第六章相似原理

第六章

相似原理與應(yīng)用實(shí)際問(wèn)題的分析方法：理論方程：e.g.流速與流量的關(guān)系Q=v×A數(shù)值仿真：計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)方法：未知復(fù)雜問(wèn)題

量綱分析方法是一通過(guò)試驗(yàn)去探索事物規(guī)律的重要方法，特別是對(duì)那些很難從理論上進(jìn)行分析的復(fù)雜現(xiàn)象，更能顯示出該方法的優(yōu)越性。第一節(jié)量綱分析法一、單位與量綱單位（unit）：量度各種物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)量，稱(chēng)單位。如長(zhǎng)度單位為m或cm等?！傲俊钡谋碚?。量綱（dimension）：是指撇開(kāi)單位的大小后，表征物理量的性質(zhì)和類(lèi)別。如長(zhǎng)度量綱為[L]?！百|(zhì)”的表征。T:時(shí)間:小時(shí)、分、秒L:長(zhǎng)度：米、厘米、毫米M:質(zhì)量:噸、千克、克量綱誘導(dǎo)量綱：非獨(dú)立量綱基本量綱：獨(dú)立量綱L,M，T

一、單位與量綱誘導(dǎo)量綱P105-106量綱公式:

幾何學(xué)量綱：α≠0,β=0,γ=0，分類(lèi)運(yùn)動(dòng)學(xué)量綱：α≠0，β≠0，γ=0動(dòng)力學(xué)量綱：α≠0，β≠0，γ≠0

無(wú)量綱數(shù)（純數(shù)，如雷諾準(zhǔn)數(shù)）：

α=0,β=0,γ=0.即[x]=[1]。

特點(diǎn):（1）無(wú)量綱單位，它的大小與所選單位無(wú)關(guān)；

（2）具有客觀性；

（3）在超越函數(shù)（對(duì)數(shù)、指數(shù)、三角函數(shù)）運(yùn)算中，均應(yīng)無(wú)量綱數(shù).

問(wèn)題１：速度v，長(zhǎng)度l，重力加速度g的無(wú)量綱集合是：A.B.ＣD.

答案：Ｄ問(wèn)題２：

速度v,密度ρ,壓強(qiáng)p的無(wú)量綱集合是：

ＡＢＣＤ

答案：Ｄ問(wèn)題３：

速度v,l,時(shí)間t的無(wú)量綱集合是：A.

B.ＣＤ

答案：Ｄ問(wèn)題４：壓強(qiáng)△p,密度ρ,長(zhǎng)度l,流量Q的無(wú)量綱集合ＡＢＣＤ

答案：Ａ

二、量綱和諧原理

量綱和諧原理（theoryofdimensionalhomogeneity）：凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其各項(xiàng)的量綱都必須是一致的，即只有方程兩邊量綱相同，方程才能成立。這稱(chēng)為量綱和諧原理。

量綱和諧原理的重要性：a.一個(gè)方程在量綱上應(yīng)是和諧的，所以可用來(lái)檢驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)公式的正確性和完整性。

b.量綱和諧原理可用來(lái)確定公式中物理量的指數(shù)。

c.可用來(lái)建立物理方程式的結(jié)構(gòu)形式。

判斷：只有量綱相同的項(xiàng)才可以相加減。答案：對(duì)

三、量綱分析法

最常見(jiàn)的方法：雷利法

是量綱和諧原理的直接應(yīng)用，其步驟為：①確定與所研究的物理現(xiàn)象有關(guān)的n個(gè)物理量；②寫(xiě)出各物理量之間的指數(shù)乘積的形式，如：

③根據(jù)量綱和諧原理,即等式兩端的量綱應(yīng)該相同,確定物理量的指數(shù)x,y,z,a,代入指數(shù)方程式即得各物理量之間的關(guān)系式。應(yīng)用范圍:一般情況下要求,相關(guān)變量未知數(shù)n小于等于4~5個(gè)。例子：課本106頁(yè)第二節(jié)相似性與相似模擬原型：天然水流和實(shí)際建筑物稱(chēng)為原型。模型：通常把原型（實(shí)物）按一定比例關(guān)系縮小（或放大）的代表物，稱(chēng)為模型。模型和原型保證流動(dòng)相似,應(yīng)滿(mǎn)足：幾何相似運(yùn)動(dòng)相似動(dòng)力相似初始條件和邊界條件相似1.幾何相似

幾何相似：指原型和模型兩個(gè)流場(chǎng)的幾何形狀相似，即原型和模型及其流動(dòng)所有相應(yīng)的線(xiàn)性變量的比值均相等。

長(zhǎng)度比尺：

面積比尺：

體積比尺：2.

