第四章頻率特性2

4.2頻率特性的圖示方法一、頻率特性的極坐標(biāo)圖(Nyquist圖)G(j)，幅頻，相頻：的復(fù)變函數(shù)給定，G(j)是復(fù)平面上的一矢量 幅值：A()=G(j)

相角(與正實軸的夾角，逆時針為正）：()=∠G(j)

實部:

U()=A()cos()

虛部：V()=A()sin()從0∞時，

G(j)端點的軌跡：頻率特性的極坐標(biāo)圖

（Nyquist圖）1.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(1)比例環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)：G(s)=K

頻率特性：G(j)=K

幅頻：G(j)＝Ｋ相頻：G(j)=0o

實頻：

U()=K

虛頻：V()=0

實軸上的一定點，其坐標(biāo)為(K,j0)

1.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(2)積分環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)：G(s)=1/s頻率特性：G(j)=1/j

幅頻：G(j)＝1/

相頻：G(j)=－90o

實頻：

U()=0

虛頻：V()=－1/

虛軸的下半軸，由無窮遠點指向原點1.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(3)微分環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)：G(s)=s頻率特性：G(j)=j

幅頻：G(j)＝

相頻：G(j)=90o

實頻：

U()=0

虛頻：V()=

虛軸的上半軸，由原點指向無窮遠點1.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(4)慣性環(huán)節(jié)

當(dāng)＝0時，G(j)=K，G(j)=0o當(dāng)=1/T時，G(j)=-45o當(dāng)＝時，G(j)=0，G(j)=-90o傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻：相頻：G(j)=－arctgT實頻：虛頻：當(dāng)ω從0時，其Nyquist圖為正實軸下的一個半圓，圓心為(K/2,j0)，半徑為K/2。1.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(5)一階微分環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)：G(s)=1+Ts始于點(1,j0)，平行于虛軸頻率特性：G(j)=1+jT

幅頻：相頻：G(j)=arctgT

實頻：

U()=1

虛頻：V()=T

1.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(6)振蕩環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)：頻率特性：實頻：虛頻：幅頻：相頻：當(dāng)=0，即＝0時，G(j)=1，G(j)=0o；當(dāng)=1，即＝n時，G(j)=1/(2ξ)，G(j)=－90o；當(dāng)=，即＝時，G(j)=0，G(j)=－180o；

（令λ=

/n），1.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(6)振蕩環(huán)節(jié)

當(dāng)ω從0(即由0)時，G(j)的幅值由10，其相位由0o-180o。其Nyquist圖始于點(1,j0)，而終于點(0,j0)。曲線與虛軸的交點的頻率就是無阻尼固有頻率n，此時的幅值為1/(2ξ)

ξ<0.707時，G(j)在頻率為r

處出現(xiàn)峰值(諧振峰值，r－諧振頻率)由有顯然

r<d<n（有阻尼固有頻率）1.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(6)振蕩環(huán)節(jié)

阻尼比ξ的影響ξ≥0.707， 無諧振ξ≥1， 兩個一階環(huán)節(jié)的組合1.典型環(huán)節(jié)的Nyquist圖(7)延時環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)：G(s)=es

頻率特性：G(j)=ej=cos－jsin

幅頻：G(j)＝1

相頻：G(j)=－

實頻：

U()=cos

虛頻：V()=－sin

Nyquist圖：單位圓

2.繪制Nyquist圖的一般方法

由G(j)求出其實頻特性Re[G(j)]、虛頻特性Im[G(j)]和幅頻特性G(j)、相頻特性G(j)的表達式；求出若干特征點，如起點(=0)、終點(=)、與實軸的交點(Im[G(j)]=0)、與虛軸的交點(Re[G(j)]=0)等，并標(biāo)注在極坐標(biāo)圖上；補充必要的幾點，根據(jù)G(j)、G(j)和Re[G(j)]、Im[G(j)]的變化趨勢以及G(j)所處的象限，作出Nyquist曲線的大致圖形。

例1系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解系統(tǒng)的頻率特性＝0，U()=－KT，V()=－， G(j)=，G(j)=－90ｏ＝，U()=0，V()=0，

G(j)=0，G(j)=－180ｏ幅頻：相頻：G(j)=－90ｏ－arctgT實頻：虛頻：積分環(huán)節(jié)改變了起始點（低頻段）＝0，U()=－，V()=， G(j)=，G(j)=－180ｏ＝，U()=0，V()=0，

G(j)=0，G(j)=－180ｏ例2系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解系統(tǒng)的頻率特性幅頻：相頻：G(j)=－180ｏ－arctgT1－arctgT2

實頻：虛頻：U()=03.

