第9章代數系統(tǒng)

第三部分代數結構主要內容代數系統(tǒng)----二元運算及其性質、代數系統(tǒng)和子代數半群與群----半群、獨異點、群環(huán)與域-----環(huán)、整環(huán)、域格與布爾代數----格、布爾代數1第九章代數系統(tǒng)主要內容二元運算及其性質一元和二元運算定義及其實例二元運算的性質代數系統(tǒng)代數系統(tǒng)定義及其實例子代數積代數代數系統(tǒng)的同態(tài)與同構29.1二元運算及其性質定義9.1設S為集合，函數f：SSS稱為S上的二元運算，簡稱為二元運算．S中任何兩個元素都可以進行運算，且運算的結果惟一．S中任何兩個元素的運算結果都屬于S，即S對該運算封閉．例9.1(1)自然數集合N上的加法和乘法是N上的二元運算，但減法和除法不是．(2)整數集合Z上的加法、減法和乘法都是Z上的二元運算，而除法不是．(3)非零實數集R*上的乘法和除法都是R*上的二元運算，而加法和減法不是．3實例(4)

設Mn(R)表示所有n階(n≥2)實矩陣的集合，即

則矩陣加法和乘法都是Mn(R)上的二元運算.(5)S為任意集合，則∪、∩、－、為P(S)上二元運算.(6)SS為S上的所有函數的集合，則合成運算為SS上二元運算.

4一元運算的定義與實例定義9.2設S為集合，函數f:S→S稱為S上的一元運算，簡稱一元運算.例2(1)求相反數是整數集合Z,有理數集合Q和實數集合R上的一元運算

(2)求倒數是非零有理數集合Q*,非零實數集合R*上一元運算

(3)求共軛復數是復數集合C上的一元運算

(4)在冪集P(S)上規(guī)定全集為S，則求絕對補運算~是P(S)上的一元運算.

(5)設S為集合，令A為S上所有雙射函數的集合，ASS，求一個雙射函數的反函數為A上的一元運算.(6)在n(n≥2)階實矩陣的集合Mn(R)上，求轉置矩陣是Mn(R)上的一元運算.5二元與一元運算的表示1．算符可以用?,?,·,,,等符號表示二元或一元運算，稱為算符.對二元運算?，如果x與y運算得到z，記做x?y=z對一元運算,x的運算結果記作x.2．表示二元或一元運算的方法:解析公式和運算表公式表示例設R為實數集合，如下定義R上的二元運算?：x,y∈R,x?y=x.那么3?4=3，0.5?(3)=0.56運算表：表示有窮集上的一元和二元運算

運算表

二元運算的運算表

一元運算的運算表7

例3

設S=P({a,b})，S上的和

～運算的運算表如下

運算表的實例8二元運算的性質定義9.3設?為S上的二元運算,(1)若對任意x,y∈S有x?y=y?x,則稱運算在S上滿足交換律.(2)若對任意x,y,z∈S有(x?y)?z=x?(y?z),則稱運算在S上滿足結合律.(3)若對任意x∈S有x?x=x,則稱運算在S上滿足冪等律.定義9.4設?和?為S上兩個不同的二元運算,(1)若對任意x,y,z∈S有(x?y)?z=(x?z)?(y?z)，z?(x?y)=(z?x)?(z?y),則稱?運算對?運算滿足分配律.(2)若和?都可交換,且對任意x,y∈S有x?(x?y)=x，x?(x?y)=x,則稱?和?運算滿足吸收律.9實例Z,Q,R分別為整數、有理數、實數集；Mn(R)為n階實矩陣集合,n2；P(B)為冪集；AA為從A到A的函數集，|A|2集合運算交換律結合律冪等律Z,Q,R普通加法+普通乘法有有有有無無Mn(R)矩陣加法+矩陣乘法有無有有無無P(B)并交相對補對稱差有有無有有有無有有有無無AA函數復合無有無10集合運算分配律吸收律Z,Q,R普通加法+與乘法對+可分配+對不分配無Mn(R)矩陣加法+與乘法對+可分配+對不分配無P(B)并與交對可分配對可分配有交與對稱差

