平面直角坐標系找規(guī)律壓軸及平行線解答題壓軸題

七下平行線，平面直角坐標系壓軸題一．填空題〔共13小題〕1．點M〔3，2〕與點N〔x，y〕在同一條平行于x軸的直線上，且點N到y(tǒng)軸的距離為5，那么點N的坐標為．2．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為〔2，0〕，點B的坐標為〔0，1〕，將線段AB平移，使其一個端點到C〔3，2〕，那么平移后另一端點的坐標為．3．如圖的坐標平面上有一正五邊形ABCDE，其中C、D兩點坐標分別為〔1，0〕、〔2，0〕．假設在沒有滑動的情況下，將此五邊形沿著x軸向右滾動，那么轉(zhuǎn)動過程中，經(jīng)過點〔75，0〕的是〔填A、B、C、D或E〕．4．如圖，彈性小球從點P〔0，3〕出發(fā)，沿所示方向運動，每當小球碰到矩形OABC的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當小球第1次碰到矩形的邊時的點為P1，第2次碰到矩形的邊時的點為2，，第n次P碰到矩形的邊時的點為Pn，那么點P3的坐標是；點P2021的坐標

是．5．如圖，在直角坐標系中，點A〔﹣3，0〕、B〔0，4〕，AB=5.對△OAB連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次獲得△1、△2、△3、△4，那么△2021的直角頂點的坐標為．6．如圖，將邊長為1的正方形OAPB沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2021次，點P依次落在點P1，P2，P3，P4，，P2021的地址，那么P2021的坐標為．7．如圖，在平面直角坐標系中，有假設干個橫坐標分別為整數(shù)的點，其順序按圖中“→〞方向排列，如〔1，0〕，〔2，0〕，〔2，1〕，〔1，1〕，〔1，2〕，〔2，2〕根據(jù)這個規(guī)律，第2021個點的橫坐標為．10．如圖，在平面直角坐標系中，有假設干個整數(shù)點，其序次按圖中“→〞8．如圖，將邊長為2的等邊三角形沿x軸正方向連續(xù)翻折2021次，依方向排列，如〔0，1〕，〔0，2〕，〔1，2〕，〔1，3〕，〔0，3〕，〔﹣1，3〕，次獲得點P1，2，3P2021．那么點2021的坐標是．根據(jù)這個規(guī)律探索可得，第90個點的坐標為．PPP9．如圖，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，，〔每個正方形從第三象限的極點開始，按順時針方向序次，依次記為A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；〕的中心均在坐標原點O，各邊11．如下列圖，在平面直角坐標系中，有假設干個整數(shù)點，其序次按圖中均與x軸或y軸平行，假設它們的邊長依次是2，4，6，那么極點A20的坐箭頭方向排列，如〔1，0〕，〔2，0〕，〔2，1〕，〔3，2〕，〔3，1〕，〔3，0〕，，標為．根據(jù)這個規(guī)律探索可得，第102個點的坐標為．二．解答題〔共27小題〕14．如圖，直線AB∥CD，直線EF分別與AB、CD相交于點E、F，12．如圖，在直角坐標系中，第一次將△OAB變換成△OA1B1，第二次將FM平分∠EFD，點H是射線EA上一動點〔不與點E重合〕，過點H的直△OA11變換成△22，第三次將△22變換成△33線交EF于點P，HM平分∠BHP交FM于點M．BOABOABOAB：A〔1，3〕，A1〔，〕，2〔，〕，3〔，〕；〔，〕，1〔1〕如圖1，試說明：∠HMF=〔∠BHP+∠DFP〕；23A43A83B20B〔4，0〕，B2〔，〕，3〔，0〕．察看每次變換前后的三角形有何變80B16請在以下解答中，填寫相應的原因：化，按照變換規(guī)律，第五次變換后獲得的三角形A5的坐標是，解：過點M作MQ∥AB〔過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平B的坐標是．5行〕．∵AB∥CD〔〕，∴MQ∥CD〔如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行〕．如圖，在平面直角坐標系上有點〔，〕，點A第一次向左跳動至∴∠1=∠3，∠2=∠4〔〕13A10點A1〔﹣，〕，第二次向右跳動至點A2〔，〕，第三次向左跳動至點∴∠1+∠2=∠3+∠4〔等式的性質(zhì)〕11213〔﹣，〕，第四次向右跳動點4〔3，〕，，依次規(guī)律跳動下去，即∠HMF=∠1+∠2．A22A2點A第2021次跳動至點A2021的坐標是．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP〔〕∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP〔〕∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=〔∠BHP+∠DFP〕〔等量代換〕．〔2〕如圖2，假設HP⊥EF，求∠HMF的度數(shù)；〔3〕如圖3，當點P與點F重合時，F(xiàn)N平分∠HFE交AB于點N，過點N作NQ⊥FM于點Q，試說明無論點H在哪處都有∠EHF=2∠FNQ．

〔2〕請在圖1中找出與∠CAF相等的角，并加以證明；〔3〕如圖2，連接BC交AF于點D，作∠CBF和∠CEF的角平分線交于點M，假設∠ADC=α，請直接寫出∠M的度數(shù)〔用含α的式子表示〕16．直線AB∥CD，M，N分別是AB，CD上的點．〔1〕假設E是AB，CD內(nèi)一點．15．如圖1，直線m∥n，點B、F在直線m上，點E、C在直線n上，①如圖甲所示，請寫出∠BME，∠DNE，∠MEN之間的數(shù)量關系，并證連接FE并延伸至點A，連接BA和CA，使∠AEC=∠BAC．明．〔1〕求證：∠BFA+∠BAC=180°；②如圖乙所示，假設∠1=∠BME，∠2=∠DNE，請利用①的結(jié)論探究∠F與∠MEN的數(shù)量關系．〔2〕假設E是AB，CD外一點．①如圖丙所示，請直接寫出∠EMB，∠END，∠E之間的數(shù)量關系．②如圖丁所示，∠BMP=∠EMB，在射線MP上找一點G，使得∠MGN=∠E，請在圖中畫出點G的大體地址，并求∠ENG：∠GND的值．18．小明在學習了“平行線的判斷和性質(zhì)〞知識后，對下面問題進行探究：17．，AB∥CD，點E為射線FG上一點．在平面內(nèi)，直線AB∥CD，E為平面內(nèi)一點，連接BE、CE，根據(jù)點E的位〔1〕如圖1，假設∠EAF=30°，∠EDG=40°，那么∠AED=°；置探究∠B和∠C、∠BEC的數(shù)量關系．〔1〕當點E分別在如以下列圖①、圖〔2〕如圖2，當點E在FG延伸線上時，此時CD與AE交于點H，那么∠②和圖③所示的地址時，請你直接寫出三個圖形中相應的∠B和∠C、∠AED、∠EAF、∠EDG之間知足怎樣的關系，請說明你的結(jié)論；BEC的數(shù)量關系：圖①中：；圖②中：，圖③．〔2〕請在以上三個結(jié)論中選出一個你喜歡的結(jié)論加以證〔3〕如圖3，DI平分∠EDC，交AE于點K，交AI于點I，且∠EAI：∠BAI=1：中：明．〔3〕運用上面的結(jié)論解決問題：如圖④，AB∥CD，BP平分∠ABE，2，∠AED=22°，∠I=20°求∠，EKD的度數(shù)．CP平分∠DCE，∠BEC=100°，∠BPC的度數(shù)是

．〔直接寫出結(jié)果，

動，試探討∠

E和∠F的數(shù)量關系；不

用

寫

計

算

過

程

〕〔3〕如圖

3，AD和

BC交于點

G，過點

D作

DH∥BC交

AC于點

H，假設AC⊥BC，問當∠CDH為多少度時，∠

GDC=∠ADH．20．直線AB∥CD．〔1〕如圖1，直接寫出∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關系為；．如圖1，AC平分∠DAB，∠1=∠2．〔2〕如圖2，∠BME與∠CNE的角平分線所在的直線相交于點P，試探19究∠P與∠E之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；〔3〕如圖3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直線MB、ND交于點F，那么=．〔1〕試說明AB與CD的地址關系，并予以證明；〔2〕如圖2，當∠ADC=120°時，點E、F分別在CD和AC的延伸線上運22．如圖，AB∥CD，CE、BE的交點為E，現(xiàn)作如下操作：．如圖1，MN∥，直線AD與MN、PQ分別交于點、，點B在第一次操作，分別作∠ABE和∠DCE的平分線，交點為E1，21PQAD直線PQ上，過點B作BG⊥AD，垂足為點G．第二次操作，分別作∠ABE1和∠1的平分線，交點為2，DCEE〔1〕求證：∠MAG+∠PBG=90°；第三次操作，分別作∠ABE2和∠2的平分線，交點為3，，DCEE〔2〕假設點C在線段AD上〔不與A、D、G重合〕，連接BC，∠MAG和∠PBC的平分線交于點H，請在圖2中補全圖形，猜測并證明∠CBG與∠AHB的數(shù)量關系；〔3〕假設直線AD的地址如圖3所示，〔2〕中的結(jié)論是否成立？假設成立，請證明；假設不成立，請直接寫出∠CBG與∠AHB的數(shù)量關系．

