第四章平面任意力系

第四章平面任意力系平面任意力系向作用面內(nèi)一點的簡化平面任意力系的簡化結(jié)果平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面平行力系物體系統(tǒng)的平衡、靜定和靜不定問題平面靜定桁架的內(nèi)力計算習(xí)題課4.1平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化一、力線平移定理

定理：作用于剛體上的力可以從其作用點平行移至剛體內(nèi)任一指定點，欲不改變該力對剛體的作用，則必須在該力與指定點所決定的平面內(nèi)附加一力偶（稱為附加力偶），其力偶矩等于原力對指定點的矩。mB=Fd

用力線平移定理的逆步驟，亦可把一個力和一個力偶合成一個力。dF工程實際意義:1)乒乓球旋轉(zhuǎn)原理2)水瓶平衡原理FCMFMMMGTT二力平衡,力偶平衡其它:攻絲錐,開關(guān)水閥門等.4.1平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化二、平面任意力系向一點簡化、主矢與主矩

設(shè)平面任意力系如圖（a），在平面內(nèi)任取一點O，稱為簡化中心，由力線平移定理，將各力平移至O點。于是可得平面匯交力系和附加力偶系如圖（b）。其中：4.1平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化二、平面任意力系向一點簡化、主矢與主矩

對于匯交力系，由平面匯交力系的合成理論：

平面任意力系中各力的矢量和稱為平面任意力系的主矢。所以力等于原力系的主矢。顯然，主矢與簡化中心的位置無關(guān)。建立坐標(biāo)：因此，的大小和方向為：4.1平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化二、平面任意力系向一點簡化、主矢與主矩

對于平面力偶系，由平面力偶系的合成理論：

原力系各力對簡化中心力矩的代數(shù)和稱為原力系對簡化中心的主矩。所以，等于原力系對簡化中心的主矩。一般來說，主矩與簡化中心的位置有關(guān)。平面任意力系→平面匯交力系+平面力偶系4.1平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化二、平面任意力系向一點簡化、主矢與主矩

綜上所述可得如下結(jié)論：平面任意力系向作用面內(nèi)任一點簡化得到一個力和一個力偶，如圖（c)所示。該力作用在簡化中心，其大小和方向等于原力系的主矢，該力偶之矩等于原力系對簡化中心的主矩。主矢與簡化中心的位置無關(guān)，主矩和簡化中心的位置有關(guān)。4.1平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化三、平面固定端約束

物體的一部分固嵌在另一物體中所構(gòu)成的約束稱為平面固定端約束。4.2平面任意力系的簡化結(jié)果一、簡化結(jié)果分析1、主矢和主矩都等于零此時平面力系平衡。2、主矢等于零，主矩不等于零3、主矢不等于零，主矩等于零

此時平面力系簡化為一力偶。其力偶矩M等于原力系對簡化中心的主矩，即且此時主矩與簡化中心的位置無關(guān)。

此時平面力系簡化為一合力，作用在簡化中心，其大小和方向等于原力系的主矢，即4.2平面任意力系的簡化結(jié)果一、簡化結(jié)果分析4、主矢和主矩均不等于零

此時還可進(jìn)一步簡化為一合力。于是由主矩的定義知：所以：結(jié)論：平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點之矩等于力系中各力對同一點之矩的代數(shù)和。即為平面任意力系的合力矩定理。力系簡化的最后結(jié)果:主矢R’≠0主矩MO≠0主矩MO=0一合力(原為匯交力系)主矢R’=0主矩MO≠0一合力偶(原為力偶系)主矩MO=0平衡例:平面力系F1----F4有圖示關(guān)系,則力系簡化的結(jié)果為

F1F2F3F4xyA∑x=?

