diǎn)數(shù)的概率是（）。A.0.17B.0.083C.0.014D.0.0286、依分布函數(shù)的來源，可把概率分布劃分為（）。A.離散分布B.連續(xù)分布C.經(jīng)驗(yàn)分布D.理論分布正態(tài)分布表的應(yīng)用例1：已知某年級(jí)200名學(xué)生考試成績(jī)呈正態(tài)分布，平均分為85分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分，學(xué)生甲的成績(jī)?yōu)?0分，問全年級(jí)成績(jī)比學(xué)生甲低的學(xué)生人數(shù)是多少？例2：某次招生考試，學(xué)生成績(jī)符合正態(tài)分布，平均分?jǐn)?shù)為80分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分，要擇優(yōu)錄取25%的學(xué)生進(jìn)入高一級(jí)學(xué)校學(xué)習(xí)，問最低分?jǐn)?shù)線應(yīng)是多少分？正態(tài)分布表的應(yīng)用例3：某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，學(xué)生成績(jī)呈正態(tài)分布，參賽學(xué)生200人，平均分為66.78分，標(biāo)準(zhǔn)差為9.19分。某生得80分，他在參賽中排列第幾名？正態(tài)分布表的應(yīng)用例4：表1是3位教師對(duì)100名學(xué)生的學(xué)習(xí)能力所作等級(jí)評(píng)定的結(jié)果；表2是3名學(xué)生從3位教師哪兒獲得的評(píng)定等級(jí)，試將其轉(zhuǎn)化為Z分?jǐn)?shù)。等級(jí)教師甲教師乙教師丙A51020B252025C404035D252015E5105總數(shù)100100100學(xué)生教師甲教師乙教師丙1BAA2ABA3DCC表1表2正態(tài)分布表的應(yīng)用例5：將下表中各測(cè)驗(yàn)題的通過率轉(zhuǎn)換為難度分?jǐn)?shù)。測(cè)驗(yàn)題號(hào)通過率（%）

pZZ+5

1990.49-2.3312.6693950.45-I.6453.3555850.35-1.0353.9657800.30-0.8404.1609700.20-0.5254.4751050005.00011200.300.845.8401350.451.6456.6452510.492.337.330總數(shù)100100100正態(tài)分布表的應(yīng)用例6：某年級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)能力測(cè)驗(yàn)后，擬按數(shù)學(xué)能力將學(xué)生分成5個(gè)組。該測(cè)驗(yàn)參加人數(shù)為300人，平均分為60分，標(biāo)準(zhǔn)差為13.2分，問各組人數(shù)及原始分?jǐn)?shù)區(qū)間都是怎樣的？正態(tài)分布表的應(yīng)用分組組中值fZT140-14282.0170135-13791.5065130-132201.0460125-127290.5756120-122280.1451115-11716-0.1748110-11216-0.4046105-1078-0.5944100-1029-0.734395-978-0.904190-927-1.063985-876-1.253880-826-1.463575-775-1.703370-725-2.1229N=180x=115.14s=17.91①將原始數(shù)據(jù)整理為次數(shù)分布表；②計(jì)算各組上限以下累加次數(shù)；③計(jì)算各組中點(diǎn)以下累加次數(shù)；④計(jì)算各組中點(diǎn)以下累積比率；⑤查正態(tài)分布表，將概率轉(zhuǎn)化為Z分?jǐn)?shù)；⑥將正態(tài)化以后的Z值進(jìn)行線性轉(zhuǎn)換：T=10Z+50次數(shù)分布的正態(tài)化假設(shè)研究對(duì)象總體呈正態(tài)分布，但由于抽樣誤差等因素，樣本的次數(shù)分布不是正態(tài)。這時(shí)需要按總體將樣本分布正態(tài)化。這種將樣本原始分?jǐn)?shù)分布轉(zhuǎn)換成正態(tài)分布，稱作次數(shù)分布的正態(tài)化。次數(shù)分布的正態(tài)化當(dāng)樣本原始分?jǐn)?shù)不服從正態(tài)分布，先將原始分?jǐn)?shù)的頻數(shù)轉(zhuǎn)化為百分等級(jí)，將它視為正態(tài)分布的概率，然后通過查正態(tài)分布表中概率值相對(duì)應(yīng)的Z值，將其轉(zhuǎn)換為Z分?jǐn)?shù)，達(dá)到正態(tài)化的目的。T分?jǐn)?shù)（名詞解釋）T分?jǐn)?shù)是是麥克爾創(chuàng)用的方法：將標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)擴(kuò)大10倍再加上