第n次操作，分別作∠

ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分線，交點為

En．〔1〕如圖①，求證：∠BEC=∠ABE+∠DCE；〔2〕如圖②，求證：∠BE2∠；其數(shù)量關系；假設改變，請說明原因．C=BEC〔3〕猜測：假設∠En=α度，那∠BEC等于多少度？〔直接寫出結(jié)論〕．24．，直線AB∥DC，點P為平面上一點，連接AP與CP．23．“一帶一路〞讓中國和世界更緊密，“中歐鐵路〞為了平安起見在某段鐵路兩旁布置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖1所示，燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立刻展轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立刻展轉(zhuǎn)，兩燈不停交錯照射巡視．假設燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒〔1〕如圖1，點P在直線AB、CD之間，當∠BAP=60°，∠DCP=20°時，2度，燈B轉(zhuǎn)動的速度是每秒求∠APC．1度．假設主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．〔2〕如圖2，點P在直線AB、CD之間，∠BAP與∠DCP的角平分線相〔1〕填空：∠BAN=°；交于點K，寫出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關系，并說明原因．〔2〕假設燈B射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈〔3〕如圖3，點P落在CD外，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，B射線到達∠AKC與∠APC有何數(shù)量關系？并說明原因．BQ從前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？〔3〕如圖2，假設兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達AN從前．假設射出的光束交于點C，過C作∠ACD交PQ于點D，且∠ACD=120°，那么在轉(zhuǎn)動過程中，請?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關系是否發(fā)生變化？假設不變，央求出26．AM∥CN，點B為平面內(nèi)一點，AB⊥BC于B．〔1〕如圖1，直接寫出∠A和∠C之間的數(shù)量關系；．直線∥．〔2〕如圖2，過點B作BD⊥AM于點D，求證：∠ABD=∠C；25ABCD〔1〕如圖1，直接寫出∠ABE，∠CDE和∠BED之間的數(shù)量關系是．〔3〕如圖3，在〔2〕問的條件下，點E、F在DM上，連接BE、BF、CF，〔2〕如圖2，BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎BF平分∠，平分∠，假設∠∠°，∠∠，DBCBEABDFCB+NCF=180BFC=3DBE樣的數(shù)量關系？請說明原因．求∠EBC的度數(shù)．〔3〕如圖3，點E在直線BD的右側(cè)，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，請直接寫出∠BFD和∠BED的數(shù)量關系．27．如圖，直線AB∥CD，直線MN與AB，CD分別交于點M，N，ME，NE分別是∠AMN與∠CNM的平分線，NE交AB于點F，過點N作NG⊥EN交AB于點G．〔1〕求證：EM∥NG；〔2〕連接EG，在GN上取一點H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分線EP交AB于點P，求∠PEG的度數(shù)．

28．，∠AOB=90°，點C在射線OA上，CD∥OE．〔1〕如圖1，假設∠OCD=120°，求∠BOE的度數(shù)；〔2〕把“∠AOB=90°〞改為“∠AOB=120°〞，射線OE沿射線OB平移，得O′E，其他條件不變，〔如圖2所示〕，探究∠OCD、∠BO′E的數(shù)量關系；〔3〕在〔2〕的條件下，作PO′⊥OB垂足為O′，與∠OCD的平分線CP交于點P，假設∠BO′E=α，請用含α的式子表示∠CPO′〔請直接寫出答案〕．29．如圖1．將線段AB平移至CD，使A與D對應，B與C對應，連AD、BC．〔ⅰ〕求∠EOC的度數(shù)；〔ⅱ〕求∠OCB：∠OFB的比值；〔?！橙鐖D③，假設∠OEB=∠OCA．此時∠OCA度數(shù)等于．〔在橫〔1〕填空：AB與CD的關系為線上填上答案即可〕，∠B與∠D的大小關系為〔2〕如圖2，假設∠B=60°，F(xiàn)、E為BC的延伸線上的點，∠EFD=∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．〔3〕在〔2〕中，假設∠B=α，其余條件不變，那么∠FDG=．31．數(shù)學思考：〔1〕如圖1，AB∥CD，探究下面圖形中∠APC和∠PAB、∠PCD的30．：如圖，BC∥OA，∠B=∠A=100°，試答復以下問題：關系，并說明你探究的結(jié)論的正確性．〔1〕如圖①所示，求證：OB∥AC．〔注意證明過程要寫依據(jù)〕〔2〕如圖②，假設點E、F在BC上，且知足∠FOC=∠AOC，并且OE平分

推廣延伸：∠BOF．

〔2〕①如圖2，AA1∥BA3，請你猜測∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、∠A3的關系，并證明你的猜測；②如圖3，AA1∥BAn，直接寫出∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、∠Bn﹣1、∠An的關系．拓展應用：〔3〕①如圖4，假設AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，應為A．α+β+γB．β+γ﹣αC.180°﹣α﹣γ+βD.180°+α+β﹣γ②如圖5，AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，那么∠GHM的大小是．

那么第〔2〕題中∠BFD和∠BED的數(shù)量關系的猜測是否仍成立？如果成立，請證明；如果不成立，請寫出你的猜測，并證明．33．閱讀以下材料并填空：32．，直線AB∥CD〔1〕探究：平面上有n個點〔n≥2〕且任意3個點不在同一條直線上，〔1〕如圖1，點E在直線BD的左側(cè)，猜測∠ABE、∠CDE、∠BED的數(shù)經(jīng)過每兩點畫一條直線，一共能畫多少條直線？量關系，并證明你的結(jié)論；我們知道，兩點確定一條直線．平面上有2個點時，可以畫條直〔2〕如圖2，點E在直線BD的左側(cè)，BF、DF分別平分∠ABE、∠CDE，線，平面內(nèi)有3個點時，一共可以畫條直線，平面上有4個點時，猜測∠BFD和∠BED的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；〔3〕如圖3，點E在直線BD的右側(cè)，BF、DF分別平分∠ABE、∠CDE；一共可以畫條直線，平面內(nèi)有5個點時，一共可以畫條直線，平面內(nèi)有n個點時，一共可以畫條直線．〔2〕遷移：某足球比賽中有n個球隊〔n≥2〕進行單循環(huán)比賽〔每兩隊之間必須比賽一場〕，一共要進行多少場比賽？有2個球隊時，要進行場比賽，有3個球隊時，要進行場比賽，有4個球隊時，要進行場比賽，那么有20個球隊時，要進行場比賽．34．假設∠C=α，∠EAC+∠FBC=β

〔1〕如圖①，AM是∠EAC的平分線，BN是∠FBC的平分線，假設AM∥BN，那么α與β有何關系？并說明原因．〔2〕如圖②，假設∠EAC的平分線所在直線與∠FBC平分線所在直線交于P，試探究∠APB與α、β的關系是．〔用α、β表示〕〔3〕如圖③，假設α≥β，∠EAC與∠FBC的平分線相交于P1，∠EAP1與∠FBP1的平分線交于P2；依此類推，那么∠P5=．〔用α、β表示〕35．，AB∥CD，點E為射線FG上一點．〔1〕如圖1，直接寫出∠EAF、∠AED、∠EDG之間的數(shù)量關系；〔2〕如圖2，當點E在FG延伸線上時，求證：∠EAF=∠AED+∠EDG；〔3〕如圖3，AI平分∠BAE，DI交AI于點I，交AE于點K，且∠EDI：∠：，∠°，∠I=30，°求∴PQ∥CD〔〕CDI=21AED=20∠EKD的度數(shù)．∴∠C+∠2=180°結(jié)論：∠A+∠C+∠APC=°；〔2〕解決問題：①如圖2，延伸PC至點E，AF、CF分別平分∠PAB、∠DCE，試判斷∠P與∠F存在怎樣的數(shù)量關系并說明原因；②如圖3，假設∠APC=100°，分別作BN∥AP，DN∥PC，AM、DM分別平分∠PAB，∠CDN，那么∠M的度數(shù)為〔直接寫出結(jié)果〕．37．如圖1，AB∥CD，E是AB、CD之間的一點．〔1〕判斷∠BAE，∠CDE與∠AED之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；36．AB∥CD，點P在直線AB、CD之間，連接AP、CP．〔2〕如圖2，假設∠BAE、∠CDE的兩條平分線交于點F．直接寫出∠AFD〔1〕探究發(fā)現(xiàn)：〔填空〕與∠AED之間的數(shù)量關系；填空：如圖1，過P作PQ∥AB，〔3〕將圖2中的射線DC沿DE翻折交AF于點G得圖3，假設∠AGD的余∴∠A+∠1=°〔〕角等于2∠E的補角，求∠BAE的大?。逜B∥CD〔〕3=

