第二章一維勢場中的粒子

（1）有助于具體理解已學(xué)過的基本原理；（2）有助于進一步闡明其他基本原理；（3）處理一維問題，數(shù)學(xué)簡單，從而能對結(jié)果進行細致討論，量子體系的許多特征都可以在這些一維問題中展現(xiàn)出來；（4）一維問題還是處理各種復(fù)雜問題的基礎(chǔ)。第二章一維勢場中的粒子

在繼續(xù)闡述量子力學(xué)基本原理之前，先用Schr?dinger方程來處理一類簡單的問題—一維粒子的定態(tài)問題。其好處有四：本章要求1.

掌握求解一維定態(tài)Schr?dinger方程的基本步驟;2.掌握能量量子化，束縛態(tài)，宇稱，隧道效應(yīng)，零點能，分立譜，連續(xù)譜等概念;第二章一維勢場中的粒子本章內(nèi)容第二章一維勢場中的粒子§1一維無限深勢阱§2勢壘貫穿§3一維諧振子§1§2§3§1

一維無限深方勢阱(1)一維無限深方勢阱中的粒子A.物理背景

金屬中的電子、原子中的電子、原子核中的質(zhì)子及中子等粒子的運動都有一個共同的特點，即粒子的運動被限制（束縛）在一定的空間范圍內(nèi)。

為了便于分析，可以對被束縛粒子提出一種簡化的理想模型。例如，電子在金屬晶格中的運動。對于各向同性的晶體，三維可作一維研究。第一次簡化：一維晶格中電子的勢能曲線

如果直接用此曲線表示的勢能帶入薛定諤方程中，就形成一個相當(dāng)困難的數(shù)學(xué)問題。第二次簡化：用平均勢能代替晶格勢能(這一步的實質(zhì)是不考慮電子間、電子與晶格離子間的相互作用，這樣的電子就相當(dāng)于理想氣體分子－自由電子氣。)第三次簡化：將平均勢能作為零勢能將表面勢能視為無限大(勢能零點的選取有任意性)無限深勢阱

求解步驟：①列出各區(qū)域的一維定態(tài)Schr?dinger方程②解方程③使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件、邊界條件定解④用歸一化條件定歸一化系數(shù)V(x)0a……x（a

勢阱寬度）B.無限深勢阱中粒子的勢能函數(shù)以及薛定諤方程求解①

列出各區(qū)域的定態(tài)Schr?dinger方程

勢阱內(nèi)（0<x<a）

勢阱外（x<0；x>

a）②求解定態(tài)Schr?dinger方程方程(2)的解方程(1)中，令，則方程(1)寫為

理由：因勢阱壁無限高(V)，粒子不能穿透勢壁，故勢阱外的波函數(shù)必定為0。其解(A、待定常數(shù))③使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化條件確定方程的定解根據(jù)波函數(shù)連續(xù)性條件，阱壁上波函數(shù)應(yīng)連續(xù)：(n=0，≡0；n取負(fù)值不給出新解，因為與取正值給出的波函數(shù)描述同一量子態(tài))(3)

即勢阱中粒子的能量（本征值）只能取離散值，所得到的波函數(shù)才滿足物理上的要求。對應(yīng)本征值En的波函數(shù)（能量本征函數(shù)）④

確定歸一化系數(shù)歸一化條件(取實數(shù))最后,勢阱中粒子的波函數(shù)(能量本征函數(shù))：能量本征值：（4）（3）

總的定態(tài)波函數(shù)應(yīng)乘上時間部分

由(3)式，處于束縛態(tài)的粒子，其能量(本征值)是量子化的，n是量子數(shù)，其能譜(能級)呈分立結(jié)構(gòu)。(2)討論

(4)式表明，粒子束縛于有限空間中(即勢阱內(nèi))運動，在無限遠處找到粒子的概率為0（無限遠處波函數(shù)

=0)。這樣的狀態(tài)，稱為束縛態(tài)(boundstate)。能級間隔，當(dāng)勢阱寬度越窄，能級間隔越大，量子化越顯著；反之，寬度越大，能級間隔越小，當(dāng)a，E0，其能譜可視為連續(xù)。因此量子性顯著表現(xiàn)于空間很小的微觀現(xiàn)象中（量子小尺寸效應(yīng)）?；鶓B(tài)(n=1)：能量最低的基態(tài)能量稱為零點能，不等于零，與經(jīng)典粒子不同，是微觀粒子波動性的表現(xiàn)