對可分配無實例Z,Q,R分別為整數、有理數、實數集；Mn(R)為n階實矩陣集合,n2；P(B)為冪集；AA為從A到A的函數集，|A|211特異元素：單位元、零元定義9.5設?為S上的二元運算,(1)如果存在el(或er)S，使得對任意x∈S都有el?x=x(或x?er

=x)，則稱el(或er)是S中關于?運算的左(或右)單位元.若e∈S關于?運算既是左單位元又是右單位元，則稱e為S上關于?運算的單位元.單位元也叫做幺元.(2)如果存在

l(或

r)∈S，使得對任意x∈S都有

l?x=

l

(或x?

r

=r)，則稱

l(或

r)是S中關于?運算的左(或右)零元.若

∈S關于?運算既是左零元又是右零元，則稱為S上關于運算?的零元.12可逆元素和逆元(3)設?為S上的二元運算,令e為S中關于運算的單位元.對于x∈S，如果存在yl(或yr)∈S使得yl?x=e（或x?yr=e）則稱yl(或yr)是x的左逆元（或右逆元）.關于?運算，若y∈S既是x的左逆元又是x的右逆元，則稱y為x的逆元.如果x的逆元存在，就稱x是可逆的.13實例集合運算單位元零元逆元Z,Q,R普通加法+普通乘法01無0x逆元xx逆元x1(x1給定集合)Mn(R)矩陣加法+矩陣乘法n階全0矩陣n階單位矩陣無n階全0矩陣X逆元XX的逆元X1（X可逆）P(B)并交對稱差BB無的逆元為B的逆元為BX的逆元為X14惟一性定理定理9.1設?為S上的二元運算，el和er分別為S中關于運算的左和右單位元，則el

=er=e為S上關于?運算的惟一的單位元.證：el

=el?er

(er為右單位元)

el?er

=er

(el為左單位元)所以el=er

,將這個單位元記作e.假設e也是S中的單位元，則有e=e?e=e.惟一性得證.類似地可以證明關于零元的惟一性定理.注意：當|S|2，單位元與零元是不同的；(書定理9.3)當|S|=1時，這個元素既是單位元也是零元.15定理9.2設?為S上可結合的二元運算,e為該運算的單位元,對于x∈S如果存在左逆元yl

和右逆元yr,則有yl=yr=y,且y是x的惟一的逆元.證：由yl?x=e和x?yr

=e得yl

=yl?e=yl?(x?yr)=(yl?x)?yr=e?yr=yr令yl=yr=y,則y是x的逆元.假若yS也是x的逆元,則y=y?e=y?(x?y)=(y?x)?y=e?y=y所以y是x惟一的逆元.說明：對于可結合的二元運算，可逆元素x只有惟一的逆元，記作x1