°．〔3〕由〔1〕、〔2〕，請你猜測：當兩平面鏡a、b的夾角∠3=°時，可以使任何射到平面鏡a上的光輝m，經(jīng)過平面鏡a、b的兩次反射后，入射光輝m與反射光輝n平行．你能說明原因嗎？〔4〕如圖3，兩面鏡子的夾角為α°〔0＜α＜90〕時，進入光輝與走開光線的夾角為β°〔0＜β＜90〕．試探索α與β的數(shù)量關系．直接寫出答案．．39．EF∥MN，一直角三角板如圖放置．∠ACB=90°．〔1〕如圖1，假設∠1=60°，那么∠2=度；38．實考據(jù)明，平面鏡反射光輝的規(guī)律是：射到平面鏡上的光輝和被反〔2〕如圖2，假設∠1=∠B﹣20°．那么∠2=度；射出的光輝與平面鏡所夾的銳角相等．如圖1，一束光輝m射到平面鏡〔3〕如圖3，延伸AC交直線MN于D，GH平分∠CGN，DK平分∠ADNa上，被a反射后的光輝為n，那么入射光輝m、反射光輝n與平面鏡a交GH于K，問∠GKD是否為定值，假設是求值，不是說明原因．所夾的銳角∠1=∠2．〔1〕如圖2，一束光輝m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射．假設被b反射出的光輝n與光輝m平行，且∠1=50°，那么∠2=°，∠3=°．〔2〕在〔1〕中m∥n，假設∠1=55°，那么∠3=°；假設∠1=40°，那么∠40．AD∥CE，點B為直線AD、CE所確定的平面內(nèi)一點．〔1〕如圖1所示，求證：∠ADB=∠B+∠BFE．〔2〕如圖2，F(xiàn)G平分∠BFE，DG交FG于點G交BF于點H，且∠BDG：∠ADG=2：1，∠B=20°，∠DGF=30°，求∠BHD的度數(shù)．1.〔﹣5，2〕或〔5，2〕;2.〔1，3〕或〔5，1〕3.B;4.〔8，3〕，〔5，0〕;5.〔8052，0〕6.〔2007，1〕7.45．8.〔4023，〕．9.〔5，﹣5〕．10.〔﹣5，13〕．11.〔14，10〕;12.〔32，3〕，〔64，0〕;13.〔﹣1009，1009〕七下平行線，平面直角坐標系壓軸題參照答案與試題解析一．填空題〔共13小題〕1．點M〔3，2〕與點N〔x，y〕在同一條平行于x軸的直線上，且點N到y(tǒng)軸的距離為5，那么點N的坐標為〔﹣5，2〕或〔5，2〕．【解析】根據(jù)點M〔3，2〕與點N〔x，y〕在同一條平行于x軸的直線上，可得點M的縱坐標和點N的縱坐標相等，由點N到y(tǒng)軸的距離為5，可得點N的橫坐標的絕對值等于5，進而可以求得點N的坐標．【解答】解：∵點M〔3，2〕與點N〔x，y〕在同一條平行于x軸的直線上，∴點M的縱坐標和點N的縱坐標相等．

y=2．∵點N到y(tǒng)軸的距離為5，|x|=5．得，x=±5．∴點N的坐標為〔﹣5，2〕或〔5，2〕．故答案為：〔﹣5，2〕或〔5，2〕．【點評】此題考察坐標與圖形的性質(zhì)，解題的重點是明確與x軸平行的直線上所有點的縱坐標相等，到y(tǒng)軸的距離是點的橫坐標的絕對值．2．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為〔2，0〕，點B的坐標為〔0，1〕，將線段AB平移，使其一個端點到C〔3，2〕，那么平移后另一端點的坐標為〔1，3〕或〔5，1〕．【解析】分兩種情況①當A平移到點C時，②當B平移到點C時，分別利用平移中點的變化規(guī)律求解即可．【解答】解：①如圖1，當A平移到點C時，3．如圖的坐標平面上有一正五邊形ABCDE，其中C、D兩點坐標分別為〔1，0〕、〔2，0〕．假設在沒有滑動的情況下，將此五邊形沿著x軸向右滾動，那么轉(zhuǎn)動過程中，經(jīng)過點〔75，0〕的是B〔填A、B、C、D或E〕．∵C〔3，2〕，A的坐標為〔2，0〕，點B的坐標為〔0，1〕，∴點A的橫坐標增大了1，縱坐標增大了2，平移后的B坐標為〔1，3〕，【解析】根據(jù)點〔75，0〕的橫坐標是5的倍數(shù)，而該正五邊形轉(zhuǎn)動5②如圖2，當B平移到點C時，次正好一周，由此可知經(jīng)過〔5，0〕的點經(jīng)過〔75，0〕，找到經(jīng)過〔5，0〕的點即可．【解答】解：∵C、D兩點坐標分別為〔1，0〕、〔2，0〕．∴按題中轉(zhuǎn)動方法點E經(jīng)過點〔3，0〕，點A經(jīng)過點〔4，0〕，點B經(jīng)過點〔5，0〕，∵C〔3，2〕，A的坐標為〔2，0〕，點B的坐標為〔0，1〕，∵點〔75，0〕的橫坐標是5的倍數(shù)，而該正五邊形轉(zhuǎn)動5次正好一周，∴可知經(jīng)過〔5，0〕的點經(jīng)過〔75，0〕，∴點B的橫坐標增大了3，縱坐標增大2，∴平移后的A坐標為〔5，1〕，∴點B經(jīng)過點〔75，0〕．故答案為：B．故答案為：〔1，3〕或〔5，1〕．【點評】此題考察坐標系中點、線段的平移規(guī)律，重點要理解在平面直【點評】此題考察了正多邊形和圓及坐標與圖形性質(zhì)，解題的重點是了角坐標系中，圖形的平移與圖形上某點的平移相同，進而經(jīng)過某點的變解正五邊形轉(zhuǎn)動5次正好一個輪回，并由此判斷經(jīng)過點〔75，0〕的點就是經(jīng)過〔5，0〕的點．化情況來解決問題．平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減．4．如圖，彈性小球從點P〔0，3〕出發(fā)，沿所示方向運動，每當小球碰到矩形OABC的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當小球第1次碰到矩形的邊時的點為P1，第2次碰到矩形的邊時的點為2，，第n次P碰到矩形的邊時的點為Pn，那么點P3的坐標是〔8，3〕；點P2021的坐標是〔5，0〕．【點評】此題主要考察了點的坐標的規(guī)律，作出圖形，察看出每6次反彈為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的重點．5．如圖，在直角坐標系中，點

A〔﹣3，0〕、B〔0，4〕，對△OAB【解析】根據(jù)反射角與入射角的定義作出圖形，可知每6次反彈為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2021除以6，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定所對應的點

連續(xù)作旋轉(zhuǎn)變換，依次獲得△1、△2、△3、△4，那么△2021的直角極點的坐標為〔8052，0〕．的坐標即可．【解答】解：如圖，經(jīng)過6次反彈后動點回到出發(fā)點〔0，3〕，當點P第3次碰到矩形的邊時，點P的坐標為：〔8，3〕；∵2021÷6=3354，∴當點P第2021次碰到矩形的邊時為第336個循環(huán)組的第4次反彈，點P的坐標為〔5，0〕．故答案為：〔8，3〕，〔5，0〕．

【解析】根據(jù)勾股定理列式求出AB的長，再根據(jù)第四個三角形與第一個三角形的地址相同可知每三個三角形為一個循環(huán)組依次循環(huán)，然后求出一個循環(huán)組旋轉(zhuǎn)前進的長度，再用2021除以3，根據(jù)商為671可知第2021個三角形的直角極點為循環(huán)組的最后一個三角形的極點，求出即可．【解答】解：∵點A〔﹣3，0〕、B〔0，4〕，∴AB==5，由圖可知，每三個三角形為一個循環(huán)組依次循環(huán)，一個循環(huán)組前進的長度為：4+5+3=12，∵2021÷3=671，∴△2021的直角極點是第671個循環(huán)組的最后一個三角形的直角極點，∵671×12=8052，∴△2021的直角極點的坐標為〔8052，0〕．故答案為：〔8052，0〕．【點評】此題是對點的坐標變化規(guī)律的考察了，難度不大，仔細察看圖形，獲得每三個三角形為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的重點，也是求解的難點．6．如圖，將邊長為1的正方形OAPB沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2021次，點P依次落在點P1，P2，P3，P4，，P2021的地址，那么P2021的坐標為〔2007，1〕．

