河海大學(xué),材料力學(xué),課件,第4章,平面彎曲,力學(xué)課件

第四章平面彎曲§4-1概述一、平面彎曲的概念上述直梁的每一個(gè)橫截面，都有一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸，所有截面的對(duì)稱(chēng)軸組成一個(gè)平面。以彎曲為主要變形的桿——梁。若外力或外力偶作用在縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)，桿的軸線(xiàn)在此平面內(nèi)彎成一平面曲線(xiàn)——平面彎曲（對(duì)稱(chēng)彎曲）。縱向?qū)ΨQ(chēng)面軸線(xiàn)↑↑外力:外力或外力偶作用在包含軸線(xiàn)的平面內(nèi)。變形:軸線(xiàn)彎成曲線(xiàn)。橫截面繞垂直于軸線(xiàn)的軸轉(zhuǎn)動(dòng)。二、彎曲桿件內(nèi)力回顧彎曲桿件截面上的內(nèi)力——剪力和彎矩彎曲桿件內(nèi)力的計(jì)算方法——截面法彎矩的符號(hào)規(guī)定——使梁的下緣受拉為正，反之為負(fù)剪力的符號(hào)規(guī)定——剪力繞截面順時(shí)針轉(zhuǎn)為正，反之為負(fù)符號(hào)規(guī)定：M：MM∑MM彎矩與外力矩作用，凸向下（下面受拉）的彎矩為正,反之為負(fù)。繞截面順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)的剪力為正，反之為負(fù)。FS∑FFS∑FFS：剪力圖和彎矩圖：

以平行于梁軸線(xiàn)的坐標(biāo)為橫坐標(biāo)，其上各點(diǎn)表示截面的位置，以剪力或彎矩為縱坐標(biāo)，畫(huà)出剪力或彎矩隨截面位置不同而變化的圖線(xiàn)即為剪力圖或彎矩圖。正的剪力畫(huà)在橫坐標(biāo)的上方，正的彎矩畫(huà)在橫坐標(biāo)的下方（彎矩圖畫(huà)在梁的受拉一側(cè)）作剪力、彎矩圖的方法剪力：某一截面的剪力在數(shù)值上等于截面一側(cè)（左或右）梁段上所有外力的代數(shù)和。彎矩：某一截面的彎矩在數(shù)值上等于截面一側(cè)（左或右）梁段上所有外力對(duì)該截面形心的力矩的代數(shù)和。1、根據(jù)內(nèi)力方程作剪力、彎矩圖作剪力、彎矩圖的方法2、根據(jù)分布荷載集度與剪彩力、彎矩的關(guān)系作剪力、彎矩圖

dFs(x)/dx=q(x)

………………..（1）dM(x)/dx=Fs(x)

……………（2）d2M(x)/dx2=q(x)

…………….（3）3、疊加法作剪力、彎矩圖三、純彎曲和橫力彎曲ABCDF

PaaFFSFFMFa純彎曲：如圖CD段。剪切(橫力）彎曲：如圖AC段和BD段。§4－2梁橫截面上的正應(yīng)力1﹒幾何方面yzMM——中性層；（2）橫線(xiàn)：變形后仍為直線(xiàn)，但轉(zhuǎn)過(guò)一角度，并與縱線(xiàn)仍正交。（1）縱線(xiàn)：彎成弧線(xiàn)，上部縮短，下部伸長(zhǎng),中間有一層縱線(xiàn)既不伸長(zhǎng)，也不縮短——中性軸。中性層與橫截面的交線(xiàn)一、純彎曲梁的正應(yīng)力公式§4－2梁橫截面上的正應(yīng)力1﹒幾何方面MM——中性層；（2）橫線(xiàn)：變形后仍為直線(xiàn)，但轉(zhuǎn)過(guò)一角度，并與縱線(xiàn)仍正交。（1）縱線(xiàn)：彎成弧線(xiàn)，上部縮短，下部伸長(zhǎng),中間有一層縱線(xiàn)既不伸長(zhǎng)，也不縮短——中性軸。中性層與橫截面的交線(xiàn)一、純彎曲梁的正應(yīng)力公式中性層中性軸1.平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，與彎曲后的縱線(xiàn)正交；基本假設(shè)

1122MM2.單向受力假設(shè)：各縱向線(xiàn)（纖維）之間無(wú)擠壓。（對(duì)稱(chēng)軸）z(中性軸）yyρ——變形后中性層的曲率半徑。y——任一纖維到中性層的距離。dθ——m-m和n-n截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角。ba1212o1o2y中性層1122ρdθa'b'o'1o'2任一條纖維的線(xiàn)應(yīng)變?yōu)椋簓中性層1122ρdθa'b'o'1o'22.物理方面:yzEIz彎曲剛度3.靜力學(xué)方面:1=MEIzρzMyIσ=Sz=0——中性軸z通過(guò)橫截面的形心。Iyz=0——梁發(fā)生平面彎曲的條件。zydAyz說(shuō)明：(2)符號(hào)：①由M與y的符號(hào)確定σ的符號(hào)；②由彎曲變形確定。⑴線(xiàn)彈性。彎曲截面系數(shù)WZ=ymaxIzmaxmaxMyMIzWzσ==(3)