∑y=?∑mo=?或用平行四邊形法則4.2平面任意力系的簡化結(jié)果二、平行分布線荷載的簡化

分布在較大范圍內(nèi)，不能看作集中力的荷載稱分布荷載。若分布荷載可以簡化為沿物體中心線分布的平行力，則稱此力系為平行分布線荷載，簡稱線荷載。結(jié)論：1、合力的大小等于線荷載所組成幾何圖形的面積。2、合力的方向與線荷載的方向相同。3、合力的作用線通過荷載圖的形心。4.2平面任意力系的簡化結(jié)果二、平行分布線荷載的簡化1、均布荷載2、三角形荷載3、梯形荷載4.3平面任意力系的平衡條件和平衡方程一、平衡條件和平衡方程

1、平衡條件：平面任意力系平衡的必要與充分條件是：力系的主矢和對任一點的主矩都等于零。即2、平衡方程：由于，因此平衡條件的解析方程為：即：平面任意力系平衡的解析條件是：力系中所有各力在其作用面內(nèi)兩個任選的坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零，所有各力對任一點之矩的代數(shù)和等于零。上式稱為平面任意力系的平衡方程。例：圖示懸臂起重機，不計AC自重，求：機構(gòu)平衡時B鉸及AC桿受力？α=30解：取ABD，受力見原圖ABCPPaa1.5aαxByBsACΣχ=0χB－SACcosα=0（1）Σy=0yB+sACsinα-2p=0（2）∑mB=0sACsinα1.5a-pa-p2a=0（3）得：sAC=4PχB=2√3pyB=00∑mA=0yB1.5a-p0.5a+p0.5a=0（4）∑mC=0xB1.5atanα-pa-p2a=0（5）（4）,（5）代替了（2）,（1）,只能列三個獨立平衡方程4.3平面任意力系的平衡條件和平衡方程例1求圖示剛架的約束反力。解：以剛架為研究對象，受力如圖，建立如圖所示的坐標(biāo)。解之得：4.3平面任意力系的平衡條件和平衡方程例2求圖示梁的支座反力。解：以梁為研究對象，受力如圖，建立如圖所示的坐標(biāo)。解之得：4.3平面任意力系的平衡條件和平衡方程例3求圖示平面剛架的約束反力。解：以剛架為研究對象，受力如圖，建立如圖所示的坐標(biāo)。解之得：4.3平面任意力系的平衡條件和平衡方程例4梁ABC用三鏈桿支承，并受荷載和的作用，如圖所示，試求每根鏈桿所受的力。解1：以梁為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。解之得：4.3平面任意力系的平衡條件和平衡方程例4

解2：以梁為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。解之可得同上的結(jié)果。同樣，亦可由或和前兩個投影方程聯(lián)立求解。4.3平面任意力系的平衡條件和平衡方程二、平衡方程的其它形式1、二矩式其中A、B兩點的連線AB不能垂直于x軸。2、三矩式其中A、B、C三點不能在同一條直線上。ABxF4.3平面任意力系的平衡條件和平衡方程例5

均質(zhì)桿AB長l,重為G，置于光滑半圓槽內(nèi)，圓槽半徑為r，力鉛垂向下作用于D點，如圖，求平衡時桿與水平線的夾角。

解：以桿AB為研究對象，受力如圖。解之得：4.4平面平行力系一、平面平行力系的平衡方程

力的作用線在同一平面且相互平行的力系稱平面平行力系。平面平行力系作為平面任意力系的特殊情況，當(dāng)它平衡時，也應(yīng)滿足平面任意力系的平衡方程，選如圖的坐標(biāo)，則自然滿足。于是平面平行力系的平衡方程為：

平面平行力系的平衡方程也可表示為二矩式：其中AB連線不能與各力的作用線平行。4.5物體系統(tǒng)的平衡一、概念

由若干個物體通過約束所組成的系統(tǒng)稱為物體系統(tǒng)，簡稱物系。外界物體作用于系統(tǒng)的力稱該系統(tǒng)的外力。系統(tǒng)內(nèi)各物體間相互作用的力稱該系統(tǒng)的內(nèi)力。當(dāng)整個系統(tǒng)平衡時，系統(tǒng)內(nèi)每個物體都平衡。反之，系統(tǒng)中每個物體都平衡，則系統(tǒng)必然平衡。因此，當(dāng)研究物體系統(tǒng)的平衡時，研究對象可以是整體，也可以是局部，也可以是單個物體。4.5物體系統(tǒng)的平衡一、靜定和靜不定的概念