【解析】根據(jù)圖形得出點的坐標變化規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律對2021變形，得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)規(guī)律P1〔1，1〕，P2〔2，0〕=P3，P4〔3，1〕，P5〔5，1〕，P6〔6，0〕=P7，P8〔7，1〕每4個一循環(huán)，可以判斷P2021坐標在502次循環(huán)后與P4坐標縱坐標一致，坐標應該是〔2007，1〕故答案為：〔2007，1〕【點評】此題主要考察了對正方形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)等知識點的理解和掌握，表達了由特殊到一般的數(shù)學方法，這一解答問題的方法在考察本節(jié)的知識點時經(jīng)常用到，是在研究特例的過程中總結(jié)規(guī)律．7．如圖，在平面直角坐標系中，有假設干個橫坐標分別為整數(shù)的點，其順序按圖中“→〞方向排列，如〔1，0〕，〔2，0〕，〔2，1〕，〔1，1〕，〔1，2〕，〔2，2〕根據(jù)這個規(guī)律，第2021個點的橫坐標為45．第2021個點是〔45，13〕，所以，第2021個點的橫坐標為45．故答案為：45．【點評】此題考察了點的坐標，察看出點個數(shù)與橫坐標的存在的平方關系是解題的重點．8．如圖，將邊長為2的等邊三角形沿x軸正方向連續(xù)翻折2021次，依【解析】察看圖形可知，以最外邊的矩形邊長上的點為準，點的總個數(shù)次獲得點P，P2，P．那么點P2021的坐標是〔，〕．等于x軸上右下角的點的橫坐標的平方，并且右下角的點的橫坐標是奇數(shù)時最后以橫坐標為該數(shù)，縱坐標為0結(jié)束，當右下角的點橫坐標是偶數(shù)時，以橫坐標為1，縱坐標為右下角橫坐標的偶數(shù)減1的點結(jié)束，根據(jù)此規(guī)律解答即可．【解答】解：根據(jù)圖形，以最外邊的矩形邊長上的點為準，點的總個數(shù)P1的坐標為〔，〕；在等邊三【解析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)易求得等于x軸上右下角的點的橫坐標的平方，1角形翻折的過程中，P點的縱坐標不變，而每翻折一次，橫坐標增加2比方：右下角的點的橫坐標為1，共有1個，1=12，右下角的點的橫坐標為2時，共有4個，4=22，個單位〔即等邊三角形的邊長〕，可根據(jù)這個規(guī)律求出點P2021的坐標．【解答】解：易得P1〔，〕；右下角的點的橫坐標為3時，共有9個，9=32，1而P1223，∴2〔，〕，〔，〕；3右下角的點的橫坐標為4時，共有16個，16=42，P=PP=2P3P5依此類推，Pn〔﹣，〕，即n〔﹣，〕；2n1+2n2P1當n=2021時，P2021〔，〕．右下角的點的橫坐標為n時，共有n2個，4023∵452，45是奇數(shù)，故答案為：〔4023，〕．=2025【點評】考察了規(guī)律型：點的坐標．解答此類規(guī)律型問題時，平時要根∴第2025個點是〔45，0〕，據(jù)簡單的條件獲得一般化規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律求特定的值．∴A20的坐標為〔5，﹣5〕，故答案為：〔5，﹣5〕．9．如圖，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，，〔每個正方形從【點評】此題考察坐標與圖形的性質(zhì)，解題重點是首先找出A20所在的第三象限的極點開始，按順時針方向序次，依次記為A1，A2，3，4；象限．AAA5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；〕的中心均在坐標原點O，各邊均與x軸或y軸平行，假設它們的邊長依次是2，4，6，那么極點A20的坐．如圖，在平面直角坐標系中，有假設干個整數(shù)點，其序次按圖中“→〞10標為〔5，﹣5〕．方向排列，如〔0，1〕，〔0，2〕，〔1，2〕，〔1，3〕，〔0，3〕，〔﹣1，3〕，根據(jù)這個規(guī)律探索可得，第90個點的坐標為〔﹣5，13〕．【解析】由=5易得A20在第四象限，根據(jù)4的坐標，8的坐標，12AAA的坐標不難推出A20的坐標．【解析】察看可知，縱坐標的數(shù)值與點的個數(shù)相等，然后求出第90個點【解答】解：∵=5，的縱坐標，以及在這一坐標中的序數(shù)，再根據(jù)縱坐標是奇數(shù)的從右到左∴A20在第四象限，計數(shù)，縱坐標是偶數(shù)的從左到右計數(shù)，然后解答即可．∵A4所在正方形的邊長為，【解答】解：〔0，1〕，共1個，24〔0，2〕，〔1，2〕，共2個，A的坐標為〔1，﹣1〕，同理可得：A8的坐標為〔2，﹣2〕，A12的坐標為〔3，﹣3〕，〔1，3〕，〔0，3〕，〔﹣1，3〕，共3個，，依此類推，縱坐標是n的共有n個坐標，1+2+3++n=，當n=13時，=91，所以，第90個點的縱坐標為13，〔13﹣1〕÷2=6，∴第91個點的坐標為〔﹣6，13〕，第90個點的坐標為〔﹣5，13〕．故答案為：〔﹣5，13〕．【點評】此題考察了點的坐標與規(guī)律變化問題，察看出縱坐標的數(shù)值與相應的點的坐標的個數(shù)相等是解題的重點．11．如下列圖，在平面直角坐標系中，有假設干個整數(shù)點，其序次按圖中箭頭方向排列，如〔1，0〕，〔2，0〕，〔2，1〕，〔3，2〕，〔3，1〕，〔3，0〕，，根據(jù)這個規(guī)律探索可得，第102個點的坐標為〔14，10〕．

【解析】應先判斷出第102個數(shù)在第幾行，第幾列，再根據(jù)解析獲得的規(guī)律求解．【解答】解：把第一個點〔1，0〕作為第一列，〔2，1〕和〔2，0〕作為第二列，依此類推，那么第一列有一個數(shù)，第二列有2個數(shù)，第n列有n個數(shù)．那么n列共有個數(shù)，并且在奇數(shù)列點的序次是由上到下，偶數(shù)列點的序次由下到上．因為105=1+2+3++14，那么第102個數(shù)一定在第14列，由下到上是第11個數(shù)．因而第102個點的坐標是〔14，10〕．故答案填：〔14，10〕．【點評】此題考察了學生閱讀理解并總結(jié)規(guī)律的能力，解決的重點是能正確找出題目中點的規(guī)律．12．如圖，在直角坐標系中，第一次將△OAB變換成△OA1B1，第二次將△OA1B1變換成△OA2B2，第三次將△OA2B2變換成△OA3B3：A〔1，3〕，A1〔2，3〕，A2〔4，3〕，A3〔8，3〕；B〔2，0〕，B1〔4，0〕，B2〔8，0〕，B3〔16，0〕．察看每次變換前后的三角形有何變化，按照變換規(guī)律，第五次變換后獲得的三角形A5的坐標是〔32，3〕，B5的坐標是〔64，0〕．【解析】尋找規(guī)律求解．【解答】解：A、A1、A2An都在平行于X軸的直線上，點的縱坐標都相等，所以A5的縱坐標是3；這些點的橫坐標有一定的規(guī)律：An=2n．因而點A5的橫坐標是25=32；B、B1、B2Bn都在x軸上，B5的縱坐標是0；這些點的橫坐標也有一定的規(guī)律：Bn=2n+1，因而點B5的橫坐標是B5=25+1=64．∴點A5的坐標是〔32，3〕，點B5的坐標是〔64，0〕．故答案分別是：〔32，3〕，〔64，0〕．【點評】考察X軸上的點的特點與平行于X軸的直線上點的特點．注意數(shù)形結(jié)合思想在此的應用，找到點的變化規(guī)律是解題的重點．13．如圖，在平面直角坐標系上有點A〔1，0〕，點A第一次向左跳動至點A1〔﹣1，1〕，第二次向右跳動至點A2〔2，1〕，第三次向左跳動至點