能量最低的態(tài)稱為基態(tài)(n=1)，其上為第一激發(fā)態(tài)(n=2)、第二激發(fā)態(tài)(n=3)，依次類推。

除端點(x=0,a)外，基態(tài)波函數(shù)無節(jié)點，第一激發(fā)態(tài)有一個節(jié)點，第二激發(fā)態(tài)有二個節(jié)點，第m激發(fā)態(tài)（量子數(shù)n=m+1）有m個節(jié)點。(節(jié)點即波函數(shù)的零點)駐波！

粒子在阱中的概率分布經(jīng)典力學(xué)的結(jié)果：粒子在阱內(nèi)作勻速運動(阱內(nèi)勢場為0)，E、p不變，粒子在阱內(nèi)各點將均勻分布。量子力學(xué)的結(jié)果：

n=1，粒子出現(xiàn)在阱底中部的概率最大，兩端的概率為零。當(dāng)系統(tǒng)處于激發(fā)態(tài)，n=2,3…粒子在阱中的分布出現(xiàn)起伏節(jié)點n=1n=2n=3ax

隨著量子數(shù)的增大（激發(fā)能級高），概率密度曲線的峰值增多，同時峰值間距縮小。

當(dāng)量子數(shù)n

很大時，相鄰峰值間距很小，幾乎連成一片，就非常接近均勻分布了。(量子效應(yīng)消失，趨近經(jīng)典結(jié)果)n=7n=8n=9ax量子性顯著表現(xiàn)在低能現(xiàn)象中。

若取無限深方勢阱的中心為坐標(biāo)原點，即。（a

勢阱寬度）0a/2V(x)……x-a/2可以證明粒子的能量仍為(3)式但波函數(shù)表示為合并為：【對比(4)式，相當(dāng)于坐標(biāo)右平移a/2】

波函數(shù)具有這種確定的宇稱是由勢能對原點的對稱性決定的（偶宇稱）（奇宇稱）宇稱(Parity)定義空間反射(反演)算符

：(空間坐標(biāo)r－r)稱波函數(shù)具有正宇稱（或偶宇稱）稱波函數(shù)具有負(fù)宇稱（或奇宇稱）坐標(biāo)反演后，若則波函數(shù)沒有確定的宇稱P

又稱宇稱算符宇稱算符的本征值？－＋－＋－＋－＋＋＋－－－npEcEv空間電荷區(qū)勢壘區(qū)勢壘高度圖：p-n結(jié)的空間電荷區(qū)及能帶圖n區(qū)的電子要到達p區(qū)，必須越過空間電荷區(qū)，克服其中的內(nèi)建電場；從能帶圖上，電子必須爬過一勢能“高坡”才能到達p區(qū)，這一勢能高坡就稱為p-n結(jié)的勢壘?！?

勢壘貫穿(1)勢壘的例子外加偏壓小于結(jié)勢壘時，電子能過去嗎？V00

aⅠⅡⅢ粒子能量E(2)勢壘函數(shù)（數(shù)學(xué)模型）p-n結(jié)勢壘可簡化為一維方勢壘模型：（a

勢壘寬度；V0

勢壘高度）深勢阱不同的是，對于勢壘問題，其勢能在無限遠處有限(這里取0)，此時粒子可以在無限遠處出現(xiàn)，即波函數(shù)在無限遠處不為0，因此粒子的狀態(tài)不屬束縛態(tài)，其能量可取任意值，組成連續(xù)譜。這類問題屬粒子被勢場散射問題，即粒子由無窮遠來經(jīng)勢場散射后又回到無窮遠。所以本節(jié)討論的是粒子的散射態(tài)?？紤]粒子由左側(cè)射入勢壘。與無限