在靜力學(xué)中求解物體系統(tǒng)的平衡問題時，若未知量的數(shù)目不超過獨立平衡方程數(shù)目，則由剛體靜力學(xué)理論，可把全部未知量求出，這類問題稱為靜定問題。若未知量的數(shù)目多于獨立平衡方程數(shù)目，則全部未知量用剛體靜力學(xué)理論無法求出，這類問題稱為靜不定問題或超靜定問題。而總未知量數(shù)與總獨立平衡方程數(shù)之差稱為靜不定次數(shù)。4.5物體系統(tǒng)的平衡4.5物體系統(tǒng)的平衡一、靜定和靜不定的概念4.5物體系統(tǒng)的平衡例6

組合結(jié)構(gòu)的荷載和尺寸如圖所示，求支座反力和各鏈桿的內(nèi)力。

解：先以整體為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。解之得：4.5物體系統(tǒng)的平衡例6

再以鉸C為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。由于，代入解之得：當(dāng)然，亦可以以AB為研究對象，求和。4.5物體系統(tǒng)的平衡例7

求圖示三鉸剛架的支座反力。

解：先以整體為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)?？山獾茫涸僖訟C為研究對象，受力如圖。解得：4.5物體系統(tǒng)的平衡例8求圖示多跨靜定梁的支座反力。解：先以CD為研究對象，受力如圖。解之得：

再以整體為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。解之得：4.5物體系統(tǒng)的平衡例9求圖示結(jié)構(gòu)固定端的約束反力。解：先以BC為研究對象，受力如圖。于是得：

再以整體為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。將代入即可求得、、。4.5物體系統(tǒng)的平衡例10

結(jié)構(gòu)的荷載和尺寸如圖，CE=ED，試求固定端A和鉸支座B的約束反力。解：先以BD為研究對象，受力如圖。解得：再以CDB局部為研究對象，受力如圖。4.5物體系統(tǒng)的平衡例10解得：最后以整體為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。解之得：4.5物體系統(tǒng)的平衡例11

圖示結(jié)構(gòu)，各桿在A、E、F、G處均為鉸接，B處為光滑接觸。在C、D兩處分別作用力和，且，各桿自重不計，求F處的約束反力。解：先以整體為研究對象，受力如圖。解得：4.5物體系統(tǒng)的平衡例11再以DF為研究對象，受力如圖。解得：最后以桿BG為研究對象，受力如圖。解得：2P2+2YF=04.5物體系統(tǒng)的平衡例12

三根等長同重均質(zhì)桿（重W）如圖在鉛垂面內(nèi)以鉸鏈和繩EF構(gòu)成正方形。已知：E、F是AB、BC中點，AB水平，求繩EF的張力。解1：先以AB為研究對象，受力如圖。不妨設(shè)桿長為?！?）再以整體為研究對象，受力如圖?！?）4.5物體系統(tǒng)的平衡例12最后以DC為研究對象，受力如圖?！?）聯(lián)立求解（1）（2）（3）得：解2：先以BC為研究對象，受力如圖?！?）再以DC為研究對象，受力如圖?！?）最后以整體為研究對象，受力如圖?！?）4.5物體系統(tǒng)的平衡例12聯(lián)立求解（4）——（6）即可的同樣結(jié)果。解3：先以BCD為研究對象，受力如圖?！?）聯(lián)立求解（3）（6）（7）即可得同樣結(jié)果。4.5物體系統(tǒng)的平衡例13

三無重桿AC、BD、CD如圖鉸接，B處為光滑接觸，ABCD為正方形，在CD桿距C三分之一處作用一垂直力，求鉸鏈E處的反力。解：先以整體為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。解得：4.5物體系統(tǒng)的平衡例13下面用不同的方法求解。解1：先以DC為研究對象，受力如圖。再以BDC為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。

類似地，亦可以DC為研究對象，求，再以ACD為研究對象，求解。4.5物體系統(tǒng)的平衡例13解2：分別以ACD和AC為研究對象，受力如圖。聯(lián)立求解以上兩方程即得同樣結(jié)果。

