第9講更新過程

隨機(jī)數(shù)學(xué)第9講更新過程教師:陳萍prob123@1則稱{N(t),t0}為更新過程。2.4.1更新過程的定義

顯然,更新過程是一個計數(shù)過程.在更新過程中,我們將事件發(fā)生一次叫作一次更新,從而定義中Tn就是第n-1次和第n次更新相距的時間,τn是第n次更新發(fā)生的時刻.N(t)就是t時刻之前發(fā)生的總的更新次數(shù).定義2.4.1設(shè)為獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量序列，分布函數(shù)為F(x),且F(0)<1。令τ0=0，記2更新過程的基本結(jié)論：

過程的統(tǒng)計特性可由序列的共同分布完全刻畫；N(t)是關(guān)于t的單調(diào)遞增階梯函數(shù)，對于固定的t，N(t)為取非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量；的分布函數(shù)為

,即在有限時間內(nèi)不可能進(jìn)行無窮次更新.N(t)的概率分布為3例2.4.1設(shè)更新過程的更新間距服從參數(shù)為m,λ的Gamma分布，即的概率密度函數(shù)為

求解備查：1）的特征函數(shù)為分布函數(shù)為：4令,稱為過程{N(t),t0}的更新函數(shù)。定理2.4.1

對,若F(t)<1,則有2.4.2更新函數(shù)

定理2.4.2更新過程{N(t),t0}可由其更新函數(shù)M(t)唯一確定.……證…證引理更新函數(shù)是自變量的單調(diào)遞增，有界且右連續(xù)函數(shù).…證略

5例2.4.2設(shè)更新過程{N(t),t0}具有更新函數(shù),求更新間距T的分布.解:設(shè)T的概率密度為f(t),則故更新間距T服從指數(shù)分布,{N(t),t0}為Poison過程.--[4]拉氏變換簡表62.4.3更新過程的極限性質(zhì)定理2.4.3推論定理2.4.4設(shè){N(t),t0}為更新過程，{Tn,n1}共同的分布函數(shù)為F(x)，Tn的期望為μ，方差為2，則yR，證明參見”S.M.Ross，隨機(jī)過程，中國統(tǒng)計出版社”,定理某收音機(jī)使用一節(jié)電池供電，當(dāng)電池失效時，立即換一節(jié)同型號的新電池.如果電池的壽命為均勻分布在30小時到60小時內(nèi)的隨機(jī)變量，問長時間工作情況下該收音機(jī)更換電池的速率為多少？解設(shè)N(t)表示在t時間內(nèi)失效的電池數(shù),則由推論,在長時間工作情況下，電池的更新速率為

而

故電池的更新速率為1/45.EX8(2.4.1)2.4.4更新方程定義2.4.2設(shè)已知函數(shù)a(t)及分布函數(shù)F(t),若未知函數(shù)A(t),滿足如下積分方程:則稱(2.4.1)式為更新方程.定理2.4.5

,

更新函數(shù)M(t)滿足下列更新方程(2.4.2)定理2.4.6若未知函數(shù)A(t)滿足更新方程(2.4.1)，則其解為9例2.4.3設(shè){N(t),t0}為更新過程,其更新間距T的分布函數(shù)為F(t),記表示t時刻的剩余壽命，對任意固定z>0，令,求證滿足更新方程:EX設(shè)試用定理2.4.6解出.答案:10定理2.4.7（關(guān)鍵更新定理）設(shè)F(x)是均值為的非負(fù)隨機(jī)變量的分布函數(shù),F(0)<1，a(t)是Riemann直接可積的,則更新方程(1)若F是非格點(diǎn)的，則(2)若F是周期為d的格點(diǎn)的,c>0，有的解A(t)滿足:11例2.4.3(續(xù))剩余壽命的極限分布記表示t時刻的剩余壽命，對任意固定z>0，令,求提示：設(shè)X是非負(fù)隨機(jī)變量，分布函數(shù)為F(x),如果期望E(X)存在，則12更新過程的推廣

(1)更新報酬過程

定義2.4.6設(shè)更新過程{N(t),t0}的時間間隔為隨機(jī)變量序列{Xn,n1}.其分布為F，Rn(可以依賴于Xn)表示第n次更新時可得到的報酬，且{Rn,n1}獨(dú)立同分布，再設(shè){(Xn,Rn),n1}獨(dú)立同分布，令，則R(t)表示在(0,T]中的總報酬，稱{R(t),t0}為更新報酬過程。13交錯更新過程考慮只有兩個狀態(tài)的系統(tǒng)：開(1)或關(guān)(0)，系統(tǒng)在t=0時是開的且持續(xù)開的時間為Z1;接著關(guān)閉且持續(xù)時間為Y1；之后又開著持續(xù)時間為Z2，又關(guān)閉時間為Y2，如此開關(guān)交替重復(fù)下去。設(shè){(Zn,Yn),n1}為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,記

則{N(t),t0}為更新過程。記稱為交錯更新過程.14終止更新過程就是不會進(jìn)行無限次更新的更新過程，它與上面討論的更新過程的區(qū)別在于：事件發(fā)生的相鄰間隔長度為無窮的概率大于0。終止更新過程定義設(shè)獨(dú)立同分布F(t),F(0-)=0，F(xiàn)(∞)=p<1,則稱F相應(yīng)的記數(shù)過程{N(t),t0}為終止更新過程。記N為時間[0,∞)內(nèi)發(fā)生的更新次數(shù)，則