第九章雙向方差

第九章方差分析（二）：

雙向方差分析第一節(jié)隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的兩因素方差分析隨機(jī)化區(qū)組設(shè)計(jì)(randomizedblockdesign)：將全部受試對(duì)象按某一個(gè)重要的屬性（即區(qū)組因素）分組，把條件最接近的a個(gè)受試對(duì)象分在同一個(gè)區(qū)組內(nèi)，然后用完全隨機(jī)的方法，將每個(gè)區(qū)組中的全部受試對(duì)象分配到a個(gè)組中去。例9.1采用隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)方案，以窩作為區(qū)組標(biāo)志，給斷奶后的小鼠喂以三種不同的營(yíng)養(yǎng)素A、B和C。四周后檢查各種營(yíng)養(yǎng)素組的小鼠所增體重（g）。資料見(jiàn)下表，試比較不同營(yíng)養(yǎng)素對(duì)小鼠體重增加的差別。

三種營(yíng)養(yǎng)素喂養(yǎng)四周后各小鼠所增體重（g）營(yíng)養(yǎng)素分組（i）按區(qū)組求和1（A）2（B）3（C）njXij

157.064.876.03197.8255.066.674.53196.1362.169.576.53208.1474.561.186.63222.2586.791.894.73273.2642.051.843.23137.0771.969.261.13202.2851.548.654.43154.5ni88824

Xij500.7523.4567.01591.1Xi62.665.370.966.3Xij232783.435459.142205.0110447.5

i區(qū)組（j）jj1.變異的分解

SS總=（Xij-X）2

=（Xij-Xi-Xj+X+Xi-X+Xj-X）2=（Xi-X）2+（Xj-X）2

+（Xij-Xi-Xj+X

）2ijijijijij===SS處理SS區(qū)組SS誤差其中：X=（Xij）/N，N=na

Xi=（Xij）/n，i=1，2，

···，aXj=（Xij）/a，j=1，2，

···，n總=N-1=（a-1）+（n-1）+(a-1)(n-1)ijji===處理區(qū)組誤差2.分析計(jì)算步驟（1）建立檢驗(yàn)假設(shè)和確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)H0：三種營(yíng)養(yǎng)素喂養(yǎng)的小鼠體重增量相等H1：三種營(yíng)養(yǎng)素喂養(yǎng)的小鼠體重增量不全相等=0.05（2）計(jì)算F值SS總=（Xij-X）2=Xij2-=110447.51-1591.12/24=4964.21

SS處理

=（Xi-X）2=ni（Xi-X）2=-

=(500.72+523.42+567.02)/8-1591.12/24=283.83

SS區(qū)組

=（Xj-X）2=（Xj-X）2=-

=（197.82+196.1+···+154.52)/3-1591.12/24=3990.31SS誤差=SS總-SS處理-SS區(qū)組=4964.21-283.83-3990.31=690.07ijijijiijji(Xij）

2ijNi(Xij）2

jn(Xij）

2ijN(Xij）2

iaj(Xij）

2ijN總=N-1=24-1=23處理=a-1=3-1=2區(qū)組=n-1=8-1=7誤差=(a-1)(n-1)=27=14MS處理=SS處理/

處理=283.83/2=141.92MS誤差=SS誤差/

誤差=690.07/14=49.29F=MS處理/

MS誤差=141.92/49.29=2.88（3）確定P值和作出推斷結(jié)論：

F0.05（2，14）=3.74，F(xiàn)=2.88<F0.05（2，14），P>0.05。在=0.05水準(zhǔn)上不拒絕H0，尚不能認(rèn)為三種營(yíng)養(yǎng)素喂養(yǎng)的小鼠體重增量有差別。區(qū)組間差別的檢驗(yàn)：H0：8個(gè)區(qū)組的小白鼠體重增量相等H1：8個(gè)區(qū)組的小白鼠體重增量不全相等=0.05MS區(qū)組=SS區(qū)組/

區(qū)組=3990.31/7=570.04F=MS區(qū)組/

MS誤差=570.04/49.29=11.56F0.05（7，14）=2.77，F(xiàn)0.01（7，14）=4.28，F(xiàn)=11.56>F0.01（7，14），P<0.01。在=0.05水準(zhǔn)上拒絕H0，接受H1，可以認(rèn)為8個(gè)區(qū)組的小白鼠體重增量不全相等。SPSS演示隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)資料的方差分析:例9.1

ViewVariable:ViewData:AnalyzeGeneralLinearModelUnivariate…DependentVariable:xFixedFactors:abModel…SpecifyModel:CustomBuildTerms:MaineffectsModel:abContinuePostHoc…PostHocTestsfor:a