按經(jīng)典理論（對于方勢壘）若E<V0，粒子不能越過勢壘，全部被反射回去；若E>V0，粒子能穿越勢場，全部透射而無反射；V00

aⅠⅡⅢ粒子能量E

按量子力學(xué)的結(jié)論若E<V0，粒子既能透射也能反射(有一定的概率)；若E>V0，粒子既能透射也能反射(有一定的概率)；V00

aⅠⅡⅢ粒子能量E散射效應(yīng)（波粒二象性之體現(xiàn)）A.先考慮E<V0

的情況(3)求解定態(tài)薛定諤方程Ⅲ區(qū)Ⅰ區(qū)Ⅱ區(qū)電子在各區(qū)域所滿足的定態(tài)薛定諤方程為

因為0<E<V0，所以k1、k2均為正實數(shù)。Ⅲ區(qū)Ⅰ區(qū)Ⅱ區(qū)三個區(qū)域的波函數(shù)分別為而Ⅲ區(qū)只可能存在透射波，故V00

aⅠⅡⅢE定態(tài)波函數(shù)1,

2,3分別乘以含時因子exp[-iEt/]

即可看出1、3兩式中：

代表右行平面波，代表左行波(反射波)根據(jù)勢壘邊界（x=0及x=a）上波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)連續(xù)性條件確定系數(shù)：在x=0處(5)(6)x=a處類似地(7)(8)聯(lián)立(5)~(8)，可以解出反射波振幅B1、透射波振幅A3（其中，入射波振幅A1

視為參量）：不管能量為多少,方程總有解,故能譜為連續(xù)譜（k1、k2連續(xù)取值）。概率流密度矢量：~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~則入射波概率流密度（入射波函數(shù)）（反射波函數(shù)）透射波概率流密度（透射波函數(shù)）反射波概率流密度(負(fù)號表示與入射波方向相反)定義透射系數(shù)T透射波概率流密度與入射波概率流密度之比反射系數(shù)R反射波概率流密度與入射波概率流密度之比T的意義：與x垂直的單位面積上，單位時間內(nèi)貫穿到x>a(III區(qū))的粒子數(shù)目與射入x<0(I區(qū))的粒子數(shù)目之比，即粒子穿透勢壘的概率。R的意義：粒子被勢壘反彈的概率。透射系數(shù)反射系數(shù)（9）顯然（10）（9）式表明，在E<V0時，透射系數(shù)T不為0。隧道效應(yīng)（tunneleffect）粒子能夠穿透比它動能更高的勢壘的現(xiàn)象。它是粒子具有波動性的表現(xiàn)。當(dāng)然，這種現(xiàn)象只在一定條件下才比較顯著。0axV0入射波+反射波透射波勢壘穿透的波動圖象經(jīng)典量子隧道效應(yīng)討論：⑴如果粒子的能量E較小，導(dǎo)致k2a>>1則(9)式近似為其中顯然，粒子的透射系數(shù)(隧道概率)T隨勢壘的寬度a、高度V0以及粒子質(zhì)量m的增加而迅速減小。（11）粒子類型粒子能量勢壘高度勢壘寬度透射系數(shù)電子0.5eV0.7eV10×10-10m0.5eV0.7eV5×10-10m質(zhì)子0.5eV0.7eV5×10-10m0.0320.329.2×10-43注：硅基PN結(jié)的導(dǎo)通電壓~0.7V0a

bV(x)Ex可把任意形狀的勢壘分割成許多小勢壘，這些小勢壘可以近似用方勢壘處理。（2）任意形狀的勢壘對每一小方勢壘透射系數(shù)則貫穿勢壘區(qū)(ab)的透射系數(shù)等于貫穿這些小方勢壘透射系數(shù)之積dxB.再考慮E>

V0

的情況此時為虛數(shù)，只需k2ik3前面的推導(dǎo)依然有效。（注意到sh(ik3a)=isink3a）討論：⑴以上三式表明，粒子能量大于勢壘高度時，粒子一部分貫穿勢壘，一部分被勢壘反彈回去。(2)共振透射物理理解:

若入射粒子能量合適,在兩勢壘壁經(jīng)過多次反射后透射出去的波相位相同，彼此相干疊加，使透射波幅大增，從而出現(xiàn)共振透射。若有（勢壘中粒子波長）

隧道二極管（江崎二極管）npEcEv－勢壘區(qū)EF熱平衡下隧道結(jié)能帶圖隧道效應(yīng)是1958年日本江崎玲於奈在研究重?fù)诫s鍺PN結(jié)時發(fā)現(xiàn)的，故隧道二極管又稱江崎二極管。其摻雜必須濃度大，以使p-n結(jié)能帶圖中費米能級進入n區(qū)導(dǎo)帶和p區(qū)價帶；p-n結(jié)的厚度還必須足夠?。?50埃左右），使電子能夠直接從n區(qū)穿透勢壘進入P區(qū)。這樣的結(jié)又稱隧道結(jié)。(4)隧道效應(yīng)的應(yīng)用EcEv小正向電壓下隧道結(jié)能帶圖－EF

隧道二極管的主要特點是它的正向電流－電壓特性具有負(fù)阻現(xiàn)象。這種負(fù)阻是基于電子的量子力學(xué)隧道效應(yīng)，所以隧道二極管開關(guān)速度達皮秒量級,工作頻率高達100吉赫。隧道二極管還具有小功耗和低噪聲等特點。隧道二極管可用于微波混頻、檢波（這時應(yīng)適當(dāng)減輕摻雜，制成反向二極管），低噪聲放大、振蕩等。由于功耗小，所以適用于衛(wèi)星微波設(shè)備。還可用于超高速開關(guān)邏輯電路、觸發(fā)器和存儲電路等。(4)隧道效應(yīng)的應(yīng)用

p-n結(jié)隧道擊穿（齊納擊穿）lx0(b)p-n結(jié)的三角形勢壘p-n結(jié)加反向偏壓時，勢壘區(qū)能帶發(fā)生傾斜。反向偏壓越大，能帶越傾斜，甚至出現(xiàn)n區(qū)導(dǎo)帶底低于p區(qū)價帶頂?shù)那闆r，此時A、B兩點能量相同，為電子穿越勢壘創(chuàng)造條件。npEcEv－勢壘區(qū)E(a)大反向偏壓下p-n結(jié)能帶圖ABlx

隧道長度lxEg

隨著能帶的傾斜，隧道長度lx越來越薄，當(dāng)反向偏壓達到一定值，lx

短到一定程度時，隧道概率大增，p區(qū)價帶中大量的電子將通過隧道效應(yīng)穿越勢壘(禁帶)到達n區(qū)的導(dǎo)帶（i.e.AB），使得反向電流激增，于是p-n結(jié)發(fā)生隧道擊穿。依據(jù)(11)式，隧道概率為假定E=0，結(jié)果(4)隧道效應(yīng)的應(yīng)用掃描隧道顯微鏡（STM）

由于電子的隧道效應(yīng)，金屬中的電子并不完全局限于表面邊界之內(nèi)，電子密度并不在表面邊界處突變?yōu)榱?，而是在表面以外呈指?shù)形式衰減，衰減長度約為1nm。只要將具有原子線度的極細探針以及被研究物質(zhì)的表面作為兩個電極，當(dāng)樣品與針尖的距離非常接近（<1nm）時，它們的表面電子云就可能重疊。掃描隧道顯微鏡（STM）裝置示意圖U0U0U0樣品針尖dE電子云重疊

這時，若在樣品與針尖之間加一微小電壓Ub，電子在外電場作用下就會穿過兩極間的絕緣層流向另一極，產(chǎn)生隧道電流，并通過反饋電路傳遞到計算機上表現(xiàn)出來。隧道電流iABUbd探針樣品A—常量—樣品表面平均勢壘高度（~eV）d~1nmd

變i

變，反映表面情況。d變~0.1nm

隧道電流

i變幾十倍，非常靈敏。反饋電路

如果控制隧道電流不變，則探針在垂直于樣品方向上的高度變化就能反映樣品表面的起伏；

如果控制針尖的高度不變，通過隧道電流的變化可得到表面態(tài)密度的分布。

STM具有原子級分辨率，可分辨出單個原子；具有直接觀測的性能，有利于對表面反應(yīng)、擴散等動態(tài)過程的研究；還可得到單原子層表面的局部結(jié)構(gòu)，直接繪出表面的三維圖象，直接觀測到局部的表面缺陷、表面重構(gòu)、表面吸附體的形態(tài)和位置，以及由吸附體引起的表面重構(gòu)等。豎直分辨本領(lǐng)可達約102nm；