Nyquist圖的一般形狀

當(dāng)ω＝０時： 對0型系統(tǒng)，G(j)=K，G(j)=0ｏ，Nyquist曲線的起始點是一個在正實軸上有有限值的點； 對Ⅰ型系統(tǒng)，G(j)=∞，G(j)=－90ｏ，在低頻段，Nyquist曲線漸近于與負虛軸平行的直線； 對Ⅱ型系統(tǒng)，G(j)=∞，G(j)=－180ｏ，在低頻段，G(j)負實部是比虛部階數(shù)更高的無窮大。當(dāng)ω＝∞時，G(j)=0，G(j)=(m-n)×90ｏ。當(dāng)G(s)包含有振蕩環(huán)節(jié)，不改變上述結(jié)論。當(dāng)G(s)包含有導(dǎo)前環(huán)節(jié)時，若由于相位非單調(diào)下降，則Nyquist曲線將發(fā)生“彎曲”。

二、頻率特性的對數(shù)坐標(biāo)圖(Bode圖)Bode圖分別表示幅頻和相頻①對數(shù)幅頻特性圖橫坐標(biāo)：ω，對數(shù)分度，標(biāo)注真值；幾何上的等分→真值的等比dec(10倍頻程）②對數(shù)相頻特性圖橫坐標(biāo)：同上縱坐標(biāo)：∠G(j)

，線性分度；特別：0dB，G(j)=1，輸出幅值=輸入幅值dB>0，G(j)>1，輸出幅值>輸入幅值(放大）dB<0，G(j)<1，輸出幅值<輸入幅值(衰減）縱坐標(biāo)：G(j)的分貝值（dB)，dB=20lgG(j)；線性分度；Bode圖優(yōu)點

作圖簡單：①化乘除為加減，系統(tǒng)的Bode圖為各環(huán)節(jié)的Bode圖的線性疊加；②可通過近似方法作圖；便于細化感興趣的頻段；物理意義明顯；環(huán)節(jié)對系統(tǒng)性能的影響明顯；2.典型環(huán)節(jié)的Bode圖(1)比例環(huán)節(jié)

G(s)=KG(j)=K

20lgG(j)＝20lgＫ；G(j)=0o(2)積分環(huán)節(jié)G(s)=1/sG(j)=1/j

20lgG(j)＝20lg1/=

－20lg

G(j)=－90o

對數(shù)幅頻特性：過點（1，0）斜率－20dB/dec的直線對數(shù)相頻特性：過點（0，－90o

）平行于橫軸的直線2.典型環(huán)節(jié)的Bode圖(3)微分環(huán)節(jié)G(s)=sG(j)=j

20lgG(j)＝20lgG(j)=90o

對數(shù)幅頻特性：過點（1，0）斜率20dB/dec的直線對數(shù)相頻特性：過點（0，90o

）平行于橫軸的直線2.典型環(huán)節(jié)的Bode圖始于點（ωT

，0)，斜率－20dB/dec的直線(4)慣性環(huán)節(jié)令：故：對數(shù)幅頻特性：低頻段（ω<<ωT），20lgG(j)20lgT－20lgT＝0dB

高頻段（ω>>ωT），20lgG(j)20lgT－20lgωT:轉(zhuǎn)角頻率低頻段漸近線：20lgG(j)0dB

誤差：高頻段漸近線：20lgG(j)20lgT－20lg誤差：=0，G(j)=0°；=T，G(j)=－45°；=，G(j)=－90°；對數(shù)相頻特性曲線對稱于點(T，－45°)≤0.1T時，G(j)0°≥10T時，G(j)90°

對數(shù)相頻特性：由：2.典型環(huán)節(jié)的Bode圖始于點（ωT

，0)，斜率20dB/dec的直線對數(shù)幅頻特性：低頻段（ω<<ωT），20lgG(j)20lgT－20lgT＝0dB

高頻段（ω>>ωT），20lgG(j)20lg－20lgT故：ωT:轉(zhuǎn)角頻率(5)一階微分環(huán)節(jié)對數(shù)相頻特性：=0，G(j)=0°；=T，G(j)=45°；=，G(j)=90°；對數(shù)相頻特性曲線對稱于點(T，45°)2.典型環(huán)節(jié)的Bode圖低頻段（ω<<ωn；λ≈0），20lgG(j)0dB

（0dB線）

高頻段（ω>>ωn；λ>>1），20lgG(j)－40lgλ=－40lg＋40lgn（始于點（ωn，0)，斜率－40dB/dec的直線）(6)振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性：ωn:轉(zhuǎn)角頻率2.典型環(huán)節(jié)的Bode圖(6)振蕩環(huán)節(jié)誤差：低頻段高頻段對數(shù)相頻特性：=0，G(j)=0°；=n，G(j)=－90°；=，G(j)=－180°；對數(shù)相頻特性曲線對稱于點(n，－90°)2.典型環(huán)節(jié)的Bode圖(7)二階微分環(huán)節(jié)

與二階振蕩系統(tǒng)Bode圖對稱于頻率軸。(8)延時環(huán)節(jié)G(s)=esG(j)=ejG(j)＝1G(j)=－

20lgG(j)＝0dB因?qū)?shù)分度，直線→曲線典型環(huán)節(jié)的Bode圖比較3.系統(tǒng)Bode圖的繪制G(s)→標(biāo)準形（常數(shù)項為1）→G(j)