EqualVariancesAssumed:S-N-KContinueOKUnivariateAnalysisofVariance第二節(jié)數(shù)據(jù)變換一.對(duì)數(shù)變換(logarithmtransformation)Y=lgX常用于：1）使服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的數(shù)據(jù)正態(tài)化。如生長(zhǎng)率、變化速度、抗體滴度等。2）使數(shù)據(jù)達(dá)到方差齊性，特別是各樣本的標(biāo)準(zhǔn)差與均數(shù)成比例時(shí)。例：為了診斷某種疾病需要測(cè)量一項(xiàng)指標(biāo)，現(xiàn)用4種不同的方式來(lái)測(cè)量這一指標(biāo)，以增加診斷的可靠性。表1是對(duì)4名健康人測(cè)得的數(shù)據(jù)。試檢驗(yàn)4種測(cè)量方式有無(wú)差異？表1用4種方式對(duì)4人測(cè)得的某指標(biāo)值測(cè)量方式A1A2A3A4對(duì)象123440000001500000100000001000002200013000300008500600034001600052007807201900550均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差39000004374928.6183759568.876505671.9987.5616.1表2表1資料的方差分析變異來(lái)源SSMSF臨界值測(cè)量方式間測(cè)量對(duì)象間誤差總4.5410131.4510134.29101310.281013339151.5110134.8310124.7710123.171.01F0.05=3.50表3經(jīng)對(duì)數(shù)變換后的數(shù)據(jù)測(cè)量方式A1A2A3A4對(duì)象12346.606.187.005.006.200.864.344.114.483.934.220.243.783.534.203.723.810.282.892.863.282.742.940.23均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差表4表2資料的方差分析變異來(lái)源SSMSF臨界值測(cè)量方式間測(cè)量對(duì)象間誤差總25.5622.731.701.13339157.580.570.1358.314.38F0.01=6.99F0.05=3.86二.平方根變換(squareroottransformation)Y=X常用于：1）使服從Poisson分布的計(jì)數(shù)資料正態(tài)化，如水中細(xì)菌數(shù)的分布、放射性物質(zhì)在單位時(shí)間內(nèi)放射的次數(shù)等。2）當(dāng)各樣本的方差與均數(shù)呈正相關(guān)時(shí)，可使數(shù)據(jù)達(dá)到方差齊性。例：下面的表1資料是3組小白鼠在注射某種同位素24h后脾臟蛋白質(zhì)中放射性強(qiáng)度的測(cè)定，試問(wèn)芥子氣和電離輻射對(duì)同位素進(jìn)入脾蛋白質(zhì)是否起抑制作用？表1小白鼠注射某種同位素后脾臟蛋白質(zhì)中放射性的測(cè)定窩別XY=X對(duì)照組芥子氣中毒組電離輻射組對(duì)照組芥子氣中毒組電離輻射組12345678910Xs23817671181076.88.816053476634.15.413031254522.62.91.732.831.002.652.452.653.322.833.162.652.530.4701.002.450.002.241.732.002.652.452.451.731.870.6741.001.730.001.731.001.412.242.002.241.411.480.468表2方差分析結(jié)果變異來(lái)源自由度SSMSFF0.01P處理間窩別間誤差總的2918295.63814.0200.48720.1462.8191.5580.027104.4157.706.013.60<0.01<0.01用LSD法進(jìn)行多重比較：LSD0.05/2=2.101=0.1542×0.02710LSD0.01/2=2.878=0.2112×0.02710表3處理組均數(shù)與對(duì)照組均數(shù)比較處理均數(shù)與對(duì)照組的差異P反變換為平方對(duì)照組芥子氣中毒組電離輻射組2.531.871.480.661.05<0.01<0.016.403.502.19三.倒數(shù)變換Y=X常用于數(shù)據(jù)兩端波動(dòng)較大的資料。1四.平方根反正弦變換(arcsinesquareroottransformation)X=sin-1X常用于服從二項(xiàng)分布的率或百分比的資料，如發(fā)病率、治愈率、病死率、有效率等。表1不同溫度對(duì)玫瑰花瓣形成率（%）的影響病員編號(hào)低溫（4-6oC）室溫（20-25oC）高溫（30-37oC）Psin-1

pPsin-1

pPsin-1

p12345總和均數(shù)40.034.034.034.534.539.2335.6735.6735.9735.97182.5136.5048.058.049.065.555.543.8549.6044.4354.0348.16240.0748.0149.036.040.016.015.044.4336.8739.2323.5822.79166.9033.38例：某醫(yī)學(xué)院病理生理教研組研究不同溫度對(duì)淋巴細(xì)胞玫瑰花瓣形成率的影響，結(jié)果見(jiàn)表1，試作方差分析和多重比較。表2方差分析結(jié)果變異來(lái)源自由度SSMSFF0.05P溫度間病人間誤差總的24814594.04583.866371.1331049.044297.0220.9746.396.400.454.463.84<0.05>0.05用q檢驗(yàn)法對(duì)各溫度的形成率進(jìn)行兩兩比較：Sd