==①z軸為對(duì)稱(chēng)時(shí)：②

z軸為非對(duì)稱(chēng)時(shí):二、純彎曲理論的推廣例1：一簡(jiǎn)支梁及其所受荷載如圖所示。若分別采用截面面積相同的矩形截面，圓形截面和工字形截面,試求三種截面的最大拉應(yīng)力。設(shè)矩形截面高為140mm,寬為100mm,面積為14000mm2。

F＝20kNACB3ｍ3ｍ解：該梁C截面的彎矩最大，

Mmax=10×3=30kNm⑴矩形截面:F＝20kNACB3ｍ3ｍ⑵圓形截面⑶工字形截面。選用50C號(hào)工字鋼,其截面面積為13900mm2。

在承受相同荷載和截面面積相同時(shí)，工字梁所產(chǎn)生的最大拉應(yīng)力最小。反過(guò)來(lái)說(shuō)，如果使三種截面所產(chǎn)生的最大拉應(yīng)力相同時(shí)，工字梁所承受的荷載最大。因此，工字形截面最為合理，矩形截面次之，圓形截面最差。結(jié)論如下：§4-3彎曲切應(yīng)力1、兩點(diǎn)假設(shè):

（1）切應(yīng)力與橫截面的側(cè)邊平行（2）切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布一、矩形截面梁bhF2F1q(x)zyτhbFsτyτx=0τz=0bhFsFsmnnmMM+dMdxF2F1q(x)mndxdxmnyzab2、彎曲切應(yīng)力公式y(tǒng)——所求點(diǎn)距中性軸的距離。abFsFsmnnmMM+dMdxyFN1FN2dFy’mnσ’σ’’σdxmnyzabFN1FN2dFy`Fs——橫截面上剪力。Iz——整個(gè)橫截面對(duì)中性軸z軸的慣性矩。b——橫截面寬度。Sz*

——橫截面上距中性軸y處橫線(xiàn)一側(cè)截面對(duì)中性軸的面積矩。3、切應(yīng)力沿截面高度的分布ττmaxhzby＋－二、工字形截面梁腹板上的切應(yīng)力：Fs——橫截面上剪力。Iz——整個(gè)工字形截面對(duì)中性軸z的慣性矩。d——腹板寬度。Sz*

——距z軸y處橫線(xiàn)一側(cè)陰影部分截面對(duì)z的面積矩。τmaxy

zbhdδh1y翼緣腹板翼緣上既有豎直方向切應(yīng)力，又有水平方向的切應(yīng)力，它們都很小，很多情況下都可以不予考慮。切應(yīng)力公式的統(tǒng)一形式：三、圓形截面梁zτmaxydA四、薄壁圓環(huán)截面梁dR0δD例2：一T形截面外伸梁及其所受荷載如圖所示。試求最大拉應(yīng)力及最大壓應(yīng)力，并求出最大剪力截面復(fù)板上的切應(yīng)力分布圖。q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60yc=180解:⑴確定截面形心位置.(2)計(jì)算橫截面的慣性矩Iz

.Iz=186.6×106mm4(3)畫(huà)剪力圖和彎矩圖.q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60yc=180FS(kN)3050401.5m22.5M(kNm)1.5m40(4)計(jì)算最大拉、壓應(yīng)力.q＝20kN/mACB2m4mD280zy60220c60yc=18022.5M(kNm)1.5m40B截面：σtmax=21.4MPa,σcmax=38.6MPaD截面：σtmax=21.7MPa,σcmax=12.1MPa∴σtmax=21.7MPa，

發(fā)生在D截面的下邊緣各點(diǎn)處。σcmax=38.6Mpa，

發(fā)生在B截面的下邊緣各點(diǎn)處。（5）求出剪力最大截面腹板上的切應(yīng)力分布。Fsmax=50kN，B截面左側(cè)280zy60220c60yc=180280zy60220c60yc=1804.34MPa4.13MPa例3：一矩形截面外伸梁，如圖所示?，F(xiàn)自梁中1.2.3.4點(diǎn)處分別取四個(gè)單元體，試畫(huà)出單元體上的應(yīng)力，并寫(xiě)出應(yīng)力的表達(dá)式。qABl123l/4h/4l/44zbh解：(1)求支座反力:qABl123l/4h/4l/44(2)畫(huà)FS圖和M圖FSql/4ql/4ql/2ql/2MM3ql2/32ql2/32