惟一性定理169.2代數系統(tǒng)定義9.6非空集合S和S上k個一元或二元運算f1,f2,…,fk組成的系統(tǒng)稱為代數系統(tǒng),簡稱代數，記做<S,f1,f2,…,fk>.實例：(1)<N,＋>,<Z,＋,·>,<R,＋,·>是代數系統(tǒng)，+和·分別表示普通加法和乘法.(2)<Mn(R),＋,·>是代數系統(tǒng)，＋和·分別表示n階(n≥2)實矩陣的加法和乘法.(3)<Zn,,>是代數系統(tǒng)，Zn＝{0,1,…,n-1}，和分別表示模n的加法和乘法，對于x,y∈Zn，xy=(x＋y)modn，xy=(xy)modn(4)<P(S),,,~>是代數系統(tǒng)，和為并和交，~為絕對補17代數系統(tǒng)的成分與表示構成代數系統(tǒng)的成分：集合（也叫載體，規(guī)定了參與運算的元素）運算（這里只討論有限個二元和一元運算）代數常數（通常是與運算相關的特異元素：如單位元等）研究代數系統(tǒng)時，如果把運算具有它的特異元素也作為系統(tǒng)的性質之一，那么這些特異元素可以作為系統(tǒng)的成分，叫做代數常數.例如：代數系統(tǒng)<Z,+,0>：集合Z,運算+,代數常數0代數系統(tǒng)<P(S),∪,∩>：集合P(S),運算∪和∩，無代數常數??18代數系統(tǒng)的表示(1)列出所有的成分：集合、運算、代數常數（如果存在）如<Z,+,0>,<P(S),∪,∩>(2)列出集合和運算，在規(guī)定系統(tǒng)性質時不涉及具有單位元的性質（無代數常數）如<Z,+>,<P(S),∪,∩>(3)用集合名稱簡單標記代數系統(tǒng)在前面已經對代數系統(tǒng)作了說明的前提下使用如代數系統(tǒng)Z,P(B)19同類型與同種代數系統(tǒng)定義9.7(1)如果兩個代數系統(tǒng)中運算的個數相同，對應運算的元數相同，且代數常數的個數也相同，則稱它們是同類型的代數系統(tǒng).(2)如果兩個同類型的代數系統(tǒng)規(guī)定的運算性質也相同，則稱為同種的代數系統(tǒng).例如V1=<R,+,·,0,1>,V2=<Mn(R),+,·,,E>,為n階全0矩陣，E為n階單位矩陣,V3=<P(B),∪,∩,,B>V1,V2,V3是同類型的代數系統(tǒng)，它們都含有2個二元運算,2個代數常數.V1,V2是同種的代數系統(tǒng)，V1,V2與V3不是同種的代數系統(tǒng)20V1V2V3+可交換、可結合·可交換、可結合+滿足消去律·滿足消去律·對+可分配+對·不可分配+與·沒有吸收律+可交換、可結合·可交換、可結合+滿足消去律·不滿足消去律·對+可分配+對·不可分配+與·沒有吸收律∪可交換、可結合∩可交換、可結合∪不滿足消去律∩不滿足消去律∩對∪可分配∪對∩可分配∪與∩滿足吸收律運算性質比較21子代數系統(tǒng)定義9.8設V=<S,f1,f2,…,fk>是代數系統(tǒng)，B是S的非空子集，如果B對f1,f2,…,fk

都是封閉的，且B和S含有相同的代數常數，則稱<B,f1,f2,…,fk>是V的子代數系統(tǒng)，簡稱子代數.有時將子代數系統(tǒng)簡記為B.實例N是<Z,＋>的子代數，N也是<Z,＋,0>的子代數N{0}是<Z,＋>的子代數，但不是<Z,＋,0>的子代數說明：子代數和原代數是同種的代數系統(tǒng)對于任何代數系統(tǒng)V=<S,f1,f2,…,fk>，其子代數一定存在.22關于子代數的術語(1)最大的子代數：就是V本身(2)最小的子代數：如果令V中所有代數常數構成的集合是B，且B對V中所有的運算都是封閉的，則B就構成了V的最小的子代數(3)最大和最小的子代數稱為V的平凡的子代數(4)若B是S的真子集，則B構成的子代數稱為V的真子代數.例設V=<Z,+,0>,令nZ={nz|zZ},n為自然數，則nZ是V的子代數當n=1和0時，nZ是V的平凡的子代數，其他的都是V的非平凡的真子代數.23積代數定義9.9設V1=<A,?>和V2=<B,>是同類型的代數系統(tǒng)，?和為二元運算，在集合AB上如下定義二元運算?，<a1,b1>,<a2,b2>AB，有<a1,b1>?<a2,b2>=<a1?a2,b1b2>稱V=<AB,?>為V1與V2的積代數，記作V1V2.這時也稱V1和V2為V的因子代數.實例Z2={0,1}，V=<Z2,>，V1V2=<Z2Z2,?>Z2Z2={<0,0>,<1,0>,<0,1>,<1,1>}<0,1>?<1,0>=<0,0>