A3〔﹣2，2〕，第四次向右跳動點A4〔3，2〕，，依次規(guī)律跳動下去，點A第2021次跳動至點A2021的坐標是〔﹣，〕．．10091009【解析】根據(jù)圖形察看發(fā)現(xiàn)，第偶數(shù)次跳動至點的坐標，橫坐標是次數(shù)的一半加上1，縱坐標是次數(shù)的一半，奇數(shù)次跳動與該偶數(shù)次跳動的橫坐標的相反數(shù)加上1，縱坐標相同，然后寫出即可．【解答】解：察看發(fā)現(xiàn)，第2次跳動至點的坐標是〔2，1〕，第4次跳動至點的坐標是〔3，2〕，第6次跳動至點的坐標是〔4，3〕，第8次跳動至點的坐標是〔5，4〕，第2n次跳動至點的坐標是〔n+1，n〕，那么第2021次跳動至點的坐標是〔1010，1009〕，第2021次跳動至點A2021的坐標是〔﹣1009，1009〕．故答案為：〔﹣1009，1009〕．【點評】此題考察了坐標與圖形的性質(zhì)，以及圖形的變化問題，結(jié)合圖形獲得偶數(shù)次跳動的點的橫坐標與縱坐標的變化情況是解題的重點．二．解答題〔共27小題〕14．如圖，直線AB∥CD，直線EF分別與AB、CD相交于點E、F，F(xiàn)M平分∠EFD，點H是射線EA上一動點〔不與點E重合〕，過點H的直線交EF于點P，HM平分∠BHP交FM于點M．〔1〕如圖1，試說明：∠HMF=〔∠BHP+∠DFP〕；【解析】〔1〕根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，以及角平分線定義進行判請在以下解答中，填寫相應的原因：斷即可；解：過點M作MQ∥AB〔過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平〔2〕先根據(jù)HP⊥EF，AB∥CD，獲得∠EHP+∠DFP=90°，再根據(jù)〔1〕中行〕．結(jié)論即可獲得∠HMF的度數(shù)；∵AB∥CD〔〕，〔3〕先根據(jù)題意獲得∠NFQ=90°﹣∠FNQ，再根據(jù)FN平分∠HFE，F(xiàn)M平∴MQ∥CD〔如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互分∠EFD，即可得出∠HFD=2∠NFQ，最后根據(jù)∠EHF+∠HFD=180°，即可相平行〕得出∠EHF=2∠FNQ．∴∠1=∠3，∠2=∠4〔兩直線平行，內(nèi)錯角相等〕【解答】解：〔1〕由MQ∥CD，獲得∠1=∠3，∠2=∠4，其依據(jù)為：兩∴∠1+∠2=∠3+∠4〔等式的性質(zhì)〕直線平行，內(nèi)錯角相等；即∠HMF=∠1+∠2．由FM平分∠EFD，HM平分∠BHP，獲得∠1=∠BHP，∠2=∠DFP，∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP〔〕∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP〔角平分線定義〕其依據(jù)為：角平分線定義．故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；角平分線定義．∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=〔∠BHP+∠DFP〕〔等量代換〕．〔2〕如圖2，假設HP⊥EF，求∠HMF的度數(shù)；〔2〕如圖2，∵HP⊥EF，〔3〕如圖3，當點P與點F重合時，F(xiàn)N平分∠HFE交AB于點N，過點∴∠HPE=90°，N作NQ⊥FM于點Q，試說明無論點H在哪處都有∠EHF=2∠FNQ．∴∠EHP+∠HEP=180°﹣90°=90°〔三角形的內(nèi)角和等于180°〕又∵AB∥CD，∴∠HEP=∠DFP．∴∠EHP+∠DFP=90°．由〔1〕得：∠HMF=〔∠EHP+∠DFP〕=×90°=45°．〔3〕如圖3，∵NQ⊥FM，∴∠NFQ+∠FNQ=180°﹣90°=90°〔三角形的內(nèi)角和等于180°〕．∴∠NFQ=90°﹣∠FNQ．∵FN平分∠HFE，F(xiàn)M平分∠EFD，又∵∠NFQ=∠NFE+∠QFE=〔∠HFE+∠EFD〕=∠HFD，∴∠HFD=2∠NFQ．又∵AB∥CD，∴∠EHF+∠HFD=180°，∴∠EHF=180°﹣∠HFD=180°﹣2∠NFQ=180°﹣2〔90°﹣∠FNQ〕=2∠FNQ，即無論點H在哪處都有∠EHF=2∠FNQ．【點評】此題主要考察了平行線的性質(zhì)與判斷，角平分線的定義以及平

行公義的運用，解決問題的重點是掌握：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．15．如圖1，直線m∥n，點B、F在直線m上，點E、C在直線n上，連接FE并延伸至點A，連接BA和CA，使∠AEC=∠BAC．〔1〕求證：∠BFA+∠BAC=180°；〔2〕請在圖1中找出與∠CAF相等的角，并加以證明；〔3〕如圖2，連接BC交AF于點D，作∠CBF和∠CEF的角平分線交于點M，假設∠ADC=α，請直接寫出∠M的度數(shù)〔用含α的式子表示〕【解析】〔1〕根據(jù)平行線的性質(zhì)即可獲得∠AEC=∠AFM，再根據(jù)∠AEC=∠BAC，可得∠AFM=∠BAC，根據(jù)∠BFA+∠AFM=180°，可得結(jié)論；〔2〕根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)，即可獲得與∠CAF相等的角；〔3〕過D作DH∥BF，過M作MG∥BF，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可獲得∠CED=∠HDE，∠FBD=∠HDB，再根據(jù)∠CBF和∠CEF的角平分線交于點M，可得∠CEM+∠FBM=〔∠CED+∠FBD〕，進而獲得∠M的度數(shù)．【解答】解：〔1〕如圖1，∵直線m∥n，∴∠AEC=∠AFM，∵∠AEC=∠BAC，∴∠AFM=∠BAC，又∵∠BFA+∠AFM=180°，∴∠BFA+∠BAC=180°；〔2〕與∠CAF相等的角有：∠ANC，∠ABF，∠BNG．證明：∵∠AEC=∠BAC，∠ACE=∠NCA，∴∠CAE=∠ANC=∠BNG，∵m∥n，∴∠ABF=∠ANC，∴與∠CAF相等的角有：∠ANC，∠ABF，∠BNG；〔3〕如圖2，過D作DH∥BF，過M作MG∥BF，∵BF∥CE，∴DH∥BF∥CE，MG∥BF∥CE，∴∠CED=∠HDE，∠FBD=∠HDB，∴∠CED+∠FBD=∠EDB=180°﹣∠ADC=180°﹣α，

∵∠CBF和∠CEF的角平分線交于點M，∴∠CEM+∠FBM=〔∠CED+∠FBD〕=〔180°﹣α〕=90°﹣α，∵MG∥BF∥CE，∴∠CEM=∠GME，∠FBM=∠GMB，∴∠BME=∠GME+∠GMB=∠CEM+∠FBM=90°﹣α．【點評】此題主要考察了平行線的性質(zhì)的運用，解決問題的重點是作輔助線構造內(nèi)錯角，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．16．直線AB∥CD，M，N分別是AB，CD上的點．〔1〕假設E是AB，CD內(nèi)一點．①如圖甲所示，請寫出∠BME，∠DNE，∠MEN之間的數(shù)量關系，并證明．②如圖乙所示，假設∠1=∠BME，∠2=∠DNE，請利用①的結(jié)論探究∠F與∠MEN的數(shù)量關系．〔2〕假設E是AB，CD外一點．①如圖丙所示，請直接寫出∠EMB，∠END，∠E之間的數(shù)量關系．②如圖丁所示，∠BMP=∠EMB，在射線MP上找一點G，使得∠MGN=∠E，請在圖中畫出點G的大體地址，并求∠ENG：∠GND的值．【解析】〔1〕①過E作EF∥AB，構造內(nèi)錯角，依據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補進行推導，即可獲得∠BME+∠DNE+∠MEN=360°．②過F作FG∥AB，構造內(nèi)錯角，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可獲得∠MFN=∠1+∠2，再結(jié)合①的結(jié)論，即可得出3∠MFN+∠MEN=360°；〔2〕①過E作EF∥AB，構造內(nèi)錯角，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等進行推導計算，即可獲得∠DNE﹣∠BME=∠MEN；②設∠GMB=α，∠G=β，由∠BMP=∠EMB，∠G=∠E，可得∠EMQ=3α，∠E=4β，根據(jù)8字形構造獲得∠GNQ=3α+3β，根據(jù)三角形外角性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，獲得∠GND=∠1=α+β，據(jù)此可得∠ENG：∠GND的值．【解答】解：〔1〕①∠BME+∠DNE+∠MEN=360°．證明：如圖甲，過E作EF∥AB，

∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠BME+∠FEM=180°，∠DNE+∠FEN=180°，∴∠BME+∠FEM+∠DNE+∠FEN=180°+180°=360°，即∠BME+∠DNE+∠MEN=360°．②如圖乙，過F作FG∥AB，∵AB∥CD，∴FG∥CD，∴∠1=∠MFG，∠2=∠NFG，∴∠MFN=∠1+∠2，又∵∠1=∠BME，∠2=∠DNE，∴∠BME=3∠1，∠DNE=3∠2，又∵∠BME+∠DNE+∠MEN=360°，∴3∠1+3∠2+∠MEN=360°，即3∠MFN+∠MEN=360°；〔2〕①∠EMB，∠END，∠E之間的數(shù)量關系為：∠DNE﹣∠BME=∠MEN．原因如下：如圖丙，過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，