橫向分辨本領(lǐng)與探針、樣品材料及絕緣物有關(guān)，在真空中可達0.2nm。STM在表面科學(xué)、材料科學(xué)和生命科學(xué)等領(lǐng)域中有著重大的意義和廣闊的應(yīng)用前景。被國際科學(xué)界公認(rèn)為20世紀(jì)80年代世界19大科技成就之一。STM顯示的生物DNA分子表面圖像用STM得到的神經(jīng)細胞象硅表面77重構(gòu)圖象中國科學(xué)院科學(xué)家的“原子書法”

在石墨表面上刻蝕的出來最小的中國地圖（納米量級）

在硅單晶表面上提走硅原子形成寬度為2納米的線條字樣操縱原子已不是夢“掃描隧道繪畫”一氧化碳“分子人”1991年恩格勒等用STM在鎳單晶表面逐個移動氙原子，拼成了字母IBM，每個字母長5納米

用STM移動48個Fe原子到Cu表面上構(gòu)成的“量子圍欄”§3

一維諧振子(1)一維諧振子的勢能函數(shù)一維運動的簡諧振子（線性諧振子）其勢能（m

振子質(zhì)量；ω

固有頻率）代表在其平衡位置(穩(wěn)定平衡點)附近的簡諧振動。

諧振子模型在很多問題中有重要應(yīng)用，例如，分子中的原子或晶格點陣上的原子都可以近似看成在其平衡位置附近作簡諧振動的諧振子。

作諧振動的粒子就稱諧振子

雙原子分子中兩個原子之間的勢能V是兩原子之間距離x的函數(shù)（如圖）。其中x=x0處

在x=x0處，勢能有一極小值，這是個穩(wěn)定平衡點。在這點附近，V(x)可以展成(x－x0)的冪級數(shù)進一步有（取平衡點為原點和勢能零點）

經(jīng)典物理中，諧振子的能量E(=p2/2m+V)可以具有任意連續(xù)的值。那么，量子力學(xué)的結(jié)果又如何呢？

其實，物理上任何復(fù)雜的振動體系都可看成許多諧振子的集合（疊加），因此討論諧振子問題十分重要。(2)定態(tài)薛定諤方程及其求解線性諧振子的Hamilton量：定態(tài)薛定諤方程引入無量綱變量可將薛定諤方程改寫為這是一個變系數(shù)的二階微分方程。求解策略：“抓兩頭，帶中間”“抓兩頭”指先看方程在“兩頭”的漸進行為。3維情況下是看在零點和無窮遠點的漸進行為；1維則看正負(fù)無窮遠點的漸進行為。“帶中間”指對波函數(shù)做變換，使之在兩頭有漸進行為規(guī)定的形式。（12）“抓兩頭”

考察方程(12)在時，解的漸進行為。此時<<2，方程(12)近似為其解方程(12)的漸進解（時的解）由于波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化條件要求時，應(yīng)有限，故方程(12)的漸進解應(yīng)取“帶中間”對波函數(shù)做變換使波函數(shù)具有漸進行為規(guī)定的形式。函數(shù)H()應(yīng)滿足①當(dāng)ξ有限時，H(ξ)有限；②當(dāng)ξ→∞時，H(ξ)的行為要保證(ξ)→0上式代人方程(12)，得到H()滿足的方程下面只需確定函數(shù)H()的形式。使用級數(shù)解法，將H()展開成的冪級數(shù)：可以證明，這個級數(shù)必須在某項處中斷為有限項，才能保證解的漸進行為：（13）而級數(shù)為有限項（多項式）的條件就是相應(yīng)的多項式稱為厄米(Hermite)多項式。（n項后面的項中斷）~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~厄米多項式的性質(zhì)1.Hn()可以表示成2.正交性3.遞推公式4.最低階的幾個厄米多項式H0=1H1=2ξH2=4ξ2-2H3=8ξ3-12ξ這正是普朗克在解釋黑體輻射時的觀點！表明諧振子的能量是分立的（量子化的）！且相鄰兩能級間隔諧振子