運(yùn)動(dòng)相似

運(yùn)動(dòng)相似：是指流體運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)相似，也即兩流場(chǎng)各相應(yīng)（包括邊界上各點(diǎn)）的速度u及加速度a方向相同，且大小各具有同一比值。

速度比尺：

加速度比尺：

3.動(dòng)力相似

動(dòng)力相似：是指兩流動(dòng)各相應(yīng)點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)所受的同名力方向相同，其大小比值相等。

力的比尺：

4.初始條件和邊界條件的相似

初始條件：適用于非恒定流。邊界條件：有幾何、運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力三個(gè)方面的因素。如固體邊界上的法線(xiàn)流速為零,自由液面上的壓強(qiáng)為大氣壓強(qiáng)等

。第三節(jié)相似理論一、相似第一定律該定律規(guī)定了相似的必要條件，即相似現(xiàn)象必須具有的性質(zhì)。定律：在相似的諸現(xiàn)象中，各相似準(zhǔn)則數(shù)相等，或者說(shuō)，在相似現(xiàn)象中，相似指標(biāo)等于1。舉例說(shuō)明012012物體A，B的相似運(yùn)動(dòng)假設(shè)物體A、B各沿幾何相似的路徑作相似運(yùn)動(dòng)，如圖所示。既然A，B運(yùn)動(dòng)相似，故在相應(yīng)的點(diǎn)0，1，2。。。其速度必成比例，即：

設(shè)，由0到1所需時(shí)間分別為和，由1到2所需時(shí)間為和，它們也都成比例AB由于運(yùn)動(dòng)的幾何路徑相似，故從0點(diǎn)到1點(diǎn)的位移，由1到2點(diǎn)的位移。。。。也都成比例，即：任何物體的運(yùn)動(dòng)，其瞬間的速度都可以用如下微分方程來(lái)描述：故，對(duì)于物體A，其運(yùn)動(dòng)方程為：對(duì)于物體B，其運(yùn)動(dòng)方程為：這說(shuō)明，在相似的兩個(gè)現(xiàn)象A和B中，他們物理量之間的乘積在系統(tǒng)的相應(yīng)點(diǎn)和相應(yīng)時(shí)間上必然相等，即這就是兩個(gè)現(xiàn)象相似準(zhǔn)則顯然，要保持相似，就必須在一個(gè)系統(tǒng)所有點(diǎn)上，以相同的倍數(shù)放大或縮小，因而，相似系數(shù)在相似系統(tǒng)的所有點(diǎn)上都保持恒定的數(shù)值，故有時(shí)候稱(chēng)其為相似常數(shù)。然而，當(dāng)一個(gè)相似現(xiàn)象被另外一個(gè)相似現(xiàn)象取代時(shí)，其相似常數(shù)改變?yōu)榱硗庖粋€(gè)值。如：三角形A和B相似，其三個(gè)邊必須以相同倍數(shù)放大或縮小。當(dāng)與三角形C相似時(shí)，又放大或縮小另外的倍數(shù)。相似準(zhǔn)則數(shù)是用系統(tǒng)A中某點(diǎn)上的物理量組成的無(wú)因次數(shù)表示。這個(gè)無(wú)因次數(shù)在不同點(diǎn)上具有不同的值，當(dāng)系統(tǒng)A變換到系統(tǒng)B時(shí)，其相應(yīng)點(diǎn)上的無(wú)因次數(shù)保持恒定相同。2.相似第二定律凡具有同一現(xiàn)象，當(dāng)單值性條件彼此相似，且由單值性條件的物理量組成的相似準(zhǔn)則（決定性準(zhǔn)則）在數(shù)值上相等，則這些現(xiàn)象必定相似。單值性條件、決定性準(zhǔn)則同一方程描述的現(xiàn)象稱(chēng)之為同一特性的現(xiàn)象。方程確定了整個(gè)現(xiàn)象的進(jìn)程，共同的規(guī)律，數(shù)學(xué)上叫“通解”，適合所有時(shí)間，地點(diǎn)與進(jìn)程。通解具體化到個(gè)別現(xiàn)象上，就必須給方程加上原始的或限制性條件，對(duì)系統(tǒng)加以限制這些附加的，特點(diǎn)的限制條件與現(xiàn)象進(jìn)程無(wú)關(guān)，稱(chēng)為單值性條件單值條件幾何條件－流體管道流動(dòng)中管道直徑、長(zhǎng)度等幾何條件物理?xiàng)l件－物性參數(shù)，如流體粘性系數(shù)，熱導(dǎo)系數(shù)等；邊界條件－表征邊界性質(zhì)的物理量。第一類(lèi)：給出已知函數(shù)；第二類(lèi)：邊界法向?qū)?shù)第三類(lèi)：質(zhì)量或能量的交換規(guī)律初始條件：用于不穩(wěn)定的物理現(xiàn)象，表征初始條件對(duì)以后發(fā)展過(guò)程的約束條件。對(duì)于定常，初始條件失去意義。決定性單值條件單值性條件是唯一確定的，有時(shí)為了強(qiáng)調(diào)其對(duì)描述物理現(xiàn)象的決定性影響，也稱(chēng)為決定性單值條件。決定性量－－決定性單值條件中的物理量找到所有相似準(zhǔn)則中決定性準(zhǔn)則；決定性準(zhǔn)則是相似的前提，其它相似準(zhǔn)則是其相似的必然結(jié)果。相似準(zhǔn)則例題－流體流動(dòng)非定常不可壓縮粘性流體的絕熱流動(dòng)中，可以用N－S方程描述（X方向）相似變換描述不可壓縮粘性絕熱流體相似準(zhǔn)則為：表示兩個(gè)不穩(wěn)定流動(dòng)在流速對(duì)時(shí)間關(guān)系上是否相似，反應(yīng)的是流體不穩(wěn)定程度表示流體的粘性力與慣性力比；反應(yīng)的是粘性力對(duì)流動(dòng)的影響表示流體的慣性力與重力比，反應(yīng)重力對(duì)流動(dòng)的影響；流體壓力對(duì)慣性力比；反應(yīng)壓力對(duì)流動(dòng)的影響相似準(zhǔn)則例題－物體受力運(yùn)動(dòng)服從牛頓第二定律相似變換：則有：相似