∵∠1是△GFM的外角，∴∠1=∠G+∠GMF=β+α，又∵AB∥CD，∴∠GND=∠1=α+β，∴∠ENG：∠GND=〔3α+3β〕：〔α+β〕=3．【點評】此題主要考察了平行線的性質(zhì)以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)的運用，過拐點作平行線，正確識圖，理清圖中各角度之間的關系是解決問題的重點．∴∠DNE=∠FEN，∠BME=∠FEM，17．，AB∥CD，點E為射線FG上一點．又∵∠FEN﹣∠FEM=∠MEN，〔1〕如圖1，假設∠EAF=30°，∠EDG=40°，那么∠AED=70°；∴∠DNE﹣∠BME=∠MEN；〔2〕如圖2，當點E在FG延伸線上時，此時CD與AE交于點H，那么∠②點G的大體地址如圖丁所示：AED、∠EAF、∠EDG之間知足怎樣的關系，請說明你的結(jié)論；〔3〕如圖3，DI平分∠EDC，交AE于點K，交AI于點I，且∠EAI：∠BAI=1：2，∠AED=22°，∠I=20°求∠，EKD的度數(shù)．設MG與NE交于點Q，NG與AB交于點F，設∠GMB=α，∠G=β，由∠BMP=∠EMB，∠G=∠E，可得∠EMQ=3α，∠E=4β，∵∠EQM=∠GQN，∴∠E+∠EMQ=∠G+∠GNQ，即∠GNQ=∠E+∠EMQ﹣∠G=4β+3α﹣β=3α+3β，【解析】〔1〕延伸DE交AB于H，依據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠D=∠AHE=40°，再根據(jù)∠AED是△AEH的外角，即可獲得∠AED=∠A+∠AHE=30°+40°=70°；〔2〕依據(jù)AB∥CD，可得∠EAF=∠EHC，再根據(jù)∠EHC是△DEH的外角，即可獲得∠EHG=∠AED+∠EDG，即∠EAF=∠AED+∠EDG；〔3〕設∠EAI=α，那么∠BAE=3α，進而得出∠EDK=α﹣2°，依據(jù)∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，可得3α=22+2°α﹣4°，求得∠EDK=16°，即可得出∠EKD的度數(shù)．【解答】解：〔1〕如圖，延伸DE交AB于H，∵AB∥CD，∴∠D=∠AHE=40°，∵∠AED是△AEH的外角，∴∠AED=∠A+∠AHE=30°+40°=70°，故答案為：70；〔2〕∠EAF=∠AED+∠EDG．原因：∵AB∥CD，∴∠EAF=∠EHC，∵∠EHC是△DEH的外角，∴∠EHG=∠AED+∠EDG，∴∠EAF=∠AED+∠EDG；

〔3〕∵∠EAI：∠BAI=1：2，∴設∠EAI=α，那么∠BAE=3α，∵∠AED=22°，∠I=20°，∠DKE=∠AKI，又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK=180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI=180°，∴∠EDK=α﹣2°，DI平分∠EDC，∴∠CDE=2∠EDK=2α﹣4°，∵AB∥CD，∴∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，即3α=22°+2α﹣4°，解得α=18，°∴∠EDK=16°，∴在△DKE中，∠EKD=180°﹣16°﹣22°=142°．【點評】此題主要考察了平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的綜合應用，解決問題的重點是作輔助線構造內(nèi)錯角，運用三角形外角性質(zhì)進行計算求解．解題時注意：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．18．小明在學習了“平行線的判斷和性質(zhì)〞知識后，對下面問題進行探究：在平面內(nèi)，直線AB∥CD，E為平面內(nèi)一點，連接BE、CE，根據(jù)點E的地址探究∠B和∠C、∠BEC的數(shù)量關系．〔1〕當點E分別在如以下列圖①、圖②和圖③所示的地址時，請你直接寫出三個圖形中相應的∠B和∠C、∠BEC的數(shù)量關系：圖①中：∠B+∠C=∠BEC；圖②中：∠B+∠C+∠BEC=360°，圖③中：∠C﹣∠B=∠BEC．〔2〕請在以上三個結(jié)論中選出一個你喜歡的結(jié)論加以證明．〔3〕運用上面的結(jié)論解決問題：如圖④，AB∥CD，BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，∠BEC=100°，∠BPC的度數(shù)是130°．〔直接寫出結(jié)果，不用寫計算過程〕【解析】〔1〕依據(jù)圖①、圖②和圖③所示的地址，直接寫出三個圖形中相應的∠B和∠C、∠BEC的數(shù)量關系即可；〔2〕過點E作EF∥AB，利用平行線的性質(zhì)，即可獲得∠B和∠C、∠BEC的數(shù)量關系；〔3〕由圖②的結(jié)論可得，∠ABE+∠DCE=360°﹣∠E=360°﹣100°=260°，再根據(jù)BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，可得∠PBE+∠PCE=130°，利用四邊形PCEB內(nèi)角和進行計算即可．【解答】解：〔1〕圖①：∠B+∠C=∠BEC；圖②：∠B+∠C+∠BEC=360°；

圖③：∠C﹣∠B=∠BEC．〔2〕選圖①證明：證明：過點E作EF∥AB，∵AB∥DC〔〕，EF∥AB〔輔助線的作法〕，∴EF∥DC〔平行于同一條直線的兩直線互相平行〕，∴∠C=∠CEF〔兩直線平行，內(nèi)錯角相等〕，∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF〔兩直線平行，內(nèi)錯角相等〕，∴∠B+∠C=∠CEF+∠BEF〔等式的性質(zhì)〕，即∠B+∠C=∠BEC．選圖②證明：證明：過點E作EF∥AB，∵AB∥DC〔〕，EF∥AB〔輔助線的作法〕，∴EF∥DC〔平行于同一條直線的兩直線互相平行〕，∴∠C+∠CEF=180°．〔兩直線平行，同旁內(nèi)角互補〕∵EF∥AB，∴∠B+∠BEF=180°．〔兩直線平行，同旁內(nèi)角互補〕，∴∠B+∠C+∠CEF+∠BEF=180°+180°=360°，即∠B+∠C+∠BEC=360°．選圖③證明：過點E作EF∥AB，∵AB∥DC〔〕，EF∥AB〔輔助線的作法〕，∴EF∥DC〔平行于同一條直線的兩直線互相平行〕，∴∠C=∠CEF〔兩直線平行，內(nèi)錯角相等〕，∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF〔兩直線平行，內(nèi)錯角相等〕，∴∠B﹣∠C=∠CEF﹣∠BEF〔等式的性質(zhì)〕，即∠B﹣∠C=∠BEC．〔3〕∠BPC的度數(shù)是130°．由圖②的結(jié)論可得，∠ABE+∠DCE=360°﹣∠E=360°﹣100°=260°，又∵BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，∴∠PBE+∠PCE=130°，∴四邊形PCEB中，∠BPC=360°﹣130°﹣100°=130°，故答案為：130°．

【點評】此題主要考察了平行線的性質(zhì)的運用，能正確作出輔助線是解此題的重點，注意：①兩直線平行，內(nèi)錯角相等，②兩直線平行，同位角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．19．如圖1，AC平分∠DAB，∠1=∠2．〔1〕試說明AB與CD的地址關系，并予以證明；〔2〕如圖2，當∠ADC=120°時，點E、F分別在CD和AC的延伸線上運動，試探討∠E和∠F的數(shù)量關系；〔3〕如圖3，AD和BC交于點G，過點D作DH∥BC交AC于點H，假設AC⊥BC，問當∠CDH為多少度時，∠GDC=∠ADH．【解析】〔1〕依據(jù)AC平分∠DAB，∠1=∠2，即可獲得∠2=∠BAC，進而判斷CD∥AB．〔2〕當∠ADC=120°時，∠1=∠2=30°，依據(jù)∠2是△CEF的外角，可得∠E+∠F=∠2=30°．〔3〕依據(jù)DH∥BC，AC⊥BC，可得DH⊥AC，進而獲得∠ADH=∠CDH，據(jù)此可適合∠GDC=∠ADH時，∠CDG=∠CDH=∠ADH，即可獲得∠CDH=×180°=60°．【解答】解：〔1〕如圖，∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠BAC，又∵∠1=∠2，∴∠2=∠BAC，∴CD∥AB．〔2〕當∠ADC=120°時，∠1=∠2=30°，∵點E、F分別在CD和AC的延伸線上運動，∴∠2是△CEF的外角，∴∠E+∠F=∠2=30°．〔3〕∵DH∥BC，AC⊥BC，∴DH⊥AC，又∵∠1=∠2，∴∠ADH=∠CDH，

