第七講多元回歸模型的延伸

多元線性回歸模型的延伸1、過原點回歸2、尺度與測量單位3、回歸模型的函數(shù)形式4、彈性測度：對數(shù)線性模型5、半對數(shù)模型6、倒數(shù)模型7、函數(shù)形式一覽表8、隨機誤差項的性質(zhì)注記1、過原點回歸

在雙變量模型中不出現(xiàn)截距或者為零.其形式為:

模型的特點:

（1）對有截距項的模型說總有,但對過原點回歸不一定成立。（2）過原點回歸的判定系數(shù)不一定非負。例題：證券組合的溢價問題

采用模型為：=第i種證券的期望回報率=市場組合證券的期望回報率=無風(fēng)險回報率=Beta系數(shù)，指不能通過分散而消除的系統(tǒng)風(fēng)險。在應(yīng)用中通常表示為：

如果資本市場有效運行，則CAPM要求：證券I的期望風(fēng)險溢價等于期望市場風(fēng)險溢價乘以該證券的系數(shù)。模型（1.1)的系數(shù)估計先把(1.1)寫成：利用OLS法，得到的如下公式：其中估計為：與含有截距項模型公式的比較

后者是：其差異：1.沒截距項的，用粗或原生平方和及交叉乘積和，有截距項的用偏離均值平方和及交叉和。2.計算時，前者自由度是(n-1),而后者是(n-2)。過原點回歸模型的不含有截距項的計算：注意：1.計算時數(shù)據(jù)不經(jīng)過校正；2.滿足關(guān)系，但不同于；3.應(yīng)用時采用有截距項為好，否則會犯設(shè)定的錯誤。組合證券理論的特征線給出有截距和無截距項的模擬例子，模型為：模擬結(jié)果為：結(jié)果的差異：1.過原點回歸模型中估計出來的的標準差略低，說明若截距響確實為0,測算的斜率系數(shù)為準確一些2.過原點無截距回歸的斜率系數(shù)95%置信區(qū)間是(0.6566,1.5232)，而有截距的置信區(qū)間是(0.5195,1.6186)。即前者比后者狹窄些。3.注意：(1.12)的和(1.13)的是不能直接比較的。

2、尺度與測量單位選擇不同的計量單位對回歸結(jié)果有何影響？設(shè)模型為：使用變量、的回歸：由最小二乘理論得：接上面的公式把OLS法應(yīng)用于(2.4)得：它們之間的關(guān)系利用前面的定義可得：例題從前面的6個關(guān)系知，這種變換并不影響OLS估計量的性質(zhì)。1.GPDI和GNP都以10億美元計算得：

2.GPDI和GNP都以百萬美元計算得：

續(xù)前GPDI以10億美元而GNP以百萬美元計得：GDPI以百萬美元而GNP以10億美元計得：“坐立不安”讓人苗條

科學(xué)家最近發(fā)現(xiàn)了保持苗條身材的奧妙。如果一個人平時閑不住，小動作很多，日常消耗的熱量就多，就能保持較瘦的身材。美國梅歐醫(yī)院的研究人員請來20位志愿者，進行為期一年的研究。志愿者分成兩組，一組較瘦，另一組輕度肥胖。所有志愿者都穿上一種帶有傳感器的特制內(nèi)衣，內(nèi)衣里的裝置每隔半秒鐘記錄一次人體的姿態(tài)與活動。志愿者照常進行他們的日常工作和生活，所有食物有研究人員提供。

研究人員發(fā)現(xiàn)，輕度肥胖者更喜歡坐著，而身材苗條的一組則閑不住。瘦人組平均每天“坐立不安”的時間比胖人組多出兩個多小時，相當于多消耗350卡熱。如果胖人組也這么不“消?！钡脑?，一年下來完全可以減輕14-18磅的體重。