求典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率（慣性、一階微分、振蕩和二階微分環(huán)節(jié)）作出各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性的漸近線誤差修正（必要時）將各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性疊加(不包括系統(tǒng)總的增益K)將疊加后的曲線垂直移動20lgK，得到系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性作各環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性，然后疊加而得到系統(tǒng)總的對數(shù)相頻特性有延時環(huán)節(jié)時，對數(shù)幅頻特性不變，對數(shù)相頻特性則應(yīng)加上－(1)環(huán)節(jié)曲線疊加法3.系統(tǒng)Bode圖的繪制例(1)環(huán)節(jié)曲線疊加法G(s)→標(biāo)準形→G(j)轉(zhuǎn)角頻率ωT1=0.4ωT2=40ωT3=2各環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性的漸近線，疊加，平移各環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線，疊加3.系統(tǒng)Bode圖的繪制(2)順序斜率法在各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率處，系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性漸近線的斜率發(fā)生變化，其變化量等于相應(yīng)的環(huán)節(jié)在其轉(zhuǎn)角頻率處斜率的變化量（即其高頻漸近線的斜率）。當(dāng)G(j)包含振蕩環(huán)節(jié)或二階微分環(huán)節(jié)時，不改變上述結(jié)論。

系統(tǒng)在低頻段的頻率特性為因此，其對數(shù)幅頻特性在低頻段表現(xiàn)為過點(1,20lgK)，斜率為－20dB/dec的直線根據(jù)上述特點，可以直接繪制系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性

Bode圖的繪制步驟如下

12寫出開環(huán)頻率特性表達式，將所含各因子的轉(zhuǎn)折頻率由大到小依次標(biāo)在頻率軸上

繪制開環(huán)對數(shù)幅頻曲線的漸近線。

低頻段的斜率為

漸近線由若干條分段直線所組成

在處，

每遇到一個轉(zhuǎn)折頻率，就改變一次分段直線的斜率

因子的轉(zhuǎn)折頻率，當(dāng)時，

分段直線斜率的變化量為

因子的轉(zhuǎn)折頻率，當(dāng)分段直線斜率的變化量為

時，43高頻漸近線，其斜率為n為極點數(shù)，m為零點數(shù)

作出以分段直線表示的漸近線后，如果需要，再按典型因子的誤差曲線對相應(yīng)的分段直線進行修正

作相頻特性曲線。根據(jù)表達式，在低頻中頻和高頻區(qū)域中各選擇若干個頻率進行計算，然后連成曲線

4.4閉環(huán)頻率特性4.4頻率特性的特征量系統(tǒng)頻域特征量（頻域性能指標(biāo)）零頻值A(chǔ)(0)復(fù)現(xiàn)頻率ωM與復(fù)現(xiàn)帶寬0～ωM諧振頻率ωr與相對諧振峰值Mr截止頻率ωb與截止帶寬0～ωb帶寬越大，響應(yīng)的快速性越好0.7074.5最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)：所有零點和極點均在[s]平面的左半平面與非最小相位系統(tǒng)相比：幅頻特性相同，但前者的相位變化范圍最小例非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)產(chǎn)生非最小相位系統(tǒng)的環(huán)節(jié)(1)延時環(huán)節(jié)(2)不穩(wěn)定的導(dǎo)前環(huán)節(jié)(1-Ts)和二階微分環(huán)節(jié)(3)不穩(wěn)定的慣性環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)4.6系統(tǒng)傳遞函數(shù)的實驗確定法頻率特性實驗測試給定頻率ω=1/T，有根據(jù)實驗得到的各個頻率下的幅值比和相位差，就可作出頻率特性實驗曲線。頻率特性實驗曲線→對數(shù)幅頻特性漸近線在對數(shù)幅頻特性圖上，用斜率為0，±20，±40，±60dB/dec的漸近線由低頻段到高頻段逐段逼近實驗曲線，得到對數(shù)幅頻特性漸近線系統(tǒng)在低頻段的頻率特性為(1)確定K和ν其對數(shù)幅頻特性點(1,20lgK)，斜率為－20dB/dec的直線（與零分貝線交點處的頻率為）由此可確定K和ν(2)確定系統(tǒng)的組成環(huán)節(jié)找出對數(shù)幅頻特性圖上的轉(zhuǎn)角頻率，并根據(jù)各轉(zhuǎn)角頻率處斜率的變化確定各組成環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性漸近線→傳遞函數(shù)（初步估計，最小相位形式）非最小相位修正4.6系統(tǒng)傳遞函數(shù)的實驗確定法例1由低到高確定轉(zhuǎn)折頻率和相應(yīng)典型環(huán)節(jié)ω1=1；ω2=2；ω3=8確定增益K。作低頻段的延長線交0dB線于=1