∴當∠GDC=∠ADH時，∠CDG=∠CDH=∠ADH，∴∠CDH=×180°=60°．故當∠CDH為60度時，∠GDC=∠ADH．【點評】此題主要考察了平行線的判斷以及三角形外角性質(zhì)的運用，兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．即內(nèi)錯角相等，兩直線平行．20．直線AB∥CD．〔1〕如圖1，直接寫出∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關系為∠E=∠END﹣∠BME；〔2〕如圖2，∠BME與∠CNE的角平分線所在的直線相交于點P，試探究∠P與∠E之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論；〔3〕如圖3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直線MB、ND交于點F，那么=．【解析】〔1〕由AB∥CD，即可獲得∠END=∠EFB，再根據(jù)∠EFB是△MEF的外角，即可得出∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME；〔2〕由平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可獲得∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可獲得∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2〔∠PMA+∠CNP〕=180°，即可獲得∠E+2∠NPM=180°；〔3〕延伸AB交DE于G，延伸CD交BF于H，由平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可獲得∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE；依據(jù)∠CHB是△DFH的外角，即可獲得∠F=∠CHB﹣∠FDH=∠ABE﹣∠CDE=〔∠ABE﹣∠CDE〕，進而得出∠F=∠E．【解答】解：〔1〕如圖1，∵AB∥CD，

∴∠END=∠EFB，∵∠EFB是△MEF的外角，∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME，故答案為：∠E=∠END﹣∠BME；〔2〕如圖2，∵AB∥CD，∴∠CNP=∠NGB，∵∠NPM是△GPM的外角，∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，∵AB∥CD，∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即∠E+2〔∠PMA+∠CNP〕=180°，∴∠E+2∠NPM=180°；〔3〕如圖3，延伸AB交DE于G，延伸CD交BF于H，∵AB∥CD，∴∠CDG=∠AGE，∵∠ABE是△BEG的外角，∴∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE，①∵∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，∴∠ABM=∠ABE=∠CHB，∠CDN=∠CDE=∠FDH，∵∠CHB是△DFH的外角，∴∠F=∠CHB﹣∠FDH=∠ABE﹣∠CDE=〔∠ABE﹣∠CDE〕，②由①代入②，可得∠F=∠E，即．故答案為：．

【點評】此題主要考察了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義、三角形內(nèi)角和的運用，解決問題的重點是作輔助線構造同位角以及內(nèi)錯角，依據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)進行推導計算．21．如圖1，MN∥PQ，直線AD與MN、PQ分別交于點A、D，點B在直線PQ上，過點B作BG⊥AD，垂足為點G．〔1〕求證：∠MAG+∠PBG=90°；〔2〕假設點C在線段AD上〔不與A、D、G重合〕，連接BC，∠MAG和∠PBC的平分線交于點H，請在圖2中補全圖形，猜測并證明∠CBG與∠AHB的數(shù)量關系；〔3〕假設直線AD的地址如圖3所示，〔2〕中的結(jié)論是否成立？假設成立，請證明；假設不成立，請直接寫出∠CBG與∠AHB的數(shù)量關系．【解析】〔1〕依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可獲得∠MAG+∠PBG=90°；〔2〕分兩種情況議論：當點C在AG上時，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，2∠AHB﹣∠CBG=90°；當點C在DG上時，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，2∠AHB+∠CBG=90°；〔3〕分兩種情況議論：當點C在AG上時，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，2∠AHB+∠CBG=270°；當C在DG上時，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，2∠AHB﹣∠CBG=270°．【解答】解：〔1〕如圖1，∵MN∥PQ，∴∠MAG=∠BDG，∵∠AGB是△BDG的外角，BG⊥AD，∴∠AGB=∠BDG+∠PBG=90°，∴∠MAG+∠PBG=90°；〔2〕2∠AHB﹣∠CBG=90°或2∠AHB+∠CBG=90°，證明：①如圖，當點C在AG上時，∵MN∥PQ，∴∠MAC=∠BDC，∵∠ACB是△BCD的外角，∴∠ACB=∠BDC+∠DBC=∠MAC+∠DBC，∵AH平分∠MAC，BH平分∠DBC，∴∠MAC=2∠MAH，∠DBC=2∠DBH，

∴∠ACB=2〔∠MAH+∠DBH〕，同理可得，∠AHB=∠MAH+∠DBH，∴∠ACB=2〔∠MAH+∠DBH〕=2∠AHB，又∵∠ACB是△BCG的外角，∴∠ACB=∠CBG+90°，∴2∠AHB=∠CBG+90°，即2∠AHB﹣∠CBG=90°；②如圖，當點C在DG上時，同理可得，∠ACB=2∠AHB，又∵Rt△BCG中，∠ACB=90°﹣∠CBG，∴2∠AHB=90°﹣∠CBG，即2∠AHB+∠CBG=90°；〔3〕〔2〕中的結(jié)論不成立．存在：2∠AHB+∠CBG=270°；2∠AHB﹣∠CBG=270°．①如圖，當點C在AG上時，由MN∥PQ，可得：∴360°﹣2∠AHB=90°﹣∠CBG，∴2∠AHB﹣∠CBG=270°．【點評】此題考察了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義的運用，正確識圖并理清圖中各角度之間的關系是解題的重點，難點在于利用三角形外角性質(zhì)進行計算．∠ACB=360°﹣∠MAC﹣∠PBC=360°﹣2〔∠MAH+∠PBH〕，∠AHB=∠MAH+∠PBH，22．如圖，AB∥CD，CE、BE的交點為E，現(xiàn)作如下操作：∴∠ACB=360°﹣2∠AHB，第一次操作，分別作∠ABE和∠DCE的平分線，交點為E1，又∵∠ACB是△BCG的外角，第二次操作，分別作∠ABE1和∠DCE1的平分線，交點為E2，∴∠ACB=90°+∠CBG，第三次操作，分別作∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點為E3，，∴360°﹣2∠AHB=90°+∠CBG，即2∠AHB+∠CBG=270°；②如圖，當C在DG上時，第n次操作，分別作∠〔1〕如圖①，求證：∠

ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分線，交點為BEC=∠ABE+∠DCE；

En．〔2〕如圖②，求證：∠

BE2C=

∠BEC；同理可得，∠ACB=360°﹣2〔∠MAH+∠PBH〕，∠AHB=∠MAH+∠PBH，∴∠ACB=360°﹣2∠AHB，又∵Rt△BCG中，∠ACB=90°﹣∠CBG，

〔3〕猜測：假設∠En=α度，那∠BEC等于多少度？〔直接寫出結(jié)論〕．【解析】〔1〕先過E作EF∥AB，根據(jù)AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠B=∠1，∠C=∠2，進而獲得∠BEC=∠ABE+∠DCE；〔2〕先根據(jù)∠ABE和∠DCE的平分線交點為E1，運用〔1〕中的結(jié)論，得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=∠ABE+∠DCE=∠BEC；同理可得∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=∠ABE1+∠DCE1=∠CE1B=∠BEC；〔3〕根據(jù)∠ABE2和∠DCE2的平分線，交點為E3，得出∠BE3C=∠BEC；據(jù)此獲得規(guī)律∠En=∠BEC，最后求得∠BEC的度數(shù)．【解答】解：〔1〕如圖①，過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠BEC=∠1+∠2，∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；

∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3=∠ABE2+∠DCE2=∠CE2B=∠BEC；以此類推，∠En=∠BEC，∴當∠En=α度時，∠BEC等于2nα度．〔2〕如圖2，∵∠ABE和∠DCE的平分線交點為E1，【點評】此題主要考察了角平分線的定義以及平行線性質(zhì)：兩直線平行，∴由〔1〕可得，內(nèi)錯角相等的運用．解決問題的重點是作平行線構造內(nèi)錯角，解題時注∠CE1∠1∠∠∠∠；1ABE+DCE=B=ABE+DCE=BEC意：從一個角的極點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個∵∠ABE1和∠1的平分線交點為2，角的平分線．DCEE∴由〔1〕可得，∠BE2∠2∠2∠1∠1∠1∠；23．“一帶一路〞讓中國和世界更緊密，“中歐鐵路〞為了平安起見在某段C=ABE+DCE=ABE+DCE=CEB=BEC鐵路兩旁布置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖1所示，燈A射線從AM開始〔3〕如圖2，∵∠ABE和∠DCE2的平分線，交點為，順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立刻展轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便2E3立刻展轉(zhuǎn)，兩燈不停交錯照射巡視．假設燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度．假設主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．〔1〕填空：∠BAN=60°；〔2〕假設燈B射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達BQ從前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？〔3〕如圖2，假設兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達AN從前．假設射出的光束交于點C，過C作∠ACD交PQ于點D，且∠ACD=120°，那么在轉(zhuǎn)動過程中，請?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關系是否發(fā)生變化？假設不變，央求出其數(shù)量關系；假設改變，請說明原因．【解析】〔1〕根據(jù)∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，即可獲得∠BAN的度數(shù)；〔2〕設A燈轉(zhuǎn)動t秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進行議論：當0＜t＜90時，根據(jù)2t=1?〔30+t〕，可得t=30；當90＜t＜150時，根據(jù)1?〔30+t〕+〔2t﹣180〕=180，可得t=110；〔3〕設燈A射線轉(zhuǎn)動時間為t秒，根據(jù)∠BAC=2t﹣120°，∠BCD=120°﹣∠BCD=t﹣60°，即可得出∠BAC：∠BCD=2：1，據(jù)此可得∠BAC和∠BCD關系不會變化．