=46.39/5=3.046將3個(gè)樣本均數(shù)從大到小依次排列，組次123均數(shù)48.0136.5033.38組別室溫低溫高溫表3兩兩比較計(jì)算表對(duì)比組兩均數(shù)之差標(biāo)準(zhǔn)誤q值組數(shù)q界值PA與BXA-XBSd=0.05=0.011與31與22與314.6311.513.123.0463.0463.0464.8033.7791.0243224.043.263.265.644.754.75<0.05<0.05>0.05第三節(jié)析因設(shè)計(jì)的方差分析如果試驗(yàn)所涉及的處理因素的個(gè)數(shù)2，當(dāng)各因素在試驗(yàn)中所處的地位基本平等，而且因素之間存在交互作用時(shí)，需選用析因設(shè)計(jì)(factorialdesign)。一.2×2析因設(shè)計(jì)例用A、B兩藥治療12名貧血病人，性別、年齡一致，隨機(jī)分成4組，治療后1個(gè)月測(cè)得血中紅細(xì)胞增加數(shù)（1012/L），結(jié)果如表，問(wèn)A、B兩藥的治療效果如何？?jī)伤幨欠翊嬖诮换バ?yīng)？A、B兩藥治療后病人紅細(xì)胞增加數(shù)（1012/L）A藥B藥用不用用不用2.12.22.00.91.11.01.31.21.10.80.90.7（1）建立檢驗(yàn)假設(shè)和確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)對(duì)于有重復(fù)的兩因素設(shè)計(jì)資料方差分析，可以作3個(gè)原假設(shè)。H0：A藥無(wú)效；或H0：B藥無(wú)效；或H0：A、B兩藥無(wú)交互作用。=0.05（2）計(jì)算F值1）列表計(jì)算各種X、X2。

A藥B藥用（i=1）不用（i=2）合計(jì)用（j=1）不用（j=2）合計(jì)X=6.3X2=13.25X=3.6X2=4.34X=9.9X2=17.59X=3.0X2=3.02X=2.4X2=1.94X=5.4X2=4.96X=9.3X2=16.27X=6.0X2=6.28X=15.3X2=22.552）校正數(shù)C=（X）2/n=15.32/12=19.513）總的離均差平方和SS總=X2-C

=22.55-19.51=3.044）總的處理離均差平方和

SS總處

==6.32/3+3.02/3+3.62/3+2.42/3-19.51=2.965）A藥的離均差平方和SSA

=（X）ij2nij-C（X）i2niiji-C=9.92/6+5.42/6-19.51=1.696）B藥的離均差平方和SSB

=（X）j2njj-C=9.32/6+6.02/6-19.51=0.917）A藥和B藥的交互作用SSAB

=SS總處

-SSA

-SSB

=2.96-1.69-0.91=0.368）誤差離均差平方和SS誤差

=SS總

-SS總處

=3.04-2.96=0.089）計(jì)算與上述各種離均差平方和相對(duì)應(yīng)的自由度總=n-1=12-1=11總處=（A的水平數(shù)×B的水平數(shù)）-1=2×2-1=3A=A的水平數(shù)-1=2-1=1B=B的水平數(shù)-1=2-1=1AB=總處-A-B=3-1-1=1誤差=總-總處=11-3=8

10）列方差分析表變異來(lái)源SSMSF臨界值總處理ABAB誤差總2.961.690.910.360.083.0431118111.690.910.360.013611.3（3）確定P值并作出推斷結(jié)論本例分析交互作用時(shí)，P<0.01，認(rèn)為交互作用有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。表明A因素處于不同水平時(shí)，B因素的作用是不同的，反之亦然。因此，不能籠統(tǒng)地分析A因素和B因素的作用。四種處理的樣本均數(shù)

A藥B藥用不用用不用2.11.21.00.8由此算出，在不用B藥時(shí)，A1-A2=1.2-0.8=0.4；用B藥時(shí)，A1-A2=2.1-1.0=1.1。即B藥能加強(qiáng)A藥的作用。同理，A藥能加強(qiáng)B藥的作用。本例中A、B兩藥的交互作用有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，實(shí)際上就是說(shuō)A、B兩藥同時(shí)用的效果更好，有協(xié)同作用。SPSS演示兩因素析因設(shè)計(jì)的方差分析：

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