類似地，亦可以BDC和BD為研究對象，進(jìn)行求解。4.5物體系統(tǒng)的平衡例13解3：分別以BD和AC為研究對象，受力如圖。

用、表示的約束反力和用、表示的約束反力本質(zhì)上是同一個力。4.5物體系統(tǒng)的平衡思考題

圖示結(jié)構(gòu)，在水平桿AB上作用一鉛垂向下的力，試證明AC桿所受的力與的作用位置無關(guān)。取整體,求YD,取AB求YH,取BAD求SAC4.6桁架的內(nèi)力計算概念

桁架是由桿件彼此在兩端用鉸鏈聯(lián)接形成的幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)。桁架中所有桿件都在同一平面內(nèi)的桁架稱為平面桁架。桁架中的鉸鏈接頭稱為節(jié)點。為了簡化桁架的計算，工程實際中采用以下幾個假設(shè)：（1）桁架的桿件都是直桿；（2）桿件用光滑鉸鏈聯(lián)接；（3）桁架所受的力都作用到節(jié)點上，且在桁架平面內(nèi)；（4）桁架桿件重不計，或平均分配在桿件兩端的節(jié)點上。這樣的桁架，稱為理想桁架。4.6桁架的內(nèi)力計算一、節(jié)點法

桁架內(nèi)每個節(jié)點都受平面匯交力系作用，為求桁架內(nèi)每個桿件的內(nèi)力，逐個取桁架內(nèi)每個節(jié)點為研究對象，求桁架桿件內(nèi)力的方法即為節(jié)點法。例14平面桁架的尺寸和支座如圖，在節(jié)點D處受一集中荷載P=10kN的作用。試求桁架各桿件所受的內(nèi)力。解：先以整體為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。解之得：4.6桁架的內(nèi)力計算一、節(jié)點法再分別以節(jié)點A、C、D為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。對A：解得：對C：解得：對D：解得：4.6桁架的內(nèi)力計算二、截面法

用假想的截面將桁架截開，取至少包含兩個節(jié)點以上部分為研究對象，考慮其平衡，求出被截桿件內(nèi)力，這就是截面法。解：以整體為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。例15圖示平面桁架，各桿長度均為1m，在節(jié)點E上作用荷載，在節(jié)點D上作用荷載，試求桿1、2、3的內(nèi)力。4.6桁架的內(nèi)力計算二、截面法解之得：

為求1、2、3桿的內(nèi)力，用假想截面m--n將桁架截開，取左半部分為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。解之得：4.6桁架的內(nèi)力計算二、截面法

思考題：求下列各桁架指定桿件的軸力。零力桿特點:(由平衡方程而得)兩桿鉸接,無外力,則兩桿內(nèi)力均為零.兩桿鉸接,一桿與一外力共線,則另一桿內(nèi)力為零.三桿鉸接,無外力,其中兩桿共線,則另一桿內(nèi)力為零.(a)(a)12(b)12(b)P(c)123(c)例:圖示靜定桁架,求:各桿內(nèi)力?12345679AP1、若力F=-F1，則F與F1或是一對平衡力，或是一對作用力與反作用力，是否正確？2、如圖示ABC構(gòu)件，受P力作用，若A鉸的約束反力方位與AB的夾角為135度，AC=BC，則當(dāng)ABC靜定平衡時，B點的約束如何設(shè)置，并圖示之。ABCP13503、試用最簡單的方法定出圖中A處約束反力。（畫在圖上，不能用分力表示）。說明理由。4、兩直角曲桿ABC、DE各處鉸接，當(dāng)力P從B點移動到C點的過程，A點的約束反力方位與AB的夾角從——到——度，約束反力大小從——到——ADBCEPaaaADBCEPaaa5、如圖（a）、（b）、（c）示，各力頂點構(gòu)成正方形頂點，則哪個圖是平衡的？F1F2F3F4ABCDF4AF2BCDF3F1F1F2F3F4ABCD（a）F3ABCDF1F2F4（b）（c）6、如圖所示，求F