【解答】解：〔1〕∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，∴∠BAN=180°×=60°，故答案為：60；〔2〕設A燈轉(zhuǎn)動t秒，兩燈的光束互相平行，①當0＜t＜90時，如圖1，∵PQ∥MN，∴∠PBD=∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM=∠BDA，∴∠CAM=∠PBD2t=1?〔30+t〕，解得t=30；②當90＜t＜150時，如圖2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA=180°，∵AC∥BD，∴∠CAN=∠BDA∴∠PBD+∠CAN=180°∴1?〔30+t〕+〔2t﹣180〕=180，解得t=110，綜上所述，當t=30秒或110秒時，兩燈的光束互相平行；〔3〕∠BAC和∠BCD關系不會變化．原因：設燈A射線轉(zhuǎn)動時間為t秒，∵∠CAN=180°﹣2t，∴∠BAC=60°﹣〔180°﹣2t〕=2t﹣120°，又∵∠ABC=120°﹣t，∴∠BCA=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣t，而∠ACD=120°，∴∠BCD=120°﹣∠BCA=120°﹣〔180°﹣t〕=t﹣60°，∴∠BAC：∠BCD=2：1，即∠BAC=2∠BCD，∴∠BAC和∠BCD關系不會變化．【點評】此題主要考察了平行線的性質(zhì)以及角的和差關系的運用，解決

問題的重點是運用分類思想進行求解，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．24．，直線AB∥DC，點P為平面上一點，連接AP與CP．〔1〕如圖1，點P在直線AB、CD之間，當∠BAP=60°，∠DCP=20°時，求∠APC．〔2〕如圖2，點P在直線AB、CD之間，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，寫出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關系，并說明原因．〔3〕如圖3，點P落在CD外，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，∠AKC與∠APC有何數(shù)量關系？并說明原因．【解析】〔1〕先過P作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可獲得∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，再根據(jù)∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP進行計算即可；〔2〕過K作KE∥AB，根據(jù)KE∥AB∥CD，可得∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，進而獲得∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP=〔∠BAP+∠DCP〕=∠APC，進而獲得∠AKC=∠APC；〔3〕過K作KE∥AB，根據(jù)KE∥AB∥CD，可得∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，進而獲得∠AKC=∠AKE﹣∠CKE=∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP﹣∠DCP，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠BAK﹣∠DCK=∠BAP﹣∠DCP=〔∠BAP﹣∠DCP〕=∠APC，進而獲得∠AKC=∠APC．【解答】解：〔1〕如圖1，過P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°；〔2〕∠AKC=∠APC．原因：如圖2，過K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，過P作PF∥AB，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，∴∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP=〔∠BAP+∠DCP〕=∠APC，

∴∠AKC=∠APC；〔3〕∠AKC=∠APC．原因：如圖3，過K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，∴∠AKC=∠AKE﹣∠CKE=∠BAK﹣∠DCK，過P作PF∥AB，同理可得，∠APC=∠BAP﹣∠DCP，∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，∴∠BAK﹣∠DCK=∠BAP﹣∠DCP=〔∠BAP﹣∠DCP〕=∠APC，∴∠AKC=∠APC．【點評】此題主要考察了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義的運用，解決問題的重點是作平行線構造內(nèi)錯角，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等進行計算．25．直線AB∥CD．〔1〕如圖1，直接寫出∠ABE，∠CDE和∠BED之間的數(shù)量關系是∠ABE+∠CDE=∠BED．〔2〕如圖2，BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎樣的數(shù)量關系？請說明原因．〔3〕如圖3，點E在直線BD的右側(cè)，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，請直接寫出∠BFD和∠BED的數(shù)量關系2∠BFD+∠BED=360°．【解析】〔1〕首先作EF∥AB，根據(jù)直線AB∥CD，可得EF∥CD，所以∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，據(jù)此推得∠ABE+∠CDE=∠BED即可．〔2〕首先根據(jù)BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，推得∠ABF+∠CDF=〔∠ABE+∠CDE〕；然后由〔1〕，可得∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠BED=∠ABE+∠CDE，據(jù)此推得∠BFD=∠BED．〔3〕首先過點E作EG∥CD，再根據(jù)AB∥CD，EG∥CD，推得AB∥CD∥

【解答】解：〔1〕∠ABE+∠CDE=∠BED．原因：如圖1，作EF∥AB，∵直線AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，∴∠ABE+∠CDE=∠1+∠2=∠BED，即∠ABE+∠CDE=∠BED．故答案為：∠ABE+∠CDE=∠BED．〔2〕∠BFD=∠BED．原因：如圖2，∵BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，∴∠ABF+∠CDF=∠ABE+∠CDE=〔∠ABE+∠CDE〕，由〔1〕，可得∠BFD=∠ABF+∠CDF=〔∠ABE+∠CDE〕∠BED=∠ABE+∠CDE，∴∠BFD=∠BED．EG，所以∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，據(jù)此推得∠ABE+∠〔3〕2∠BFD+∠BED=360°．CDE+∠BED=360°；然后根據(jù)∠BFD=∠ABF+∠CDF，以及BF，DF分別平分原因：如圖3，過點E作EG∥CD，，∠ABE，∠CDE，推得2∠BFD+∠BED=360°即可．∵AB∥CD，EG∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，由〔1〕知，∠BFD=∠ABF+∠CDF，又∵BF，DF分別平分∠ABE，∠CDE，∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，∴∠BFD=〔∠ABE+∠CDE〕，∴2∠BFD+∠BED=360°．故答案為：2∠BFD+∠BED=360°．【點評】此題主要考察了平行線的性質(zhì)和應用，解答此題的重點是要明確：①定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．②定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．③定理3：兩

條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．26．AM∥CN，點B為平面內(nèi)一點，AB⊥BC于B．〔1〕如圖1，直接寫出∠A和∠C之間的數(shù)量關系∠A+∠C=90°；〔2〕如圖2，過點B作BD⊥AM于點D，求證：∠ABD=∠C；〔3〕如圖3，在〔2〕問的條件下，點E、F在DM上，連接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，假設∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度數(shù)．【解析】〔1〕根據(jù)平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進行證明即可；〔2〕先過點B作BG∥DM，根據(jù)同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠C=∠CBG，即可獲得∠ABD=∠C；〔3〕先過點B作BG∥DM，根據(jù)角平分線的定義，得出∠ABF=∠GBF，再設∠DBE=α，∠ABF=β，根據(jù)∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得〔2α+β〕+3α+〔3α+β〕=180°，根據(jù)AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程組即可獲得∠ABE=15°，進而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【解答】解：〔1〕如圖1，∵AM∥CN，由〔2〕可得∠ABD=∠CBG，∴∠C=∠AOB，∴∠ABF=∠GBF，∵AB⊥BC，設∠DBE=α，∠ABF=β，那么∴∠A+∠AOB=90°，∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠A+∠C=90°，∴∠AFC=3α+β，故答案為：∠A+∠C=90°；∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，〔2〕如圖2，過點B作BG∥DM，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得∵BD⊥AM，〔2α+β〕+3α+〔3α+β〕=180°，①∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，由AB⊥BC，可得又∵AB⊥BC，ββα，°②++2=90∴∠CBG+∠ABG=90°，由①②聯(lián)立方程組，解得α=15°，∴∠ABD=∠CBG，∴∠ABE=15°，∵AM∥CN，BG∥AM，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．∴CN∥BG，∴∠C=∠CBG，∴∠ABD=∠C；〔3〕如圖3，過點B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，

【點評】此題主要考察了平行線的性質(zhì)的運用，解決問題的重點是作平行線構造內(nèi)錯角，運用等角的余角〔補角〕相等進行推導．余角和補角計算的應用，經(jīng)常與等式的性質(zhì)、等量代換相關系．解題時注意方程思想的運用．27．如圖，直線AB∥CD，直線MN與AB，CD分別交于點M，N，ME，NE分別是∠AMN與∠CNM的平分線，NE交AB于點F，過點N作NG⊥EN交AB于點G．〔1〕求證：EM∥NG；〔2〕連接EG，在GN上取一點H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分線EP交AB于點P