此外研究人員還發(fā)現(xiàn)，一個人喜動還是喜靜似乎是天生的，與他們的體重無關(guān)。在第二個研究階段，讓瘦人多吃1000卡熱量，胖人少吃1000卡熱量，他們的生活習(xí)慣并沒有因此變化。這項研究為肥胖者提供了新的希望。樂觀與悲觀的秘密著名劇作家奧斯卡.王爾德猜測:樂觀主義者和悲觀主義者用不同的方式觀看這個世界。心理學(xué)家現(xiàn)在證實他的這一猜測是正確的。心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，悲觀主義者眼睛往下看，他們的大腦工作的更好；樂觀主義者眼睛向上看時，他們的大腦會轉(zhuǎn)的更快。這一發(fā)現(xiàn)表明，因痛苦而引起的典型的畏怯表情確實會對人起作用，他們也許有悲觀的思想，但是如果他們抬頭向上看的話，就不會那么悲觀的思考問題了；而人老是低著頭的話，就會更加悲觀的進行思考。領(lǐng)導(dǎo)這一研究的北達科他州大學(xué)心理學(xué)家布賴恩.邁耶說，更重要的是，這一研究提出了診斷和治療這種憂郁情緒的新方法。憂郁是最普遍而又令人最容易衰弱的心理疾病之一，5個人中就有一個人的生活受到這種情緒的影響。在研究中，研究人員對志愿者進行了測試，結(jié)果暗示了這種關(guān)系的來源。邁耶說：“這一研究認為，只需勸說這樣的人改變一下習(xí)慣，將目光稍稍抬高一點，就會大大減輕憂郁情緒。”3、回歸模型的函數(shù)形式對數(shù)線性模型半對數(shù)線性模型倒數(shù)模型4、彈性測度：對數(shù)線性模型指數(shù)回歸模型：取對數(shù)變換得：改寫成雙對數(shù)模型：對數(shù)-對數(shù)模型，或雙對數(shù)模型，對數(shù)—線性模型設(shè)、得如下模型：

利用OLS，估計量和將分別是和的最優(yōu)線無偏估計量。雙對數(shù)模型的特點：1.是斜率系數(shù)測度了Y對X的彈性2.Y與X之間的彈性系數(shù)在整個范圍內(nèi)保持不變；3.和分別是和的無偏估計量，但進入原始模型的估計的反對數(shù)卻是一個有偏的估計量。例題，某問題采用雙對數(shù)型模型擬合結(jié)果如下:變量Y對變量X的彈性E定義為:5、半對數(shù)模型線性到對數(shù)模型1.復(fù)利公式:2.對(5.1)取對數(shù)得:3.假設(shè)4.把(5.2)改寫為:5.在(5.3)加干擾項得:6.象(5.4)形式的模型叫半對數(shù)模型。因變量取對數(shù)的模型叫做線性到對數(shù)模型半對數(shù)回歸模型中，斜率系數(shù)（回歸系數(shù)）度量了當給定自變量取值的絕對變化量時，因變量Y的恒定比例或相對變化量用半對數(shù)模型模擬結(jié)果如下：回歸模型說明：1972～1991年期間美國實際GDP每年增長2.469%。取8.0139的反對數(shù)得到1972年初始值估計值為30227億美元。要計算復(fù)合增長率，只需要對0.02469查反對數(shù)，再減去1,則得到0.02499,即1972～1991年的復(fù)合增長率約為每年2.499%。這一增長率略高于2.469%的瞬時增長率。圖6-41972～1991年美國實際GDP的增長率：半對數(shù)模型線性趨勢模型模型為：注：不做對數(shù)Y對時間的回歸，而是做Y對時間的回歸。利用某數(shù)據(jù)模擬回歸結(jié)果如下：比較可知，增長模型4.5.5反映的是因變量隨時間變化而發(fā)生的相對變化率，線性趨勢模型則反映了因變量隨時間變化而發(fā)生的絕對變化量。對數(shù)到線性模型模型形式為：斜率系數(shù)的意義：另一表達式為：某例的數(shù)據(jù)的回歸結(jié)果如下：因變量取對數(shù)的半對數(shù)模型I與自變量取對數(shù)的半對數(shù)模型Ⅱ的區(qū)別半對數(shù)模型I反映自變量的絕對量變化一個單位時，因變量變化的百分比；半對數(shù)模型Ⅱ反映自變量變化一個百分比時，因變量的絕對變化量。6、倒數(shù)模型倒數(shù)模型形式為：模型的特點：隨X無限增大，Y值趨于極限（漸