注意：積代數的定義可以推廣到具有多個運算的同類型的代數系統(tǒng)

24積代數的性質定理9.3設V1=<A,?>和V2=<B,>是同類型的代數系統(tǒng)，V1V2=<AB,?>是它們的積代數.(1)如果?和運算是可交換（可結合、冪等）的，那么?運算也是可交換（可結合、冪等）的(2)如果e1和e2（1和2）分別為?和運算的單位元（零元），那么<e1,e2>（<1,2>）也是?運算的單位元（零元）(3)如果x和y分別為?和運算的可逆元素，那么<x,y>也是?運算的可逆元素，其逆元就是<x1,y1>259.3代數系統(tǒng)的同態(tài)與同構定義9.10設V1=<A,°>和V2=<B,>是同類型的代數系統(tǒng)，f:AB，且x,yA有f(x°y)=f(x)f(y),則稱f是V1到V2的同態(tài)映射，簡稱同態(tài).同態(tài)分類：(1)f如果是單射，則稱為單同態(tài)(2)如果是滿射，則稱為滿同態(tài)，這時稱V2是V1的同態(tài)像，記作V1V2(3)如果是雙射，則稱為同構，也稱代數系統(tǒng)V1同構于V2，記作V1V2(4)如果V1=V2，則稱作自同態(tài)26實例(1)設V1=<Z,+>,V2=<Zn,>．其中Z為整數集，+為普通加法；Zn={0,1,…,n1}，為模n加.令f:Z→Zn，f(x)=(x)modn那么f是V1到V2的滿同態(tài)．(3)設V=<Z,+>，其中Z為整數集，+為普通加法.aZ，令fa:ZZ，fa(x)=ax，那么fa是V的自同態(tài).當a=0時稱f0為零同態(tài)；當a=1時，稱fa為自同構；除此之外其他的fa都是單自同態(tài).(2)設V1=<R,+>,V2=<R*,·>，其中R和R*分別為實數集與非零實數集，+和·分別表示普通加法與乘法．令f:R→R*，f(x)=ex則f是V1到V2的單同態(tài).27第九章習題課主要內容代數系統(tǒng)的構成：非空集合、封閉的二元和一元運算、代數常數二元運算性質和特異元素：交換律、結合律、冪等律、分配律、吸收律、單位元、零元、可逆元和逆元同類型的與同種的代數系統(tǒng)子代數的定義與實例積代數的定義與性質代數系統(tǒng)的同態(tài)與同構28基本要求判斷給定集合和運算能否構成代數系統(tǒng)判斷給定二元運算的性質求而二元運算的特異元素了解同類型和同種代數系統(tǒng)的概念了解子代數的基本概念計算積代數判斷函數是否為同態(tài)映射和同構映射29練習11．設°運算為Q上的二元運算，x,yQ,x°y=x+y+2xy,(1)判斷°運算是否滿足交換律和結合律，并說明理由.(2)求出°運算的單位元、零元和所有可逆元素的逆元.(1)°

運算可交換，可結合.任取x,yQ,

x°y=x+y+2xy=y+x+2yx=y°

x,任取x,y,zQ,(x°y)°z=(x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z

=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyzx°(y°z)=x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz

=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz30(2)設°運算的單位元和零元分別為e和，則對于任意x有x°e=x成立，即x+e+2xe=x

e=0由于°運算可交換，所以0是幺元.對于任意x有x°

=成立，即

x++2x=

x+2x

=0

=1/2給定x，設x的逆元為y,則有x°y=0成立，即x+y+2xy=0(x≠1/2)因此當x

1/2時，是x的逆元.解答